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10. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，若$b+d+f=9$，则$a+c+e=$（
A.12
B.15
C.16
D.4
A
）A.12
B.15
C.16
D.4
答案
10. A
解析
【分析】
遇到多个比值相等的题目，可优先考虑比例的等比性质求解，也可通过设参数代换的方法计算。首先确认等比性质的使用条件：本题中分母之和$b+d+f=9≠0$，满足等比性质的适用要求，可直接通过等比性质建立分子和与分母和的比值关系，代入已知条件即可求出结果；若用设参数法，可将各分子用对应分母乘比值表示后求和，同样能算出结果。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，且$b+d+f=9≠0$，
根据等比性质：若$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\dots=\frac{x_n}{y_n}=k$（$y_1+y_2+\dots+y_n≠0$），则$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{y_1+y_2+\dots+y_n}=k$，
可得$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{4}{3}$，
将$b+d+f=9$代入得：$\frac{a+c+e}{9}=\frac{4}{3}$，
解得$a+c+e=9×\frac{4}{3}=12$。
方法二（参数代换法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，
则$a=\frac{4}{3}b$，$c=\frac{4}{3}d$，$e=\frac{4}{3}f$，
因此$a+c+e=\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}d+\frac{4}{3}f=\frac{4}{3}(b+d+f)$，
将$b+d+f=9$代入得：$a+c+e=\frac{4}{3}×9=12$。
【答案】
A
【知识点】
等比性质，比例运算
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，两种解题方法都属于比例类题目的常用解法，解题时注意先验证等比性质的使用条件（分母之和不为0）即可。
【难度系数】
0.9
遇到多个比值相等的题目，可优先考虑比例的等比性质求解，也可通过设参数代换的方法计算。首先确认等比性质的使用条件：本题中分母之和$b+d+f=9≠0$，满足等比性质的适用要求，可直接通过等比性质建立分子和与分母和的比值关系，代入已知条件即可求出结果；若用设参数法，可将各分子用对应分母乘比值表示后求和，同样能算出结果。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，且$b+d+f=9≠0$，
根据等比性质：若$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\dots=\frac{x_n}{y_n}=k$（$y_1+y_2+\dots+y_n≠0$），则$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{y_1+y_2+\dots+y_n}=k$，
可得$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{4}{3}$，
将$b+d+f=9$代入得：$\frac{a+c+e}{9}=\frac{4}{3}$，
解得$a+c+e=9×\frac{4}{3}=12$。
方法二（参数代换法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，
则$a=\frac{4}{3}b$，$c=\frac{4}{3}d$，$e=\frac{4}{3}f$，
因此$a+c+e=\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}d+\frac{4}{3}f=\frac{4}{3}(b+d+f)$，
将$b+d+f=9$代入得：$a+c+e=\frac{4}{3}×9=12$。
【答案】
A
【知识点】
等比性质，比例运算
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，两种解题方法都属于比例类题目的常用解法，解题时注意先验证等比性质的使用条件（分母之和不为0）即可。
【难度系数】
0.9
11. 已知三个数$1,2,\sqrt{3}$,请你再添一个数,使它们构成一个比例式,则这个数可以是$\underline{\hspace{8cm}}$。
（写出所有的可能）
（写出所有的可能）
答案
11. $2\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆比例的基本性质：在比例式中，两内项的乘积等于两外项的乘积。已知三个数，添加第四个数构成比例式时，第四个数可以分别与三个已知数中的任意一个配对作为同组的内项或外项，即让三个已知数中任意两个的乘积等于第三个数与新添加数的乘积，分三种情况计算即可得到所有可能的结果，计算后注意化简二次根式。
【解析】
设添加的这个数为$x$，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），分以下三种情况讨论：
1. 若$x · \sqrt{3} = 1 × 2$，解得$x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$；
