1. 猜想:用同样长的绳子围一个长方形、一个正方形或一个圆,哪个图形的面积最大?

假设绳子的长度为12.56米。
正方形边长：$12.56÷4=3.14$（米）
正方形面积：$3.14×3.14=9.8596$（平方米）
长方形长与宽的和：$12.56÷2=6.28$（米）
取长为3.15米，宽为$6.28-3.15=3.13$（米）
长方形面积：$3.15×3.13=9.8595$（平方米）
圆的半径：$12.56÷3.14÷2=2$（米）
圆的面积：$3.14×2^2=12.56$（平方米）
$9.8595＜9.8596＜12.56$
答：圆的面积最大。

2. 一根绳子长31.4 m，小红、小东和小林分别用这根绳子在操场上围出一块地，计算各块地的面积。
小东:围成一个圆。 小林:围成一个正方形。 小红:围成一个长方形。

小东：
$31.4÷3.14÷2 = 5(\mathrm{m})$
$3.14×5^2 = 78.5(\mathrm{m}^2)$
小林：
$31.4÷4 = 7.85(\mathrm{m})$
$7.85×7.85 = 61.6225(\mathrm{m}^2)$
小红：
$31.4÷2 = 15.7(\mathrm{m})$
取长为$10\ \mathrm{m}$，宽为$15.7-10=5.7(\mathrm{m})$
$10×5.7 = 57(\mathrm{m}^2)$
（长方形面积答案不唯一，小于$61.6225\ \mathrm{m}^2$均合理）
答：小东围成的圆的面积是$78.5\ \mathrm{m}^2$，小林围成的正方形的面积是$61.6225\ \mathrm{m}^2$，小红围成的长方形的面积示例为$57\ \mathrm{m}^2$。

3. 举一个例子来验证第1题的猜想。

取直径为2cm的圆：
测量得周长约为6.28cm
$6.28 ÷ 2 = 3.14$
取直径为3cm的圆：
测量得周长约为9.42cm
$9.42 ÷ 3 = 3.14$
答：不同大小的圆，周长与直径的比值都约等于3.14，是固定不变的数，验证了圆的周长总是自身直径的3倍多一些的猜想成立。

4.（机动）如果正方形与圆的面积相等，那么它们的周长相比，哪个长？为什么？

设正方形与圆的面积都为100。
正方形边长：$100÷10=10$
正方形周长：$4×10=40$
圆的半径平方：$100÷3.14\approx31.8$
圆的半径：$\approx5.64$
圆的周长：$2×3.14×5.64\approx35.4$
$40＞35.4$
答：正方形的周长长。面积相等的正方形和圆，计算可得正方形的周长数值大于圆的周长数值，因此正方形的周长更长。