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1.(2025·扬州)关于一元二次方程$x^2 -3x +1=0$的根的情况，下列结论正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行分析，解题思路如下：第一步，从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意保留系数的符号；第二步，将三个系数代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步，结合$\Delta$的取值与根的对应关系判断结果：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，最后匹配正确选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入判别式计算得：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$，
因为$\Delta = 5 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，考查根的判别式的直接应用，只要准确识别方程的各项系数，牢记判别式取值与根的情况的对应关系，即可快速得出结果，是易得分题。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$进行分析，解题思路如下：第一步，从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意保留系数的符号；第二步，将三个系数代入判别式公式计算$\Delta$的数值；第三步，结合$\Delta$的取值与根的对应关系判断结果：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，最后匹配正确选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
代入判别式计算得：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$，
因为$\Delta = 5 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，考查根的判别式的直接应用，只要准确识别方程的各项系数，牢记判别式取值与根的情况的对应关系，即可快速得出结果，是易得分题。
【难度系数】
0.9
2.(2025·德阳)若关于$x$的一元二次方程$-2x^2 +4x +k=0$有两个相等的实数根，则$k$的值是（
A.2
B.0
C.$-2$
D.$-4$
C
）A.2
B.0
C.$-2$
D.$-4$
答案
2.C
解析
【分析】
看到题目给出一元二次方程有两个相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。解题时首先从给定方程中提取带符号的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入判别式公式Δ=b²-4ac，令Δ=0得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
解：已知一元二次方程$-2x^2 +4x +k=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，此时$\Delta = b^2-4ac=0$。
其中方程的二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=k$，代入判别式得：
$\Delta = 4^2 - 4×(-2)× k = 0$
计算化简得：$16 + 8k = 0$
移项得：$8k = -16$
解得：$k=-2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是准确提取方程各项的系数，牢记判别式取值与方程根的个数的对应关系，注意提取系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
看到题目给出一元二次方程有两个相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。解题时首先从给定方程中提取带符号的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入判别式公式Δ=b²-4ac，令Δ=0得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
解：已知一元二次方程$-2x^2 +4x +k=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式规则，此时$\Delta = b^2-4ac=0$。
其中方程的二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=k$，代入判别式得：
$\Delta = 4^2 - 4×(-2)× k = 0$
计算化简得：$16 + 8k = 0$
移项得：$8k = -16$
解得：$k=-2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是准确提取方程各项的系数，牢记判别式取值与方程根的个数的对应关系，注意提取系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.8
3.(2025·宿迁泗阳县期末)下列一元二次方程中,没有实数根的是 (
A.$x^2=4$
B.$2x^2+4x=0$
C.$3x^2 -x +2=0$
D.$x^2 -8x +16=0$
C
)A.$x^2=4$
B.$2x^2+4x=0$
C.$3x^2 -x +2=0$
D.$x^2 -8x +16=0$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号判断：若$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta ＜ 0$，方程没有实数根。解题时先将各选项方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，分别确定$a、b、c$的值后代入计算$\Delta$，找到$\Delta ＜ 0$的选项即为答案。
【解析】
我们逐一计算各选项方程的判别式：