2. 若$x · 2 = 1 × \sqrt{3}$，解得$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
3. 若$x · 1 = 2 × \sqrt{3}$，解得$x = 2\sqrt{3}$。
综上，可得到所有符合要求的数。
【答案】
$2\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
比例的基本性质；比例式的定义；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查比例基本性质的灵活运用，易错点是容易遗漏分类讨论的情况，解题时要穷尽所有乘积组合的可能，同时注意二次根式的化简规范。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先回忆比例的基本性质：在比例式中，两内项的乘积等于两外项的乘积。已知三个数，添加第四个数构成比例式时，第四个数可以分别与三个已知数中的任意一个配对作为同组的内项或外项，即让三个已知数中任意两个的乘积等于第三个数与新添加数的乘积，分三种情况计算即可得到所有可能的结果，计算后注意化简二次根式。
【解析】
设添加的这个数为$x$，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），分以下三种情况讨论：
1. 若$x · \sqrt{3} = 1 × 2$，解得$x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$；
2. 若$x · 2 = 1 × \sqrt{3}$，解得$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
3. 若$x · 1 = 2 × \sqrt{3}$，解得$x = 2\sqrt{3}$。
综上，可得到所有符合要求的数。
【答案】
$2\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
比例的基本性质；比例式的定义；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查比例基本性质的灵活运用，易错点是容易遗漏分类讨论的情况，解题时要穷尽所有乘积组合的可能，同时注意二次根式的化简规范。
【难度系数】
0.6
12. (1)已知$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$，求$\frac{a-2b}{a+2b}$的值。
(2)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，$a+b+c=22$，求$3a - b + 2c$的值。
(2)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，$a+b+c=22$，求$3a - b + 2c$的值。
答案
12. 解:(1)设$a=4k,b=3k(k≠0)$,
则$\frac{a-2b}{a+2b}=\frac{4k-2×3k}{4k+2×3k}=\frac{-2k}{10k}=-\frac{1}{5}$。
(2)设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k(k≠0)$,
则$a=2k,b=4k,c=5k$。
因为$a+b+c=22$,所以$2k+4k+5k=22$,
解得$k=2$,
所以$a=4,b=8,c=10$,
所以$3a-b+2c=3×4-8+2×10=24$。
则$\frac{a-2b}{a+2b}=\frac{4k-2×3k}{4k+2×3k}=\frac{-2k}{10k}=-\frac{1}{5}$。
(2)设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k(k≠0)$,
则$a=2k,b=4k,c=5k$。
因为$a+b+c=22$,所以$2k+4k+5k=22$,
解得$k=2$,
所以$a=4,b=8,c=10$,
所以$3a-b+2c=3×4-8+2×10=24$。
解析
【分析】
这两道题都属于比例类求值问题，可采用通用的“设k法”求解：
(1) 已知两个字母的比值，可将两个字母用含同一个参数k的式子表示，代入所求分式后参数k可直接约去，就能得到分式的值；
(2) 已知三个字母的连比，同样设公共比值为k，将三个字母都用含k的式子表示，再结合已知的和的条件求出k的值，进而求出各字母的取值，代入目标代数式计算即可。
【解析】
(1) 设$a=4k,b=3k(k≠0)$，
则$\frac{a-2b}{a+2b}=\frac{4k-2×3k}{4k+2×3k}=\frac{-2k}{10k}=-\frac{1}{5}$。
(2) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k(k≠0)$，
则$a=2k,b=4k,c=5k$。
因为$a+b+c=22$，所以$2k+4k+5k=22$，
解得$k=2$，
所以$a=4,b=8,c=10$，
所以$3a-b+2c=3×4-8+2×10=24$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $24$
【知识点】
比例的基本性质，设k法，代数式求值
【点评】
这两道题是比例求值的基础题型，核心解题方法是设k法，通过引入参数将比例关系转化为代数式，既可以直接消参求分式值，也可以结合已知条件求出参数后代入计算，方法通用性强，是解决比例相关问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于比例类求值问题，可采用通用的“设k法”求解：
(1) 已知两个字母的比值，可将两个字母用含同一个参数k的式子表示，代入所求分式后参数k可直接约去，就能得到分式的值；
