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10. 如图，直线 $ l_1 // l_2 $，直线 $ m $ 分别交 $ l_1, l_2 $于点 $ A,B $，以 $ A $ 为圆心，$ AB $ 长为半径画弧，分别交 $ l_2, l_1 $于直线 $ m $ 同侧的点 $ C,D $，若 $ ∠ ADB = 35° $，$ AB =9 $，则$\overset{\frown}{CD}$的长等于（
A.$5π$
B.$4π$
C.$ \frac{7}{2}π $
D.$ \frac{7}{4}π $
C
）A.$5π$
B.$4π$
C.$ \frac{7}{2}π $
D.$ \frac{7}{4}π $
答案
10. C
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对的圆心角度数，$r$是圆的半径。已知半径$r=AB=9$，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD$的度数：首先由作图可知$AB=AD=AC$，得到两个等腰三角形，结合等边对等角推导角的关系；再利用平行线的内错角相等得到相关角度，最终算出圆心角后代入公式即可。
【解析】
解：由题意得，$AB、AD、AC$均为以$A$为圆心的圆的半径，因此$AB=AD=AC=9$，即圆的半径$r=9$。
1. 在$△ ABD$中，$AB=AD$，根据等边对等角可得：$∠ ABD=∠ ADB=35°$。
2. 因为$l_1// l_2$，内错角相等，所以$∠ ADB=∠ DBC=35°$，因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=35°+35°=70°$。
3. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，根据等边对等角可得：$∠ ACB=∠ ABC=70°$，由三角形内角和为$180°$得：$∠ BAC=180°-70°-70°=40°$。
4. 再由$△ ABD$内角和得：$∠ BAD=180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-35°-35°=110°$。
5. 因此$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD=∠ BAD-∠ BAC=110°-40°=70°$。
6. 代入弧长公式计算：$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{70π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式，等腰三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将平行线、等腰三角形性质和弧长计算结合考查，解题的关键是结合图形理清各角度的数量关系，准确求出弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算即可。
【难度系数】
0.65
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对的圆心角度数，$r$是圆的半径。已知半径$r=AB=9$，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD$的度数：首先由作图可知$AB=AD=AC$，得到两个等腰三角形，结合等边对等角推导角的关系；再利用平行线的内错角相等得到相关角度，最终算出圆心角后代入公式即可。
【解析】
解：由题意得，$AB、AD、AC$均为以$A$为圆心的圆的半径，因此$AB=AD=AC=9$，即圆的半径$r=9$。
1. 在$△ ABD$中，$AB=AD$，根据等边对等角可得：$∠ ABD=∠ ADB=35°$。
2. 因为$l_1// l_2$，内错角相等，所以$∠ ADB=∠ DBC=35°$，因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=35°+35°=70°$。
3. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，根据等边对等角可得：$∠ ACB=∠ ABC=70°$，由三角形内角和为$180°$得：$∠ BAC=180°-70°-70°=40°$。
4. 再由$△ ABD$内角和得：$∠ BAD=180°-∠ ABD-∠ ADB=180°-35°-35°=110°$。
5. 因此$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD=∠ BAD-∠ BAC=110°-40°=70°$。
6. 代入弧长公式计算：$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{70π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长公式，等腰三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将平行线、等腰三角形性质和弧长计算结合考查，解题的关键是结合图形理清各角度的数量关系，准确求出弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算即可。
【难度系数】
0.65
11. 如图，AB为$\odot O$的直径，$AB=8$，弦$CD=4\sqrt{2}$，则劣弧$CD$的长为（
A.$\dfrac{π}{2}$
B.$π$
C.$2π$
D.$4π$
C
）A.$\dfrac{π}{2}$
B.$π$
C.$2π$
D.$4π$
答案
11. C
解析
【分析】
要计算劣弧CD的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（n为圆心角度数，R为圆的半径），因此需先求出圆的半径和劣弧CD对应的圆心角∠COD的度数。首先由AB是直径且长度为8，可直接得到圆的半径为4，OC、OD均为半径，长度也为4；再结合已知的CD长度，利用勾股定理逆定理判断△COD的形状，就能得到圆心角∠COD的度数，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴⊙O的半径$R=OC=OD=\frac{1}{2}AB=4$。