A. 方程整理为$x^2 - 4 = 0$，其中$a=1，b=0，c=-4$，$\Delta = 0^2 - 4×1×(-4) = 16 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B. 方程为$2x^2 + 4x = 0$，其中$a=2，b=4，c=0$，$\Delta = 4^2 - 4×2×0 = 16 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C. 方程为$3x^2 - x + 2 = 0$，其中$a=3，b=-1，c=2$，$\Delta = (-1)^2 - 4×3×2 = 1 - 24 = -23 ＜ 0$，没有实数根，符合题意；
D. 方程为$x^2 - 8x + 16 = 0$，其中$a=1，b=-8，c=16$，$\Delta = (-8)^2 - 4×1×16 = 64 - 64 = 0$，有两个相等的实数根，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，是一元二次方程根的判别式的常规考查，熟练掌握判别式的取值与方程根的对应关系，准确计算判别式的值即可解题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有实数根，核心方法是利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的符号判断：若$\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta ＜ 0$，方程没有实数根。解题时先将各选项方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，分别确定$a、b、c$的值后代入计算$\Delta$，找到$\Delta ＜ 0$的选项即为答案。
【解析】
我们逐一计算各选项方程的判别式：
A. 方程整理为$x^2 - 4 = 0$，其中$a=1，b=0，c=-4$，$\Delta = 0^2 - 4×1×(-4) = 16 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B. 方程为$2x^2 + 4x = 0$，其中$a=2，b=4，c=0$，$\Delta = 4^2 - 4×2×0 = 16 ＞ 0$，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C. 方程为$3x^2 - x + 2 = 0$，其中$a=3，b=-1，c=2$，$\Delta = (-1)^2 - 4×3×2 = 1 - 24 = -23 ＜ 0$，没有实数根，符合题意；
D. 方程为$x^2 - 8x + 16 = 0$，其中$a=1，b=-8，c=16$，$\Delta = (-8)^2 - 4×1×16 = 64 - 64 = 0$，有两个相等的实数根，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，是一元二次方程根的判别式的常规考查，熟练掌握判别式的取值与方程根的对应关系，准确计算判别式的值即可解题。
【难度系数】
0.8
4.若一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的根的判别式的值为8，则c=
2
.答案
4.2
解析
【分析】
解答本题首先要牢记一元二次方程根的判别式公式，第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$；第二步从题目给出的方程中对应找出a、b、常数项的取值，注意符号不要出错；第三步根据判别式的值为8建立关于c的一元一次方程；最后解这个方程即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2-4x+c=0$中，$a=1$，$b=-4$，常数项为$c$，由题意得$\Delta=8$，代入判别式公式可得：
$(-4)^2 - 4×1× c=8$
计算得：
$16-4c=8$
移项得：
$-4c=8-16$
即：
$-4c=-8$
两边同时除以$-4$，解得：
$c=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查根的判别式的应用，解题的关键是准确识别方程中的各项系数，代入公式后正确计算，注意计算时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要牢记一元二次方程根的判别式公式，第一步先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$；第二步从题目给出的方程中对应找出a、b、常数项的取值，注意符号不要出错；第三步根据判别式的值为8建立关于c的一元一次方程；最后解这个方程即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2-4x+c=0$中，$a=1$，$b=-4$，常数项为$c$，由题意得$\Delta=8$，代入判别式公式可得：
$(-4)^2 - 4×1× c=8$
计算得：
$16-4c=8$
移项得：
$-4c=8-16$
即：
$-4c=-8$
两边同时除以$-4$，解得：
$c=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查根的判别式的应用，解题的关键是准确识别方程中的各项系数，代入公式后正确计算，注意计算时不要出现符号错误。
【难度系数】
0.9
5.(2025·宿迁沭阳县期中)已知关于x的一元二次方程$x^2 - mx + m -5=0$.
(1)求证:无论m取何值,方程一定有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一根为2,求m的值.
(1)求证:无论m取何值,方程一定有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一根为2,求m的值.
答案
5.解:(1)$\because b^2 -4ac=(-m)^2 -4(m-5)=m^2 -4m +20=(m-2)^2 +16＞0$,
$\therefore$无论$m$取何值,方程一定有两个不相等的实数根.
(2)$\because$方程有一根为2,
$\therefore 4-2m +m -5=0,\therefore m=-1.$
$\therefore$无论$m$取何值,方程一定有两个不相等的实数根.