(2) 已知三个字母的连比，同样设公共比值为k，将三个字母都用含k的式子表示，再结合已知的和的条件求出k的值，进而求出各字母的取值，代入目标代数式计算即可。
【解析】
(1) 设$a=4k,b=3k(k≠0)$，
则$\frac{a-2b}{a+2b}=\frac{4k-2×3k}{4k+2×3k}=\frac{-2k}{10k}=-\frac{1}{5}$。
(2) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k(k≠0)$，
则$a=2k,b=4k,c=5k$。
因为$a+b+c=22$，所以$2k+4k+5k=22$，
解得$k=2$，
所以$a=4,b=8,c=10$，
所以$3a-b+2c=3×4-8+2×10=24$。
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $24$
【知识点】
比例的基本性质，设k法，代数式求值
【点评】
这两道题是比例求值的基础题型，核心解题方法是设k法，通过引入参数将比例关系转化为代数式，既可以直接消参求分式值，也可以结合已知条件求出参数后代入计算，方法通用性强，是解决比例相关问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
13. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，判断下列比例式是否成立，并说明理由。
(1) $\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$。
(2) $\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}(a+b≠0,c+d≠0)$。
(1) $\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$。
(2) $\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}(a+b≠0,c+d≠0)$。
答案
13. 解:(1)比例式成立。理由如下：
因为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,所以$\frac{a}{b}-2=\frac{c}{d}-2$,即$\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$。
(2)比例式成立。理由如下：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k≠0)$,
则$a=bk,c=dk$,且$b,d≠0$,
所以$\frac{a-b}{a+b}=\frac{bk-b}{bk+b}=\frac{k-1}{k+1},\frac{c-d}{c+d}=\frac{dk-d}{dk+d}=\frac{k-1}{k+1}$,
所以$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$。
因为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,所以$\frac{a}{b}-2=\frac{c}{d}-2$,即$\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$。
(2)比例式成立。理由如下：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k≠0)$,
则$a=bk,c=dk$,且$b,d≠0$,
所以$\frac{a-b}{a+b}=\frac{bk-b}{bk+b}=\frac{k-1}{k+1},\frac{c-d}{c+d}=\frac{dk-d}{dk+d}=\frac{k-1}{k+1}$,
所以$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$。
解析
【分析】
要判断给出的比例式是否成立，可结合已知条件$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，通过两种常用思路推导：一是利用等式的基本性质对已知比例式变形，直接推导待判断的式子；二是采用比例问题通用的设k法，将a、c用含参数的式子表示，代入待判断的比例式左右两边，化简后对比结果是否相等即可。
第(1)小题观察待证式子结构，可将$\frac{a-2b}{b}$拆分为$\frac{a}{b}-2$，$\frac{c-2d}{d}$拆分为$\frac{c}{d}-2$，只需给已知等式两边同时减2再通分即可验证。
第(2)小题待证式子含a、b的和差与c、d的和差，用设k法代入化简更直观，且题目已给出$a+b≠0,c+d≠0$，无需考虑分母为0无意义的情况。
【解析】
(1) 比例式成立，理由如下：
因为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据等式的性质，两边同时减去2，得$\frac{a}{b}-2=\frac{c}{d}-2$，通分后即$\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$。
(2) 比例式成立，理由如下：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k≠0)$，则$a=bk,c=dk$（$b≠0,d≠0$），
左边$\frac{a-b}{a+b}=\frac{bk-b}{bk+b}=\frac{b(k-1)}{b(k+1)}=\frac{k-1}{k+1}$，
右边$\frac{c-d}{c+d}=\frac{dk-d}{dk+d}=\frac{d(k-1)}{d(k+1)}=\frac{k-1}{k+1}$，
所以$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$。
