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1. 一条线段的黄金分割点有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
答案
B
解析
【分析】
解题思路：首先回忆黄金分割的定义，明确黄金分割点的判定条件，再结合线段的特征分析满足条件的点的数量：黄金分割点要求分线段得到的较长段与全长的比为黄金比，一条线段有两个端点，分别以两个端点为起点计算，可得到两个不重合的满足条件的点，据此即可得出答案。
【解析】
根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约0.618），满足该条件的分点就是这条线段的黄金分割点。
对于任意一条线段，在线段上距离左端点长度为线段总长的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的位置，存在1个黄金分割点；同理，在线段上距离右端点长度为线段总长的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的位置，存在另1个黄金分割点，两个点不重合，因此一条线段的黄金分割点共有2个。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的概念
【点评】
本题考查对黄金分割概念的理解，属于基础概念类考题，易错点是容易忽略从线段两个端点分别计算的情况，误认为只有1个黄金分割点。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆黄金分割的定义，明确黄金分割点的判定条件，再结合线段的特征分析满足条件的点的数量：黄金分割点要求分线段得到的较长段与全长的比为黄金比，一条线段有两个端点，分别以两个端点为起点计算，可得到两个不重合的满足条件的点，据此即可得出答案。
【解析】
根据黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比，这个比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约0.618），满足该条件的分点就是这条线段的黄金分割点。
对于任意一条线段，在线段上距离左端点长度为线段总长的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的位置，存在1个黄金分割点；同理，在线段上距离右端点长度为线段总长的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的位置，存在另1个黄金分割点，两个点不重合，因此一条线段的黄金分割点共有2个。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割的概念
【点评】
本题考查对黄金分割概念的理解，属于基础概念类考题，易错点是容易忽略从线段两个端点分别计算的情况，误认为只有1个黄金分割点。
【难度系数】
0.8
2. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识。动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618。这体现了数学中的（
A.平移
B.旋转
C.轴对称
D.黄金分割
D
）A.平移
B.旋转
C.轴对称
D.黄金分割
答案
D
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：相邻螺纹直径的比值约为0.618，接下来逐一对应选项的概念：先回忆0.618是黄金分割的近似比值，再排查其余选项：平移、旋转、轴对称均属于图形变换，描述的是图形的位置、对称类特征，与两个直径的比值特征无关，即可锁定正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A.平移是平面内图形沿直线做等距移动的变换，与题干描述的直径比值特征无关，排除；
B.旋转是平面内图形绕定点转动一定角度的变换，不符合题干描述的特征，排除；
C.轴对称是平面内图形沿某条直线折叠后直线两侧部分完全重合的特征，与题干的比值描述无关，排除；
D.黄金分割的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，和题干给出的相邻螺纹直径的比值一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割、平移的概念、轴对称的概念
【点评】
本题结合自然界的鹦鹉螺实例考查数学基础概念，体现了数学与生活的紧密联系，牢记各基础概念的核心特征就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键信息：相邻螺纹直径的比值约为0.618，接下来逐一对应选项的概念：先回忆0.618是黄金分割的近似比值，再排查其余选项：平移、旋转、轴对称均属于图形变换，描述的是图形的位置、对称类特征，与两个直径的比值特征无关，即可锁定正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A.平移是平面内图形沿直线做等距移动的变换，与题干描述的直径比值特征无关，排除；
B.旋转是平面内图形绕定点转动一定角度的变换，不符合题干描述的特征，排除；
C.轴对称是平面内图形沿某条直线折叠后直线两侧部分完全重合的特征，与题干的比值描述无关，排除；
D.黄金分割的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，和题干给出的相邻螺纹直径的比值一致，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割、平移的概念、轴对称的概念
【点评】
本题结合自然界的鹦鹉螺实例考查数学基础概念，体现了数学与生活的紧密联系，牢记各基础概念的核心特征就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