在△COD中，$OC^2+OD^2=4^2+4^2=32$，$CD^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
∴$OC^2+OD^2=CD^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ COD=90°$。
根据弧长公式，劣弧CD的长为：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×4}{180}=2π$。
【答案】
C
【知识点】
1.弧长计算公式 2.勾股定理逆定理 3.圆的基本性质
【点评】
本题是弧长计算的基础题型，解题核心是先确定弧对应的圆心角度数和圆的半径，再代入公式计算，考察了学生对基础定理和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算劣弧CD的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（n为圆心角度数，R为圆的半径），因此需先求出圆的半径和劣弧CD对应的圆心角∠COD的度数。首先由AB是直径且长度为8，可直接得到圆的半径为4，OC、OD均为半径，长度也为4；再结合已知的CD长度，利用勾股定理逆定理判断△COD的形状，就能得到圆心角∠COD的度数，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OC、OD。
∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴⊙O的半径$R=OC=OD=\frac{1}{2}AB=4$。
在△COD中，$OC^2+OD^2=4^2+4^2=32$，$CD^2=(4\sqrt{2})^2=32$，
∴$OC^2+OD^2=CD^2$，由勾股定理逆定理可得$∠ COD=90°$。
根据弧长公式，劣弧CD的长为：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×4}{180}=2π$。
【答案】
C
【知识点】
1.弧长计算公式 2.勾股定理逆定理 3.圆的基本性质
【点评】
本题是弧长计算的基础题型，解题核心是先确定弧对应的圆心角度数和圆的半径，再代入公式计算，考察了学生对基础定理和公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
12. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型。图2是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M$，$\odot N$的半径分别是1 cm和10 cm，当$\odot M$顺时针转动2周时，$\odot N$上的点P随之旋转$n°$，则$n=$
72
。答案
12. 72
解析
【分析】
本题是弧长公式在实际传动问题中的应用，解题核心是明确两个啮合传动的圆，转动过程中接触点走过的弧长相等。解题可分为三步：第一步计算$\odot M$转动2周的总弧长，第二步利用两轮转过弧长相等的关系，结合弧长公式建立关于$n$的方程，第三步解方程求出$n$的值。
【解析】
解：已知$\odot M$的半径$r_1=1\ \mathrm{cm}$，则$\odot M$转动2周的总弧长为：
$L=2×2π r_1=2×2π×1=4π\ (\mathrm{cm})$
两轮传动时转过的弧长相等，因此$\odot N$转过的弧长也为$4π\ \mathrm{cm}$。已知$\odot N$的半径$r_2=10\ \mathrm{cm}$，设转过的角度为$n°$，根据弧长公式$L=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$4π=\frac{nπ×10}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$4=\frac{10n}{180}$
解得$n=72$
【答案】
72
【知识点】
1.弧长公式 2.圆的周长计算 3.传动等弧长关系
【点评】
本题以我国古代投石工具为背景，将数学知识与传统发明结合，既考查了弧长相关计算，又引导学生关注生活中的数学应用，解题关键是理解两轮传动时弧长相等的隐含条件。
【难度系数】
0.7
本题是弧长公式在实际传动问题中的应用，解题核心是明确两个啮合传动的圆，转动过程中接触点走过的弧长相等。解题可分为三步：第一步计算$\odot M$转动2周的总弧长，第二步利用两轮转过弧长相等的关系，结合弧长公式建立关于$n$的方程，第三步解方程求出$n$的值。
【解析】
解：已知$\odot M$的半径$r_1=1\ \mathrm{cm}$，则$\odot M$转动2周的总弧长为：
$L=2×2π r_1=2×2π×1=4π\ (\mathrm{cm})$
两轮传动时转过的弧长相等，因此$\odot N$转过的弧长也为$4π\ \mathrm{cm}$。已知$\odot N$的半径$r_2=10\ \mathrm{cm}$，设转过的角度为$n°$，根据弧长公式$L=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$4π=\frac{nπ×10}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$4=\frac{10n}{180}$
解得$n=72$
【答案】
72
【知识点】
1.弧长公式 2.圆的周长计算 3.传动等弧长关系
【点评】
本题以我国古代投石工具为背景，将数学知识与传统发明结合，既考查了弧长相关计算，又引导学生关注生活中的数学应用，解题关键是理解两轮传动时弧长相等的隐含条件。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在$\odot O$中,已知弦AC,BD相交于点E,连结AD,AC=BD。
(1)求证:$∠ A=∠ D$。
(2)若$AC⊥ BD$,$\odot O$的半径为4,求$\overset{\frown}{CD}$的长。
(1)求证:$∠ A=∠ D$。