【答案】
(1) $\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$成立；(2) $\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$成立，理由详见解析。
【知识点】
比例的性质；等式的性质；设k法
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，解题时可灵活选择等式变形或设k法验证比例式，这类方法是解决比例相关问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要判断给出的比例式是否成立，可结合已知条件$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，通过两种常用思路推导：一是利用等式的基本性质对已知比例式变形，直接推导待判断的式子；二是采用比例问题通用的设k法，将a、c用含参数的式子表示，代入待判断的比例式左右两边，化简后对比结果是否相等即可。
第(1)小题观察待证式子结构，可将$\frac{a-2b}{b}$拆分为$\frac{a}{b}-2$，$\frac{c-2d}{d}$拆分为$\frac{c}{d}-2$，只需给已知等式两边同时减2再通分即可验证。
第(2)小题待证式子含a、b的和差与c、d的和差，用设k法代入化简更直观，且题目已给出$a+b≠0,c+d≠0$，无需考虑分母为0无意义的情况。
【解析】
(1) 比例式成立，理由如下：
因为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据等式的性质，两边同时减去2，得$\frac{a}{b}-2=\frac{c}{d}-2$，通分后即$\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$。
(2) 比例式成立，理由如下：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k≠0)$，则$a=bk,c=dk$（$b≠0,d≠0$），
左边$\frac{a-b}{a+b}=\frac{bk-b}{bk+b}=\frac{b(k-1)}{b(k+1)}=\frac{k-1}{k+1}$，
右边$\frac{c-d}{c+d}=\frac{dk-d}{dk+d}=\frac{d(k-1)}{d(k+1)}=\frac{k-1}{k+1}$，
所以$\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$。
【答案】
(1) $\frac{a-2b}{b}=\frac{c-2d}{d}$成立；(2) $\frac{a-b}{a+b}=\frac{c-d}{c+d}$成立，理由详见解析。
【知识点】
比例的性质；等式的性质；设k法
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，解题时可灵活选择等式变形或设k法验证比例式，这类方法是解决比例相关问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
14. (1)已知$a:b:c=2:3:5$，求代数式$\frac{2a + b - c}{a + b + c}$的值。
(2)已知$\frac{2a}{b + c + d} = \frac{2b}{a + c + d} = \frac{2c}{a + b + d} = \frac{2d}{a + b + c} = k(k≠0)$，求$k^2 - 3k -4$的值。
(2)已知$\frac{2a}{b + c + d} = \frac{2b}{a + c + d} = \frac{2c}{a + b + d} = \frac{2d}{a + b + c} = k(k≠0)$，求$k^2 - 3k -4$的值。
答案
14. 解:(1)因为$a:b:c=2:3:5$,
所以设$a=2k,b=3k,c=5k(k≠0)$,
则$\frac{2a+b-c}{a+b+c}=\frac{4k+3k-5k}{2k+3k+5k}=\frac{1}{5}$。
(2)因为$\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2b}{a+c+d}=\frac{2c}{a+b+d}=\frac{2d}{a+b+c}=k(k≠0)$,
所以当$a+b+c+d≠0$时,
由等比性质可得$\frac{2(a+b+c+d)}{3(a+b+c+d)}=k$,
即$k=\frac{2}{3}$,此时$k^2-3k-4=(\frac{2}{3})^2-3×\frac{2}{3}-4=-\frac{50}{9}$,
当$a+b+c+d=0$时,$b+c+d=-a$,
所以$k=\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2a}{-a}=-2$,
此时$k^2-3k-4=(-2)^2-3×(-2)-4=6$。
综上,$k^2-3k-4$的值为$-\frac{50}{9}$或6。
所以设$a=2k,b=3k,c=5k(k≠0)$,
则$\frac{2a+b-c}{a+b+c}=\frac{4k+3k-5k}{2k+3k+5k}=\frac{1}{5}$。
(2)因为$\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2b}{a+c+d}=\frac{2c}{a+b+d}=\frac{2d}{a+b+c}=k(k≠0)$,
所以当$a+b+c+d≠0$时,
由等比性质可得$\frac{2(a+b+c+d)}{3(a+b+c+d)}=k$,
即$k=\frac{2}{3}$,此时$k^2-3k-4=(\frac{2}{3})^2-3×\frac{2}{3}-4=-\frac{50}{9}$,