(2)$\because$方程有一根为2,
$\therefore 4-2m +m -5=0,\therefore m=-1.$
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，优先使用根的判别式判断：先确定方程的各项系数a、b、c，计算判别式$\Delta =b^2-4ac$，再通过配方变形，结合平方的非负性证明$\Delta$恒大于0即可得证。
（2）已知方程的根，根据根的定义，将根代入原方程，就能得到关于参数m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 - mx + m -5=0$，可得$a=1$，$b=-m$，$c=m-5$，
计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac=(-m)^2 -4×1×(m-5)=m^2 -4m +20$，
配方变形得：$\Delta=(m-2)^2 +16$，
$\because (m-2)^2≥0$，$\therefore (m-2)^2 +16≥16＞0$，
$\therefore$无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根。
（2）$\because$方程有一根为2，将$x=2$代入原方程得：
$2^2 -2m +m -5=0$，
整理得：$-m -1=0$，
解得：$m=-1$。
【答案】
（1）无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根，得证；
（2）$m=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，侧重考查基础公式和概念的应用，熟练掌握判别式与根的个数的关系、方程根的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，优先使用根的判别式判断：先确定方程的各项系数a、b、c，计算判别式$\Delta =b^2-4ac$，再通过配方变形，结合平方的非负性证明$\Delta$恒大于0即可得证。
（2）已知方程的根，根据根的定义，将根代入原方程，就能得到关于参数m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 - mx + m -5=0$，可得$a=1$，$b=-m$，$c=m-5$，
计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac=(-m)^2 -4×1×(m-5)=m^2 -4m +20$，
配方变形得：$\Delta=(m-2)^2 +16$，
$\because (m-2)^2≥0$，$\therefore (m-2)^2 +16≥16＞0$，
$\therefore$无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根。
（2）$\because$方程有一根为2，将$x=2$代入原方程得：
$2^2 -2m +m -5=0$，
整理得：$-m -1=0$，
解得：$m=-1$。
【答案】
（1）无论m取何值，方程一定有两个不相等的实数根，得证；
（2）$m=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，侧重考查基础公式和概念的应用，熟练掌握判别式与根的个数的关系、方程根的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6.(2025·北京)若关于x的一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$有两个相等的实数根，则实数a的值为（
A.－4
B.－1
C.1
D.4
C
）A.－4
B.－1
C.1
D.4
答案
6.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的相关性质：①一元二次方程的二次项系数不能为0；②当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=0$。解题思路为：先根据判别式等于0列出关于a的方程，再结合二次项系数不为0的条件求解a的值即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
已知方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为a，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$2^2 - 4 × a × 1 = 0$
$4 - 4a = 0$
解得$a=1$，符合$a ≠ 0$的要求，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式的应用
【点评】
本题是基础题，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需注意不要遗漏“二次项系数不为0”这一隐含条件，熟练掌握判别式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的相关性质：①一元二次方程的二次项系数不能为0；②当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=0$。解题思路为：先根据判别式等于0列出关于a的方程，再结合二次项系数不为0的条件求解a的值即可。
【解析】
∵ 方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ $a ≠ 0$
已知方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中二次项系数为a，一次项系数$b=2$，常数项$c=1$，代入得：
$2^2 - 4 × a × 1 = 0$
$4 - 4a = 0$
解得$a=1$，符合$a ≠ 0$的要求，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.根的判别式的应用
【点评】
本题是基础题，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需注意不要遗漏“二次项系数不为0”这一隐含条件，熟练掌握判别式的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 新定义定义:如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$-a+b-1=0$,那么称这个方程为“美妙方程”.已知$ax^2+bx+1=0(a≠0)$是“美妙方程”,且有两个相等的实数根,则$b$的值为