3. 已知两个数2,8,则2和8的比例中项为 （
A.2
B.−4
C.±4
D.4
C
）A.2
B.−4
C.±4
D.4
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确比例中项的定义：若三个数a、b、c满足$a:b = b:c$，则b叫做a和c的比例中项，根据比例的基本性质可推导得$b^2 = a × c$。本题中已知两个数为2和8，我们只需设比例中项为x，代入上述等量关系列方程，再求解方程即可，注意数的比例中项可正可负，不要漏解。
【解析】
设2和8的比例中项为$x$，根据比例中项的性质可得：
$x^2 = 2 × 8$
计算等号右侧得：$x^2 = 16$
对等式两边开平方，得：$x = \pm\sqrt{16} = \pm4$
因此2和8的比例中项为±4。
【答案】
C
【知识点】
比例中项的概念；平方根的运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的核心是准确掌握比例中项的等量关系，同时注意区分“数的比例中项”和“线段的比例中项”的差异：单纯求两个数的比例中项时有正负两个结果，若明确是线段的比例中项则只取正值，避免因惯性思维漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确比例中项的定义：若三个数a、b、c满足$a:b = b:c$，则b叫做a和c的比例中项，根据比例的基本性质可推导得$b^2 = a × c$。本题中已知两个数为2和8，我们只需设比例中项为x，代入上述等量关系列方程，再求解方程即可，注意数的比例中项可正可负，不要漏解。
【解析】
设2和8的比例中项为$x$，根据比例中项的性质可得：
$x^2 = 2 × 8$
计算等号右侧得：$x^2 = 16$
对等式两边开平方，得：$x = \pm\sqrt{16} = \pm4$
因此2和8的比例中项为±4。
【答案】
C
【知识点】
比例中项的概念；平方根的运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的核心是准确掌握比例中项的等量关系，同时注意区分“数的比例中项”和“线段的比例中项”的差异：单纯求两个数的比例中项时有正负两个结果，若明确是线段的比例中项则只取正值，避免因惯性思维漏解。
【难度系数】
0.6
4. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体，即$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在数轴（如图2）上最接近$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的点是（
A.P
B.Q
C.M
D.N
C
）A.P
B.Q
C.M
D.N
答案
C
解析
【分析】
要找出数轴上最接近$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的点，首先需要估算$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值：第一步先确定$\sqrt{5}$的取值范围，得到它的近似值；第二步代入计算目标式的近似值；第三步观察数轴上各点对应的数值，比较各点与目标值的距离，距离最小的即为所求。
【解析】
首先估算$\sqrt{5}$的大小：
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，且$\sqrt{5}\approx2.236$
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$
观察数轴可知，每个小格代表0.5个单位长度：
点P对应数值约为-1.5，点Q对应数值约为-0.5，点M对应数值约为0.5，点N对应数值约为2.5
分别计算各点与0.618的距离：
$|-1.5-0.618|=2.118$，$|-0.5-0.618|=1.118$，$|0.5-0.618|=0.118$，$|2.5-0.618|=1.882$
对比可知点M与$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的距离最小，是最接近该值的点。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，黄金分割，数轴的应用
【点评】
本题结合黄金分割的背景，考查了无理数估算和数轴的相关知识，解题核心是准确估算出目标无理数的近似值，难度不大，掌握常见无理数的近似值或估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要找出数轴上最接近$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的点，首先需要估算$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的近似值：第一步先确定$\sqrt{5}$的取值范围，得到它的近似值；第二步代入计算目标式的近似值；第三步观察数轴上各点对应的数值，比较各点与目标值的距离，距离最小的即为所求。
【解析】
首先估算$\sqrt{5}$的大小：
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，且$\sqrt{5}\approx2.236$
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$
观察数轴可知，每个小格代表0.5个单位长度：
点P对应数值约为-1.5，点Q对应数值约为-0.5，点M对应数值约为0.5，点N对应数值约为2.5
分别计算各点与0.618的距离：
$|-1.5-0.618|=2.118$，$|-0.5-0.618|=1.118$，$|0.5-0.618|=0.118$，$|2.5-0.618|=1.882$
