1. 已知扇形的圆心角为$120°$，半径为2，则扇形的弧长为（）

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}π$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{4}{3}π$

1. D

【分析】
本题考查扇形弧长的计算，解题思路如下：首先回忆角度制下的弧长计算公式，明确公式中各字母代表的含义：n代表圆心角的度数，r代表扇形半径，l代表弧长；然后将题干给出的圆心角120°、半径2代入公式，化简计算即可得到结果，计算过程中注意不要漏写π，同时要正确约分。
【解析】
角度制下扇形弧长公式为：$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径）
已知圆心角$n=120°$，半径$r=2$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×2}{180}=\frac{240π}{180}=\frac{4}{3}π$
所以扇形弧长为$\frac{4}{3}π$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是对弧长公式的直接应用，只要熟记弧长公式、代入数值时注意对应正确的量、计算时做好约分，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

2. 如图，分别以$△ ABC$的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在$△ ABC$内的三段弧长度之和为（）

A.$3π$
B.$2π$
C.$π$
D.$\frac{1}{2}π$

2. C

【分析】
要计算三段弧的长度之和，首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧对应的圆心角度数，$r$为圆的半径）。观察图形可知，三段弧的半径均为1，每段弧对应的圆心角恰好是$△ ABC$的三个内角。我们不需要单独计算每段弧的长度，利用三角形内角和为$180°$的性质，将三个圆心角的和整体代入弧长公式，即可求出总弧长。
【解析】
设$△ ABC$的三个内角$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的度数分别为$n_1°$、$n_2°$、$n_3°$。
根据三角形内角和定理可得：$n_1+n_2+n_3=180$。
已知三个圆的半径$r=1$，结合弧长公式，三段弧的长度之和为：
$\begin{aligned}l_{\mathrm{总}}&=\frac{n_1π×1}{180}+\frac{n_2π×1}{180}+\frac{n_3π×1}{180}\\&=\frac{(n_1+n_2+n_3)π}{180}\\&=\frac{180π}{180}\\&=π\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算公式，三角形内角和定理
【点评】
本题是弧长计算与三角形内角和的综合应用题，运用整体代入的思想可简化计算过程，解题的关键是明确三段弧对应的圆心角之和恰好等于三角形的内角和。
【难度系数】
0.7

3. 若弧所对的圆心角的度数增加$1°$，弧的半径为$R$，则它的弧长增加（）

A.$\frac{π R}{360}$
B.$\frac{180}{π R}$
C.$\frac{360}{π R}$
D.$\frac{π R}{180}$

3. D

【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆弧长的计算公式，弧长的大小和对应圆心角的度数、半径有关。我们可以先设出原来的圆心角度数，分别写出圆心角增加前后的弧长，再通过作差计算出弧长的增加量，即可得到答案。
【解析】
首先回忆弧长公式：若弧对应的圆心角为$n°$，半径为$R$，则弧长$l=\frac{nπ R}{180}$。
设原来弧所对的圆心角为$n°$，则原来的弧长$l_1=\frac{nπ R}{180}$。
当圆心角度数增加$1°$后，新的圆心角为$(n+1)°$，此时对应的弧长$l_2=\frac{(n+1)π R}{180}$。
则弧长增加的量为：
$\Delta l = l_2 - l_1 = \frac{(n+1)π R}{180} - \frac{nπ R}{180} = \frac{π R}{180}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
弧长公式
【点评】
本题是基础题，核心考查弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式，通过作差的方式即可快速求出变化量，计算过程简单，掌握公式即可得分。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在$\odot O$中,直径$AB=6$,$BC$是$\odot O$的弦,若$∠ B=60°$,则$\overset{\frown}{AC}$的长为 ()

A.$6π$
B.$4π$
C.$2π$
D.$π$

4. C

【分析】
要求弧$\overset{\frown}{AC}$的长，首先回忆弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径，因此需要先求出这两个量。首先由已知直径$AB=6$可直接得到半径$r=3$；接下来求$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC$：连接$OC$，根据圆的半径相等可知$OB=OC$，结合$∠ B=60°$可判定$△ OBC$是等边三角形，得到$∠ BOC$的度数，再利用平角的性质即可求出$∠ AOC$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$OC$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，$AB=6$，
∴$\odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=3$，且$OB=OC=r=3$。
∵$∠ B=60°$，$OB=OC$，
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$∠ BOC=60°$，
∴$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-60°=120°$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AC}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算公式、等边三角形的判定、圆的基本性质
【点评】
本题是弧长计算的基础题型，解题核心是明确弧长公式的两个必要条件，结合圆和等边三角形的性质求出对应圆心角和半径即可，难度较低。
【难度系数】
0.7

5. 如图，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了$4π$ cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了（）

A.$108°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$144°$

5. D

【分析】
首先明确：当绳索与滑轮无滑动时，重物上升的长度等于滑轮上点P旋转过程中走过的弧长，要求点P旋转的角度，本质是求该段弧对应的圆心角，代入弧长公式列方程计算即可。
【解析】
解：根据题意得，点P旋转对应的弧长$ l=4π\ \mathrm{cm} $，滑轮半径$ r=5\ \mathrm{cm} $。
设点P旋转的角度为$ n° $，由弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，代入数值：
$ 4π=\frac{nπ × 5}{180} $
两边同时约去$ π $，整理得：$ 5n=4×180 $
解得：$ n=144 $
即滑轮上点P旋转了$ 144° $。
【答案】
D
【知识点】
弧长公式，旋转的性质
【点评】
本题结合定滑轮的实际场景考查弧长的计算，解题关键是判断出重物上升的距离等于点P转过的弧长，属于基础应用类题目，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

