10. 已知命题“如果$a=b$,那么$|a|=|b|.$”
(1)写出此命题的条件和结论.
(2)写出此命题的逆命题.
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题.如果是假命题,请举出一个反例进行说明.

10. (1)此命题的条件为 a = b,
结论为|a| = |b|.
(2)此命题的逆命题:如果|a| = |b|,那么a = b.
(3)此命题的逆命题是假命题.
当a、b为相反数时,它们的绝对值相等,但本身不相等.
如a=2,b=-2时,|2|=|-2|,而2≠-2.

11. 如图，现有以下3个条件：①$AB // CD$；②$∠ B = ∠ C$；③$∠ E = ∠ F$，请以其中两个为已知条件，另一个作为结论构造命题。
(1) 你构造的是哪几个命题？
(2) 你构造的命题是真命题还是假命题？
请选择其中一个真命题加以证明。

11. (1)构造的3个命题如下:
条件是①AB//CD,②∠B = ∠C,结论是③∠E = ∠F.
条件是①AB//CD,③∠E = ∠F,结论是②∠B = ∠C.
条件是②∠B = ∠C,③∠E = ∠F,结论是①AB//CD.
(2)条件是①AB//CD,②∠B = ∠C,结论是③∠E = ∠F 的命题是真命题.
证明:
∵ AB//CD,
∴ ∠C = ∠BAE.
∵ ∠B = ∠C,
∴ ∠B = ∠BAE.
∴ AC//BF.
∴ ∠E = ∠F.
条件是①AB//CD,③∠E = ∠F,结论是②∠B = ∠C 的命题是真命题.
证明:
∵ AB//CD,
∴ ∠C = ∠BAE.
∵ ∠E = ∠F,
∴ CE//BF.
∴ ∠B = ∠BAE.
∴ ∠B = ∠C.
条件是②∠B = ∠C,③∠E = ∠F,结论是①AB//CD 的命题是真命题.
证明:
∵ ∠E = ∠F,
∴ CE//BF.
∴ ∠B = ∠BAE.
∵ ∠B = ∠C,
∴ ∠C = ∠BAE.
∴ AB//CD.

12.【原题再现】如图,在$△ ABC$中,D为BC上一点,$DB=DC$,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,且$DE=DF$.求证:$AB=AC$.
【探究思考】同学们完成这道题目后,在老师的启发下对问题进行了反思探究,提出了如下思考:
①把题中的条件“$DB=DC$”和结论“$AB=AC$”互换得到的命题是否成立?
②把题中的条件“D为BC上一点”改为“D为$△ ABC$内部一点”,是否仍能得到$AB=AC$?
【问题解决】
(1)请你对上述两个问题作出判断.
(2)选择其中一个问题画出图形,并说明理由.

(第12题图)

12. (1)①成立,②仍能得到.
(2)选①.
理由:
∵ AB=AC,
∴ ∠B = ∠C.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴ ∠BED = ∠CFD.
在△BDE 和△CDF 中,
$\begin{cases}∠B = ∠C,\\∠BED = ∠CFD,\\DE = DF,\end{cases}$
∴ △BDE ≌△CDF(AAS).
∴ DB = DC.
选②.
理由:如图:
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中,
$\begin{cases}BD = CD,\\ED = FD,\end{cases}$
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ ∠EBD = ∠FCD.
∵ DB = DC,
∴ ∠DBC = ∠DCB.
∴ ∠ABC = ∠ACB.
∴ AB = AC.