对比可知点M与$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的距离最小，是最接近该值的点。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算，黄金分割，数轴的应用
【点评】
本题结合黄金分割的背景，考查了无理数估算和数轴的相关知识，解题核心是准确估算出目标无理数的近似值，难度不大，掌握常见无理数的近似值或估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 已知$AB=4$，点C在线段AB上，AC是AB，BC的比例中项，则AC的长为（
A.$\sqrt{5}-1$
B.$2\sqrt{5}-2$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$6-2\sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{5}-1$
B.$2\sqrt{5}-2$
C.$3-\sqrt{5}$
D.$6-2\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题首先要回忆比例中项的核心性质：若a是b、c的比例中项，则有$a^2 = b · c$。本题已知AB总长度，点C在线段AB上，因此BC的长度可表示为AB与AC的差，我们可以设AC的长为未知数，结合比例中项的性质列方程，求解后根据线段长度为正的要求舍去不合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设$AC = x$，由于点C在线段AB上，$AB=4$，因此$BC = AB - AC = 4 - x$。
∵AC是AB、BC的比例中项，根据比例中项的性质可得：
$AC^2 = AB · BC$
代入对应长度得方程：
$x^2 = 4(4 - x)$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 + 4x - 16 = 0$
用求根公式求解：
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 × 1 × (-16)}}{2 × 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$
∵线段长度为正数，因此舍去负根$x=-2-2\sqrt{5}$，得：
$x = 2\sqrt{5} - 2$
【答案】
B
【知识点】
比例中项的性质；一元二次方程求解；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查比例中项性质的实际应用，解题关键是根据性质建立方程，同时要注意结合线段的实际意义对根进行取舍，掌握比例中项的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆比例中项的核心性质：若a是b、c的比例中项，则有$a^2 = b · c$。本题已知AB总长度，点C在线段AB上，因此BC的长度可表示为AB与AC的差，我们可以设AC的长为未知数，结合比例中项的性质列方程，求解后根据线段长度为正的要求舍去不合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设$AC = x$，由于点C在线段AB上，$AB=4$，因此$BC = AB - AC = 4 - x$。
∵AC是AB、BC的比例中项，根据比例中项的性质可得：
$AC^2 = AB · BC$
代入对应长度得方程：
$x^2 = 4(4 - x)$
整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 + 4x - 16 = 0$
用求根公式求解：
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 × 1 × (-16)}}{2 × 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$
∵线段长度为正数，因此舍去负根$x=-2-2\sqrt{5}$，得：
$x = 2\sqrt{5} - 2$
【答案】
B
【知识点】
比例中项的性质；一元二次方程求解；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查比例中项性质的实际应用，解题关键是根据性质建立方程，同时要注意结合线段的实际意义对根进行取舍，掌握比例中项的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
6. 已知线段$a=2$厘米，$c=3$厘米，则线段$a$和$c$的比例中项$b=$
$\sqrt{6}$
厘米。答案
$\sqrt{6}$
解析
【分析】
首先回忆比例中项的定义：若线段b是线段a、c的比例中项，则满足比例关系$a:b = b:c$，根据比例的基本性质可推导得到$b^2 = ac$；其次注意线段的长度为正数，因此计算出$b^2$的值后，只需取正的平方根即可得到结果。
【解析】
解：根据比例中项的性质可得：
$b^2 = a · c$
将$a=2$厘米，$c=3$厘米代入上式：
$b^2 = 2 × 3 = 6$
∵线段长度为正数
∴$b = \sqrt{6}$厘米（负根不符合实际意义，舍去）
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
比例中项的概念，算术平方根的应用
【点评】
本题考查比例中项的基础应用，解题的关键是牢记比例中项的性质，同时要注意结合线段的实际意义排除负解，避免出现不必要的错误。
【难度系数】
0.85
首先回忆比例中项的定义：若线段b是线段a、c的比例中项，则满足比例关系$a:b = b:c$，根据比例的基本性质可推导得到$b^2 = ac$；其次注意线段的长度为正数，因此计算出$b^2$的值后，只需取正的平方根即可得到结果。
