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1.(2025·宿迁沭阳县期末)如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA=39°，则∠ABC的度数是（
A.39°
B.45°
C.49°
D.51°
D
）A.39°
B.45°
C.49°
D.51°
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，CD是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得∠CAD=90°；再看待求的∠ABC，它和∠ADC是同弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理二者相等，因此只需要在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余求出∠ADC的度数，即可得到∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADC中，∠DCA=39°，
∴∠ADC=90°-∠DCA=90°-39°=51°，
又
∵∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=51°（同弧所对的圆周角相等）。
故选：D。
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直径所对圆周角为直角；直角三角形两锐角互余
【点评】本题属于圆周角性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和直径的相关性质，通过同弧所对圆周角相等建立待求角和已知角的联系，结合直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】0.7
解题时先观察已知条件，CD是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可得∠CAD=90°；再看待求的∠ABC，它和∠ADC是同弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理二者相等，因此只需要在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余求出∠ADC的度数，即可得到∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADC中，∠DCA=39°，
∴∠ADC=90°-∠DCA=90°-39°=51°，
又
∵∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=51°（同弧所对的圆周角相等）。
故选：D。
【答案】D
【知识点】圆周角定理；直径所对圆周角为直角；直角三角形两锐角互余
【点评】本题属于圆周角性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和直径的相关性质，通过同弧所对圆周角相等建立待求角和已知角的联系，结合直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】0.7
2.(2025·宿迁泗洪县期末)如图，AB是$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的两点.若$∠ BCD=38°$，则$∠ ABD$的大小为（
A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
B
）A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：AB是圆的直径，首先想到直径所对的圆周角为直角，因此可连接AD构造直角三角形ADB；再观察已知角∠BCD和待求角所在的三角形的内角关系，∠BCD和∠BAD是同弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理推论，二者相等，即可得到∠BAD的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠ABD的度数。
【解析】
解：连接AD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=38°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-38°=52°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，解题的核心是通过直径构造直角三角形，结合同弧所对圆周角相等完成角度的转化，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干条件：AB是圆的直径，首先想到直径所对的圆周角为直角，因此可连接AD构造直角三角形ADB；再观察已知角∠BCD和待求角所在的三角形的内角关系，∠BCD和∠BAD是同弧BD所对的圆周角，根据圆周角定理推论，二者相等，即可得到∠BAD的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠ABD的度数。
【解析】
解：连接AD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=38°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°-∠ BAD=90°-38°=52°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，解题的核心是通过直径构造直角三角形，结合同弧所对圆周角相等完成角度的转化，解题思路清晰，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.8
3.(2025·陕西)如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CDB=24°$，则$∠ ACD$的度数为
66°
。答案
3.66°
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，已知∠CDB的度数，可先求出它所对同弧的∠CAB的度数；②再结合弧相等的条件和AB是直径的特征，根据垂径定理的推论，可得出AB与CD垂直，得到直角；③最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠ACD的度数。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠CDB和∠CAB均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，因此$∠ CAB=∠ CDB=24°$。
2. 已知AB为$\odot O$的直径，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的直径垂直于该弧所对的弦，可得$AB⊥ CD$，即$∠ AEC=90°$。
3. 在$Rt△ AEC$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ ACD=90°-∠ CAB=90°-24°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心考查圆周角定理和垂径定理的应用，解题的关键是找到相等的圆周角，以及直径与弦的垂直关系，是圆章节的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先回忆圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，已知∠CDB的度数，可先求出它所对同弧的∠CAB的度数；②再结合弧相等的条件和AB是直径的特征，根据垂径定理的推论，可得出AB与CD垂直，得到直角；③最后利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠ACD的度数。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠CDB和∠CAB均为$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，因此$∠ CAB=∠ CDB=24°$。