6. 一个扇形的圆心角是$120°$, 弧长是$\frac{4}{3}π$ cm, 则这个扇形的半径是 cm。

6. 2

【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题思路如下：首先回忆弧长的计算公式，明确公式中各量的含义：弧长$l$、圆心角度数$n$、半径$r$满足$l=\frac{nπ r}{180}$；已知题目给出了圆心角$n=120°$和弧长$l=\frac{4}{3}π$，将已知量代入公式，得到关于半径$r$的一元一次方程，解方程即可求出半径的值。
【解析】
设这个扇形的半径为$r$ cm，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为圆心角度数，$l$为弧长。
将$n=120°$，$l=\frac{4}{3}π$代入公式，得：
$\frac{120π r}{180}=\frac{4}{3}π$
化简左边得：$\frac{2π r}{3}=\frac{4π}{3}$
两边同时乘以$3$，得：$2π r=4π$
两边同时除以$2π$，得：$r=2$
【答案】
2
【知识点】
弧长公式；一元一次方程求解
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，难度较低，只要准确记忆弧长公式，代入已知量后认真计算即可得出正确结果，解题时注意不要混淆公式中各量的对应关系。
【难度系数】
0.85

7. 如图，在$3×4$的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则$\overset{\frown}{AB}$的长度为。

7. $\sqrt{2}π$

【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是弧所在圆的半径），因此解题分为三步：第一步确定$\overset{\frown}{AB}$的圆心为点$O$，先利用勾股定理求出半径$OA$（或$OB$）的长度；第二步利用勾股定理逆定理求出圆心角$∠ AOB$的度数；第三步将$n$和$r$代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求半径长度：
每个小方格边长为1，由勾股定理可得：
$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，同理$OB=2\sqrt{2}$，即$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径$r=2\sqrt{2}$。
2. 求圆心角度数：
由图可知$AB$的长度为4，计算得：
$OA^2+OB^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=8+8=16$，$AB^2=4^2=16$，
因此$OA^2+OB^2=AB^2$，根据勾股定理逆定理可得$∠ AOB=90°$，即弧所对圆心角$n=90$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$。
【答案】
$\sqrt{2}π$
【知识点】
弧长公式，勾股定理，勾股定理逆定理
【点评】
本题属于方格背景下的弧长计算基础题，解题的关键是准确找到弧对应的圆心、半径和圆心角，结合勾股定理相关知识即可求解，是弧长公式应用的典型常考题。
【难度系数】
0.7

8. 已知一条弧所对的圆心角的度数为$135°$,弧长等于半径为5 cm的圆的周长的3倍,则这条弧所在圆的半径为________ cm。

8. 40

【分析】
解题思路可分为两步：第一步先根据题意计算出待求弧的长度，题目给出该弧长是半径为5cm的圆周长的3倍，先利用圆周长公式算出这个弧长；第二步利用弧长公式，将已知的圆心角度数、弧长代入，反解出这条弧所在圆的半径即可。
【解析】
1. 先计算半径为5cm的圆的周长：
圆的周长公式为$C=2π r$，代入$r=5cm$得：
$C=2π×5=10π\ \mathrm{cm}$
2. 计算题目中所求弧的长度：
由题知弧长是上述周长的3倍，因此：
$l=3×10π=30π\ \mathrm{cm}$
3. 利用弧长公式求弧所在圆的半径：
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角度数，$R$为弧所在圆半径），已知$n=135°$，$l=30π\ \mathrm{cm}$，代入得：
$30π=\frac{135×π× R}{180}$
两边同时消去$π$，化简计算：
$30=\frac{3R}{4}$
解得$R=40\ \mathrm{cm}$
【答案】
40
【知识点】
弧长公式；圆的周长计算
【点评】
本题是弧长公式的基础应用题型，解题核心是熟练掌握弧长公式，明确公式中各个量的含义，既可以用公式求弧长，也可以根据已知条件反求圆心角或圆半径。
【难度系数】
0.8

9. 某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地。如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这个弧形的弧长部分占这条龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为$135°$，求整条龙的长。

9. 解:因为弧长为$\frac{135π×2}{180}=\frac{3π}{2}$(米)，所以整条龙的长是$2×\frac{3π}{2}=3π$(米)。

【分析】
解题思路可分为两步：第一步先计算弧形的弧长，要求弧长我们可以直接使用弧长计算公式，已知弧形的圆心角、半径，代入公式即可求出弧长；第二步，题目明确弧长占整条龙总长的$\frac{1}{2}$，说明龙的总长是弧长的2倍，用算出的弧长乘2就能得到最终结果。
【解析】
首先根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为弧形半径）计算弧长：
已知$n=135°$，$r=2$米，代入得：
$l=\frac{135×π×2}{180}=\frac{3π}{2}$（米）
因为弧长是整条龙总长的$\frac{1}{2}$，所以整条龙的长度为：
$2×\frac{3π}{2}=3π$（米）
【答案】
$3π$米
【知识点】
弧长计算，分数应用
【点评】
本题结合传统龙狮文化的实际场景命题，考查核心为弧长公式的基础应用，同时也需要学生准确提取题目里部分量和总量的关系，难度较低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8