【解析】
解：根据比例中项的性质可得：
$b^2 = a · c$
将$a=2$厘米，$c=3$厘米代入上式：
$b^2 = 2 × 3 = 6$
∵线段长度为正数
∴$b = \sqrt{6}$厘米（负根不符合实际意义，舍去）
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
比例中项的概念，算术平方根的应用
【点评】
本题考查比例中项的基础应用，解题的关键是牢记比例中项的性质，同时要注意结合线段的实际意义排除负解，避免出现不必要的错误。
【难度系数】
0.85
7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=1$,$BC=\frac{1}{2}$,进行如下操作：
①以点C为圆心,以BC的长为半径画弧,交AC于点D；
②以点A为圆心,以AD的长为半径画弧,交AB于点E,则E是线段AB的黄金分割点。
根据以上操作,AE的长为
①以点C为圆心,以BC的长为半径画弧,交AC于点D；
②以点A为圆心,以AD的长为半径画弧,交AB于点E,则E是线段AB的黄金分割点。
根据以上操作,AE的长为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
。答案
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AC的长度；其次根据第一步作图的性质，CD与BC长度相等，用AC的长度减去BC的长度得到AD的长度；最后根据第二步作图的性质，AE与AD长度相等，即可求出AE的长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=1$，$BC=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
根据作图①可知，同圆的半径相等，因此$CD=BC=\frac{1}{2}$，
所以$AD=AC-CD=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
根据作图②可知，同圆的半径相等，因此$AE=AD$，
所以$AE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
勾股定理；圆的半径性质；黄金分割
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何计算，将勾股定理的应用和黄金分割的作图原理相结合，能很好地巩固基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AC的长度；其次根据第一步作图的性质，CD与BC长度相等，用AC的长度减去BC的长度得到AD的长度；最后根据第二步作图的性质，AE与AD长度相等，即可求出AE的长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=1$，$BC=\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
根据作图①可知，同圆的半径相等，因此$CD=BC=\frac{1}{2}$，
所以$AD=AC-CD=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
根据作图②可知，同圆的半径相等，因此$AE=AD$，
所以$AE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
勾股定理；圆的半径性质；黄金分割
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何计算，将勾股定理的应用和黄金分割的作图原理相结合，能很好地巩固基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 若线段a是线段b，c的比例中项，a:b=2:3，则a:c=
3:2
。答案
3:2
解析
【分析】
解题首先要回忆比例中项的定义：若线段a是b、c的比例中项，则满足a²=bc。接下来有两种推导思路：一是根据比例的基本性质，将a²=bc变形为比例式a:b=c:a，直接代入已知的a:b=2:3，即可得到c:a的比值，进而得到a:c的结果；二是设参数表示a和b的长度，代入a²=bc求出c的参数表达式，再计算a与c的比值即可，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
解：
∵ 线段a是线段b，c的比例中项，
∴ 由比例中项的定义得：$a^2 = bc$，
根据比例的基本性质，等式可变形为：$a:b = c:a$，
已知$a:b = 2:3$，代入得$c:a = 2:3$，
因此$a:c = 3:2$。
【答案】
3:2
【知识点】
比例中项的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是比例中项相关的基础题型，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质，能结合已知比例式灵活变形推导，计算时因为a、b、c是线段长度，均为正数，无需考虑负值情况。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆比例中项的定义：若线段a是b、c的比例中项，则满足a²=bc。接下来有两种推导思路：一是根据比例的基本性质，将a²=bc变形为比例式a:b=c:a，直接代入已知的a:b=2:3，即可得到c:a的比值，进而得到a:c的结果；二是设参数表示a和b的长度，代入a²=bc求出c的参数表达式，再计算a与c的比值即可，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
解：
∵ 线段a是线段b，c的比例中项，
∴ 由比例中项的定义得：$a^2 = bc$，
根据比例的基本性质，等式可变形为：$a:b = c:a$，