2. 已知AB为$\odot O$的直径，且$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据垂径定理的推论：平分弧（非直径的弧）的直径垂直于该弧所对的弦，可得$AB⊥ CD$，即$∠ AEC=90°$。
3. 在$Rt△ AEC$中，直角三角形两锐角互余，因此$∠ ACD=90°-∠ CAB=90°-24°=66°$。
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心考查圆周角定理和垂径定理的应用，解题的关键是找到相等的圆周角，以及直径与弦的垂直关系，是圆章节的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
4. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(0,6)$，点$B(-8,0)$，若$\odot M$经过$A$，$B$，$O$三个点，则点$M$的坐标为
(-4,3)
.答案
4.(-4,3)
解析
【分析】
已知⊙M经过A、B、O三个点，因此M是△AOB的外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。首先观察三点坐标特征：O是原点，A在y轴上，B在x轴上，可得∠AOB=90°。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可直接判断AB是⊙M的直径，因此圆心M就是AB的中点，只需用中点坐标公式计算AB的中点即可得到M的坐标，该方法比求两条垂直平分线交点更简便。
【解析】
解：
∵点A(0,6)在y轴上，点B(-8,0)在x轴上，原点O(0,0)，
∴∠AOB=90°，
∵⊙M经过A、B、O三点，
∴根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB为⊙M的直径，
∴圆心M是线段AB的中点，
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点的中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$，
将A(0,6)、B(-8,0)代入公式计算：
M的横坐标：$\dfrac{0+(-8)}{2}=-4$，
M的纵坐标：$\dfrac{6+0}{2}=3$，
∴点M的坐标为$(-4,3)$。
【答案】
$(-4,3)$
【知识点】
圆周角定理推论，三角形外接圆，中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是利用直角的特征快速判断直径，直接通过斜边中点确定圆心，简化了计算过程，考查对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
已知⊙M经过A、B、O三个点，因此M是△AOB的外接圆圆心（外心），外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等。首先观察三点坐标特征：O是原点，A在y轴上，B在x轴上，可得∠AOB=90°。根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，可直接判断AB是⊙M的直径，因此圆心M就是AB的中点，只需用中点坐标公式计算AB的中点即可得到M的坐标，该方法比求两条垂直平分线交点更简便。
【解析】
解：
∵点A(0,6)在y轴上，点B(-8,0)在x轴上，原点O(0,0)，
∴∠AOB=90°，
∵⊙M经过A、B、O三点，
∴根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB为⊙M的直径，
∴圆心M是线段AB的中点，
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点的中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$，
将A(0,6)、B(-8,0)代入公式计算：
M的横坐标：$\dfrac{0+(-8)}{2}=-4$，
M的纵坐标：$\dfrac{6+0}{2}=3$，
∴点M的坐标为$(-4,3)$。
【答案】
$(-4,3)$
【知识点】
圆周角定理推论，三角形外接圆，中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题关键是利用直角的特征快速判断直径，直接通过斜边中点确定圆心，简化了计算过程，考查对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5.(2025·宿迁泗洪县期中)如图,AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,如果$∠ C=30°$,求$∠ BAD$的度数.
答案
5.解:
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°.
又
∵∠B=∠C=30°,
∴∠BAD=90°-∠B=60°.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°.
又
∵∠B=∠C=30°,
∴∠BAD=90°-∠B=60°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到$△ ADB$是直角三角形，即$∠ ADB=90°$，由此可知在$Rt△ ADB$中，$∠ B$与$∠ BAD$互余，要求$∠ BAD$只需先求出$∠ B$的度数；②已知$∠ C=30°$，观察$∠ C$和$∠ B$，二者都是弧$AD$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，即可得$∠ B=∠ C=30°$，最后代入互余关系即可求出$∠ BAD$的度数。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ BAD = 90°$。
又$\because ∠ B$和$∠ C$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ B = ∠ C = 30°$，
$\therefore ∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1.直径所对圆周角为直角；2.同弧所对圆周角相等；3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆周角相关定理，能结合直径的性质构造直角三角形，再通过角度的转化关系求解未知角，是圆中角度计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到$△ ADB$是直角三角形，即$∠ ADB=90°$，由此可知在$Rt△ ADB$中，$∠ B$与$∠ BAD$互余，要求$∠ BAD$只需先求出$∠ B$的度数；②已知$∠ C=30°$，观察$∠ C$和$∠ B$，二者都是弧$AD$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，即可得$∠ B=∠ C=30°$，最后代入互余关系即可求出$∠ BAD$的度数。