(2)若$AC⊥ BD$,$\odot O$的半径为4,求$\overset{\frown}{CD}$的长。
答案
13. 解:(1)证明:因为$AC=BD$,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，所以$\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,所以$∠A=∠D$。
(2)连结OC,OD。
因为 $AC ⊥ BD$, 所以 $∠AED =90°$,
所以$∠A=∠ADE=45°$,
所以$∠COD=2∠A=90°$。
因为$\odot O$的半径为4，
所以$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{90π×4}{180}=2π$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠A=∠D，可通过证明两角所对的弧相等推导。已知AC=BD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，两条弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{BC}$，得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合等弧所对的圆周角相等即可得证。
(2) 求$\overset{\frown}{CD}$的长需用弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，已知半径r=4，因此只需先求$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数。由AC⊥BD得∠AED=90°，结合(1)的结论∠A=∠D，可推出∠A=45°，再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得圆心角∠COD=90°，最后代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且AC=BD，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 等弧所对的圆周角相等，
∴ ∠A=∠D。
(2) 解：连接OC、OD，
∵ AC⊥BD，
∴ ∠AED=90°，
由(1)知∠A=∠D，
∴ 在Rt△AED中，∠A=∠ADE=45°，
∵ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角为∠A，圆心角为∠COD，
∴ ∠COD=2∠A=90°，
已知⊙O半径r=4，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπr}{180}=\frac{90π×4}{180}=2π$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\overset{\frown}{CD}$的长为$2π$。
【知识点】
弦弧圆周角的关系、圆周角定理、弧长公式
【点评】
本题为圆的基础综合题，第一问侧重考查同圆中弦、弧、圆周角的对应关系，推导逻辑清晰即可得分；第二问结合垂直条件和圆周角定理求解圆心角，再代入弧长公式计算，整体难度不大，核心是熟练掌握圆的基本性质和弧长计算公式。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠A=∠D，可通过证明两角所对的弧相等推导。已知AC=BD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，两条弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{BC}$，得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合等弧所对的圆周角相等即可得证。
(2) 求$\overset{\frown}{CD}$的长需用弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，已知半径r=4，因此只需先求$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数。由AC⊥BD得∠AED=90°，结合(1)的结论∠A=∠D，可推出∠A=45°，再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得圆心角∠COD=90°，最后代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且AC=BD，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 等弧所对的圆周角相等，
∴ ∠A=∠D。
(2) 解：连接OC、OD，
∵ AC⊥BD，
∴ ∠AED=90°，
由(1)知∠A=∠D，
∴ 在Rt△AED中，∠A=∠ADE=45°，
∵ 同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角为∠A，圆心角为∠COD，
∴ ∠COD=2∠A=90°，
已知⊙O半径r=4，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{CD}}=\frac{nπr}{180}=\frac{90π×4}{180}=2π$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\overset{\frown}{CD}$的长为$2π$。
【知识点】
弦弧圆周角的关系、圆周角定理、弧长公式
【点评】
本题为圆的基础综合题，第一问侧重考查同圆中弦、弧、圆周角的对应关系，推导逻辑清晰即可得分；第二问结合垂直条件和圆周角定理求解圆心角，再代入弧长公式计算，整体难度不大，核心是熟练掌握圆的基本性质和弧长计算公式。
【难度系数】
0.7
14. 如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连结AE交⊙O于点F,连结BF并延长交CD于点G。
(1)求证:△ABE≌△BCG。
(2)若∠AEB=55°,求劣弧BF的长。(结果保留π)