已知$a:b = 2:3$，代入得$c:a = 2:3$，
因此$a:c = 3:2$。
【答案】
3:2
【知识点】
比例中项的定义；比例的基本性质
【点评】
本题是比例中项相关的基础题型，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质，能结合已知比例式灵活变形推导，计算时因为a、b、c是线段长度，均为正数，无需考虑负值情况。
【难度系数】
0.8
9. (1)已知$a=4,c=9$,若$b$是$a,c$的比例中项,求$b$的值。
(2)已知线段$MN$是$AB,CD$的比例中项线段,$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$,求$MN$的长,并思考(1)(2)两题有何区别。
(2)已知线段$MN$是$AB,CD$的比例中项线段,$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$,求$MN$的长,并思考(1)(2)两题有何区别。
答案
解:(1)因为b是a,c的比例中项,所以a:b=b:c,
所以$b^2=ac$,所以$b=\pm\sqrt{ac}$。
因为a=4,c=9,所以$b=\pm\sqrt{36}=\pm6$,即$b=\pm6$。
(2)因为MN是线段,所以MN＞0。
因为线段MN是AB,CD的比例中项线段,
所以$MN^2=AB· CD$,所以$MN=\sqrt{AB· CD}$。
因为AB=4 cm,CD=5 cm,
所以$MN=\sqrt{20}=2\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
通过解答(1),(2)发现,b,MN同时作为比例中项出现,b可以取负值,而线段MN的长不可以取负值。
所以$b^2=ac$,所以$b=\pm\sqrt{ac}$。
因为a=4,c=9,所以$b=\pm\sqrt{36}=\pm6$,即$b=\pm6$。
(2)因为MN是线段,所以MN＞0。
因为线段MN是AB,CD的比例中项线段,
所以$MN^2=AB· CD$,所以$MN=\sqrt{AB· CD}$。
因为AB=4 cm,CD=5 cm,
所以$MN=\sqrt{20}=2\sqrt{5}(\mathrm{cm})$。
通过解答(1),(2)发现,b,MN同时作为比例中项出现,b可以取负值,而线段MN的长不可以取负值。
解析
【分析】
解题首先要明确比例中项的定义：若x是y、z的比例中项，则满足y:x=x:z，即x²=yz。第(1)问中b是普通数值，没有正负限制，求出b²后平方根要取正负两个结果；第(2)问中MN是线段，线段长度恒为正数，计算时只能取算术平方根，最后对比两问差异，核心是比例中项的载体不同，取值要求不同。
【解析】
(1) 因为b是a、c的比例中项，所以$a:b=b:c$，即$b^2=ac$。
将$a=4,c=9$代入得：$b^2=4×9=36$，
所以$b=\pm\sqrt{36}=\pm6$。
(2) 因为MN是线段，线段长度为正数，所以$MN＞0$。
因为线段MN是AB、CD的比例中项线段，所以$MN^2=AB· CD$。
将$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$代入得：$MN^2=4×5=20$，
所以$MN=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
两题区别：第(1)问的b是单纯数值，比例中项可取正负两个值；第(2)问的MN是线段，长度只能为正数，因此比例中项只能取正值。
【答案】
(1)$b=\pm6$；(2)$MN=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；区别是数字的比例中项可正负，线段的比例中项只能取正值。
【知识点】
1.比例中项的定义
2.二次根式的化简
3.线段的非负性
【点评】
本题是比例线段章节的基础典型题，重点考查比例中项的应用，解题关键是掌握比例中项的计算方法，同时注意区分普通数值和线段作为比例中项时的取值差异，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确比例中项的定义：若x是y、z的比例中项，则满足y:x=x:z，即x²=yz。第(1)问中b是普通数值，没有正负限制，求出b²后平方根要取正负两个结果；第(2)问中MN是线段，线段长度恒为正数，计算时只能取算术平方根，最后对比两问差异，核心是比例中项的载体不同，取值要求不同。
【解析】
(1) 因为b是a、c的比例中项，所以$a:b=b:c$，即$b^2=ac$。
将$a=4,c=9$代入得：$b^2=4×9=36$，
所以$b=\pm\sqrt{36}=\pm6$。
(2) 因为MN是线段，线段长度为正数，所以$MN＞0$。
因为线段MN是AB、CD的比例中项线段，所以$MN^2=AB· CD$。
将$AB=4\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm}$代入得：$MN^2=4×5=20$，
所以$MN=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
两题区别：第(1)问的b是单纯数值，比例中项可取正负两个值；第(2)问的MN是线段，长度只能为正数，因此比例中项只能取正值。
【答案】
(1)$b=\pm6$；(2)$MN=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；区别是数字的比例中项可正负，线段的比例中项只能取正值。
【知识点】
1.比例中项的定义
2.二次根式的化简
3.线段的非负性
【点评】
本题是比例线段章节的基础典型题，重点考查比例中项的应用，解题关键是掌握比例中项的计算方法，同时注意区分普通数值和线段作为比例中项时的取值差异，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.8