【解析】
解：$\because$AB是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore ∠ B + ∠ BAD = 90°$。
又$\because ∠ B$和$∠ C$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ B = ∠ C = 30°$，
$\therefore ∠ BAD = 90° - ∠ B = 90° - 30° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
1.直径所对圆周角为直角；2.同弧所对圆周角相等；3.直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握圆周角相关定理，能结合直径的性质构造直角三角形，再通过角度的转化关系求解未知角，是圆中角度计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
6. 如图，BD是$\odot O$的直径，点A，C在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，AC交BD于点G. 若$∠ AGB=114°$，则$∠ ADC$的度数为 （
A.$76°$
B.$69°$
C.$56°$
D.$66°$
D
）A.$76°$
B.$69°$
C.$56°$
D.$66°$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先利用直径所对圆周角为直角、等弧对等边的性质，判断出△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD和∠ADB的度数；再在△ABG中利用三角形内角和求出∠BAC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC的度数，将∠ADB与∠BDC相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 因为BD是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ BAD=90°$。
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，可得$AB=AD$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，所以$∠ ADB=∠ ABD=45°$。
3. 在$△ ABG$中，已知$∠ AGB=114°$，$∠ ABD=45°$，根据三角形内角和为$180°$，计算得：
$∠ BAC=∠ BAG=180° - 114° - 45°=21°$。
4. 因为$∠ BAC$和$∠ BDC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，所以$∠ BDC=∠ BAC=21°$。
5. 因此$∠ ADC=∠ ADB + ∠ BDC=45° + 21°=66°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的常规应用题，需要结合三角形角度计算和圆周角的性质进行角度转化，解题的突破口是先根据直径和等弧的特征确定等腰直角三角形，再利用同弧所对圆周角相等实现角度的转移。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直径所对圆周角为直角、等弧对等边的性质，判断出△ABD是等腰直角三角形，得到∠ABD和∠ADB的度数；再在△ABG中利用三角形内角和求出∠BAC的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC的度数，将∠ADB与∠BDC相加即可得到∠ADC的度数。
【解析】
1. 因为BD是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ BAD=90°$。
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，可得$AB=AD$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，所以$∠ ADB=∠ ABD=45°$。
3. 在$△ ABG$中，已知$∠ AGB=114°$，$∠ ABD=45°$，根据三角形内角和为$180°$，计算得：
$∠ BAC=∠ BAG=180° - 114° - 45°=21°$。
4. 因为$∠ BAC$和$∠ BDC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，所以$∠ BDC=∠ BAC=21°$。
5. 因此$∠ ADC=∠ ADB + ∠ BDC=45° + 21°=66°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质的常规应用题，需要结合三角形角度计算和圆周角的性质进行角度转化，解题的突破口是先根据直径和等弧的特征确定等腰直角三角形，再利用同弧所对圆周角相等实现角度的转移。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB，AC分别是$\odot O$的直径和弦，$OD⊥ AC$于点D，连接BD，BC，若$AB=10$，$AC=8$，则BD的长为（
A.$2\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{13}$
D.4.8
C
）A.$2\sqrt{5}$
B.4
C.$2\sqrt{13}$
D.4.8
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1. AB是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得△ABC是直角三角形，可先利用勾股定理求出BC的长度；2. OD垂直于弦AC，且OD过圆心，根据垂径定理可得出D是AC的中点，从而求出CD的长度；3. 最后在Rt△BCD中，再次利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵$OD⊥ AC$，OD过圆心O，
∴由垂径定理得：$CD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ BCD$中，$BC=6$，$CD=4$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形的基础综合题，解题的关键是熟练运用圆的相关性质得到直角三角形和线段的等量关系，结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：1. AB是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得△ABC是直角三角形，可先利用勾股定理求出BC的长度；2. OD垂直于弦AC，且OD过圆心，根据垂径定理可得出D是AC的中点，从而求出CD的长度；3. 最后在Rt△BCD中，再次利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵$OD⊥ AC$，OD过圆心O，
∴由垂径定理得：$CD=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ BCD$中，$BC=6$，$CD=4$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形的基础综合题，解题的关键是熟练运用圆的相关性质得到直角三角形和线段的等量关系，结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