(1)求证:△ABE≌△BCG。
(2)若∠AEB=55°,求劣弧BF的长。(结果保留π)
答案
14. 解:(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,AB为$\odot O$的直径，
所以$∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°$,
所以$∠BAF+∠ABF=90°$,$∠ABF+∠EBF=90°$,
所以$∠EBF=∠BAF$。
在$△ ABE$与$△ BCG$中,$\begin{cases} ∠EBA=∠GCB,\\ AB=BC,\\ ∠BAF=∠EBF, \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ BCG(\mathrm{ASA})$。
(2)连结OF,如图。
因为$∠ABE=90°$,$∠AEB=55°$,
所以$∠BAE=90°-55°=35°$,
所以$∠BOF=2∠BAE=70°$。
因为四边形ABCD是边长为4的正方形，
所以$OB=\frac{1}{2}AB=2$,
所以$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70π×2}{180}=\frac{7π}{9}$。
解析
【分析】
(1) 要证△ABE≌△BCG，先结合正方形性质可得AB=BC、∠ABE=∠BCG=90°；再由AB是⊙O直径，得直径所对圆周角∠AFB=90°，利用同角的余角相等推出∠BAE=∠CBG，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
(2) 求劣弧BF的长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定圆心角∠BOF的度数和⊙O半径。首先在Rt△ABE中，用直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，再根据圆周角定理得到同弧所对圆心角∠BOF=2∠BAE；由正方形边长为4得半径OB=2，代入弧长公式即可计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°$，
∴$∠BAF+∠ABF=90°$，$∠ABF+∠EBF=90°$，
∴$∠EBF=∠BAF$。
在$△ ABE$与$△ BCG$中，
$\begin{cases} ∠EBA=∠GCB,\\ AB=BC,\\ ∠BAF=∠EBF, \end{cases}$
∴$△ ABE≌△ BCG(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：连结OF，如图。
∵$∠ABE=90°$，$∠AEB=55°$，
∴$∠BAE=90°-55°=35°$，
∴$∠BOF=2∠BAE=70°$。
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴$OB=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70π×2}{180}=\frac{7π}{9}$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ BCG$，证明见解析；
(2) 劣弧$BF$的长为$\frac{7π}{9}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、弧长公式
【点评】
本题属于基础几何综合题，综合考察了正方形、圆、全等三角形及弧长计算的相关知识，解题核心是熟练掌握直径所对圆周角为直角、圆周角定理、弧长公式等基础知识点，找准边角对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证△ABE≌△BCG，先结合正方形性质可得AB=BC、∠ABE=∠BCG=90°；再由AB是⊙O直径，得直径所对圆周角∠AFB=90°，利用同角的余角相等推出∠BAE=∠CBG，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
(2) 求劣弧BF的长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定圆心角∠BOF的度数和⊙O半径。首先在Rt△ABE中，用直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，再根据圆周角定理得到同弧所对圆心角∠BOF=2∠BAE；由正方形边长为4得半径OB=2，代入弧长公式即可计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°$，
∴$∠BAF+∠ABF=90°$，$∠ABF+∠EBF=90°$，
∴$∠EBF=∠BAF$。
在$△ ABE$与$△ BCG$中，
$\begin{cases} ∠EBA=∠GCB,\\ AB=BC,\\ ∠BAF=∠EBF, \end{cases}$
∴$△ ABE≌△ BCG(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：连结OF，如图。
∵$∠ABE=90°$，$∠AEB=55°$，
∴$∠BAE=90°-55°=35°$，
∴$∠BOF=2∠BAE=70°$。
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴$OB=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70π×2}{180}=\frac{7π}{9}$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ BCG$，证明见解析；
(2) 劣弧$BF$的长为$\frac{7π}{9}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、弧长公式
【点评】
本题属于基础几何综合题，综合考察了正方形、圆、全等三角形及弧长计算的相关知识，解题核心是熟练掌握直径所对圆周角为直角、圆周角定理、弧长公式等基础知识点，找准边角对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