(
A.4
B.3
C.2
D.1
(
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先要准确理解“美妙方程”的新定义，先根据定义推导出参数a与b的数量关系；再结合题目给出的“方程有两个相等的实数根”这一条件，利用一元二次方程根的判别式等于0的性质，将a用含b的式子代入判别式，得到关于b的一元二次方程，求解即可得到b的值。
【解析】
∵ $ax^2+bx+1=0(a≠0)$是“美妙方程”
∴ 根据“美妙方程”的定义可得：$-a + b - 1 = 0$，整理得 $a = b - 1$
∵ 该一元二次方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中方程中常数项$c=1$
将$a = b - 1$，$c=1$代入判别式得：
$b^2 - 4×(b-1)×1 = 0$
展开整理得：$b^2 - 4b + 4 = 0$
即 $(b - 2)^2 = 0$
解得 $b = 2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 新定义问题
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是先读懂新定义的规则得到参数关系，再结合一元二次方程根的判别式的性质列方程求解，只要认真读题、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解“美妙方程”的新定义，先根据定义推导出参数a与b的数量关系；再结合题目给出的“方程有两个相等的实数根”这一条件，利用一元二次方程根的判别式等于0的性质，将a用含b的式子代入判别式，得到关于b的一元二次方程，求解即可得到b的值。
【解析】
∵ $ax^2+bx+1=0(a≠0)$是“美妙方程”
∴ 根据“美妙方程”的定义可得：$-a + b - 1 = 0$，整理得 $a = b - 1$
∵ 该一元二次方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$，其中方程中常数项$c=1$
将$a = b - 1$，$c=1$代入判别式得：
$b^2 - 4×(b-1)×1 = 0$
展开整理得：$b^2 - 4b + 4 = 0$
即 $(b - 2)^2 = 0$
解得 $b = 2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 新定义问题
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是先读懂新定义的规则得到参数关系，再结合一元二次方程根的判别式的性质列方程求解，只要认真读题、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
8.(2025·内江)若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根，则实数a的取值范围是（
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
）A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先注意题干明确是一元二次方程，因此第一步需满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，得到第一个限定条件；其次方程有实数根，结合一元二次方程根的判别式性质，当Δ≥0时方程有实数根，代入对应系数计算Δ并解不等式得到第二个限定条件，最后取两个条件的公共解集即可得到a的取值范围。注意不要遗漏二次项系数不为0的条件，避免误选。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
∵ 一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$2$，常数项为$1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 = 4 - 4(a-1) = 8 - 4a ≥ 0$
解不等式：$8≥4a$，即$a≤2$
综合两个条件，得$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，从而误选A。解决这类问题时要先根据方程类型确定系数的限定条件，再结合根的情况通过判别式列不等式求解，最终取值范围要同时满足所有限定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先注意题干明确是一元二次方程，因此第一步需满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，得到第一个限定条件；其次方程有实数根，结合一元二次方程根的判别式性质，当Δ≥0时方程有实数根，代入对应系数计算Δ并解不等式得到第二个限定条件，最后取两个条件的公共解集即可得到a的取值范围。注意不要遗漏二次项系数不为0的条件，避免误选。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
∵ 一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为$2$，常数项为$1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 = 4 - 4(a-1) = 8 - 4a ≥ 0$
解不等式：$8≥4a$，即$a≤2$
综合两个条件，得$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，从而误选A。解决这类问题时要先根据方程类型确定系数的限定条件，再结合根的情况通过判别式列不等式求解，最终取值范围要同时满足所有限定要求。
【难度系数】
0.7
9.(2025·宿迁泗阳县一模)对于实数a,b定义新运算:$a※b=ab^2 - b$.若关于x的方程$k※x=1$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
.答案
9.$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
解析
【分析】
解题时首先需要根据题目给出的新运算规则，将$k※x=1$转化为常规的代数方程；其次题目明确方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的条件；再结合一元二次方程根的判别式$\Delta＞0$的性质，列不等式求解，最后综合两个条件得到k的取值范围。
【解析】
根据新运算定义$a※b=ab^2 - b$，将$k※x=1$代入得：