当$a+b+c+d=0$时,$b+c+d=-a$,
所以$k=\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2a}{-a}=-2$,
此时$k^2-3k-4=(-2)^2-3×(-2)-4=6$。
综上,$k^2-3k-4$的值为$-\frac{50}{9}$或6。
解析
【分析】
(1) 已知a、b、c的连比求分式值，可采用设参法：根据比例关系将三个量表示为同一参数的倍数，代入分式后参数可直接约去，即可求出结果。
(2) 多个比值相等求k值时，需注意等比性质的使用限制：当所有分母的和不为0时，可直接用等比性质计算k；当所有分母的和为0时，不能使用等比性质，需通过等量代换将分母用分子相关的式子表示，再计算k，最后将两种情况的k值分别代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵$a:b:c=2:3:5$，
∴设$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$（$k≠0$），
代入代数式得：
$\frac{2a + b - c}{a + b + c}=\frac{2×2k + 3k - 5k}{2k + 3k + 5k}=\frac{2k}{10k}=\frac{1}{5}$。
(2) 解：
∵$\frac{2a}{b + c + d} = \frac{2b}{a + c + d} = \frac{2c}{a + b + d} = \frac{2d}{a + b + c} = k$（$k≠0$），分两种情况讨论：
① 当$a+b+c+d≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{2(a+b+c+d)}{(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)}=\frac{2(a+b+c+d)}{3(a+b+c+d)}=\frac{2}{3}$，
代入代数式得：$k^2 - 3k -4=(\frac{2}{3})^2 - 3×\frac{2}{3} -4=-\frac{50}{9}$；
② 当$a+b+c+d=0$时，$b+c+d=-a$，
代入比例式得$k=\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2a}{-a}=-2$，
代入代数式得：$k^2 - 3k -4=(-2)^2 -3×(-2) -4=6$。
综上，$k^2 - 3k -4$的值为$-\frac{50}{9}$或$6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$；(2) $-\frac{50}{9}$或$6$
【知识点】
比例的基本性质、等比性质、代数式求值
【点评】
本题侧重比例性质的应用，第一问的连比设参是比例类计算的基础方法，第二问的易错点是容易忽略等比性质的使用前提，遗漏$a+b+c+d=0$的情况导致漏解，解题时要注意分类讨论，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.6
(1) 已知a、b、c的连比求分式值，可采用设参法：根据比例关系将三个量表示为同一参数的倍数，代入分式后参数可直接约去，即可求出结果。
(2) 多个比值相等求k值时，需注意等比性质的使用限制：当所有分母的和不为0时，可直接用等比性质计算k；当所有分母的和为0时，不能使用等比性质，需通过等量代换将分母用分子相关的式子表示，再计算k，最后将两种情况的k值分别代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 解：
∵$a:b:c=2:3:5$，
∴设$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$（$k≠0$），
代入代数式得：
$\frac{2a + b - c}{a + b + c}=\frac{2×2k + 3k - 5k}{2k + 3k + 5k}=\frac{2k}{10k}=\frac{1}{5}$。
(2) 解：
∵$\frac{2a}{b + c + d} = \frac{2b}{a + c + d} = \frac{2c}{a + b + d} = \frac{2d}{a + b + c} = k$（$k≠0$），分两种情况讨论：
① 当$a+b+c+d≠0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{2(a+b+c+d)}{(b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)}=\frac{2(a+b+c+d)}{3(a+b+c+d)}=\frac{2}{3}$，
代入代数式得：$k^2 - 3k -4=(\frac{2}{3})^2 - 3×\frac{2}{3} -4=-\frac{50}{9}$；
② 当$a+b+c+d=0$时，$b+c+d=-a$，
代入比例式得$k=\frac{2a}{b+c+d}=\frac{2a}{-a}=-2$，
代入代数式得：$k^2 - 3k -4=(-2)^2 -3×(-2) -4=6$。
综上，$k^2 - 3k -4$的值为$-\frac{50}{9}$或$6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{5}$；(2) $-\frac{50}{9}$或$6$
【知识点】
比例的基本性质、等比性质、代数式求值
【点评】
本题侧重比例性质的应用，第一问的连比设参是比例类计算的基础方法，第二问的易错点是容易忽略等比性质的使用前提，遗漏$a+b+c+d=0$的情况导致漏解，解题时要注意分类讨论，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.6