$k· x^2 - x = 1$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$kx^2 - x - 1 = 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 首先方程为一元二次方程，即二次项系数$k≠0$；
其次根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-1$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4× k× (-1) = 1 + 4k ＞ 0$
解不等式$1+4k＞0$得：$k ＞ -\frac{1}{4}$
综合两个条件可得：$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k≠0$
【答案】
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
【知识点】
新定义运算；一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的性质，解题的关键是先将新运算转化为熟悉的常规方程，同时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免因忽略该条件出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要根据题目给出的新运算规则，将$k※x=1$转化为常规的代数方程；其次题目明确方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的条件；再结合一元二次方程根的判别式$\Delta＞0$的性质，列不等式求解，最后综合两个条件得到k的取值范围。
【解析】
根据新运算定义$a※b=ab^2 - b$，将$k※x=1$代入得：
$k· x^2 - x = 1$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$kx^2 - x - 1 = 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 首先方程为一元二次方程，即二次项系数$k≠0$；
其次根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k$，$b=-1$，$c=-1$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4× k× (-1) = 1 + 4k ＞ 0$
解不等式$1+4k＞0$得：$k ＞ -\frac{1}{4}$
综合两个条件可得：$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k≠0$
【答案】
$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$
【知识点】
新定义运算；一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的性质，解题的关键是先将新运算转化为熟悉的常规方程，同时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免因忽略该条件出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
10.若等腰三角形的底边长是3,另两边的长是关于x的方程$x^2 -8x +n=0$的两个根,则该等腰三角形的周长为
11
.答案
10.11
解析
【分析】
首先明确已知条件：等腰三角形的底边长固定为3，另外两条边是一元二次方程的两个根，说明这两条边就是等腰三角形的两条腰，长度相等，因此对应的一元二次方程有两个相等的实数根。解题思路为：先利用一元二次方程根的判别式或韦达定理求出腰长，再验证三边长是否满足三角形三边关系，最后计算周长即可。
【解析】
∵ 等腰三角形的底边长为3，
∴ 方程$x^2 -8x +n=0$的两个根是该等腰三角形的两条腰长，两根长度相等，即方程有两个相等的实数根。
方法1：利用判别式求解
判别式$\Delta = (-8)^2 - 4×1× n = 0$，
解得$n=16$，
将$n=16$代入原方程得：$x^2 -8x +16=0$，
因式分解得$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$，即腰长为4。
方法2：利用韦达定理求解
对于一元二次方程$x^2 -8x +n=0$，两根之和为$x_1+x_2=8$，
∵ 两根为相等的腰长，
∴ 腰长为$8÷2=4$。
验证三边关系：三边长为4、4、3，$4+3＞4$，$4+4＞3$，满足三角形三边构成条件。
∴ 等腰三角形的周长为$4+4+3=11$。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形与一元二次方程的综合基础题，解题关键是先明确已知边的身份，避免多余分类讨论，最终要验证三边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：等腰三角形的底边长固定为3，另外两条边是一元二次方程的两个根，说明这两条边就是等腰三角形的两条腰，长度相等，因此对应的一元二次方程有两个相等的实数根。解题思路为：先利用一元二次方程根的判别式或韦达定理求出腰长，再验证三边长是否满足三角形三边关系，最后计算周长即可。
【解析】
∵ 等腰三角形的底边长为3，
∴ 方程$x^2 -8x +n=0$的两个根是该等腰三角形的两条腰长，两根长度相等，即方程有两个相等的实数根。
方法1：利用判别式求解
判别式$\Delta = (-8)^2 - 4×1× n = 0$，
解得$n=16$，
将$n=16$代入原方程得：$x^2 -8x +16=0$，
因式分解得$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$，即腰长为4。
方法2：利用韦达定理求解
对于一元二次方程$x^2 -8x +n=0$，两根之和为$x_1+x_2=8$，
∵ 两根为相等的腰长，
∴ 腰长为$8÷2=4$。
验证三边关系：三边长为4、4、3，$4+3＞4$，$4+4＞3$，满足三角形三边构成条件。
∴ 等腰三角形的周长为$4+4+3=11$。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形与一元二次方程的综合基础题，解题关键是先明确已知边的身份，避免多余分类讨论，最终要验证三边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况。
【难度系数】
0.7
