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11.(8分)(2025·宿迁泗洪县二模)已知$2x^2 + 3x -12=0$，求代数式$x(3-2x)+(2x+3)(2x-3)$的值。
答案
解:原式$=3x-2x^2+4x^2-9=2x^2+3x-9$，
$\because 2x^2+3x-12=0,\therefore 2x^2+3x=12$，
$\therefore$原式$=12-9=3$。
$\because 2x^2+3x-12=0,\therefore 2x^2+3x=12$，
$\therefore$原式$=12-9=3$。
解析
【分析】
本题考查整式的化简求值，无需直接求解一元二次方程得到x的值再代入计算，那样计算量较大且易出错。解题思路如下：第一步，先利用整式运算的法则（单项式乘多项式、平方差公式）将所求代数式展开，再合并同类项进行化简；第二步，观察化简后的代数式结构，可发现其包含已知方程中出现的$2x^2+3x$部分，因此只需从已知方程中求出$2x^2+3x$的值，整体代入化简后的式子即可快速算出结果。
【解析】
首先化简代数式：
$\begin{aligned}x(3-2x)+(2x+3)(2x-3)&=3x-2x^2+[(2x)^2-3^2]\\&=3x-2x^2+4x^2-9\\&=2x^2+3x-9\end{aligned}$
已知$2x^2 + 3x -12=0$，移项可得$2x^2 + 3x=12$，将其代入化简后的式子：
原式$=12-9=3$
【答案】
$3$
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 平方差公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，重点考查整式运算法则及乘法公式的应用能力，运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，避免求解一元二次方程的繁琐步骤，此类解题思路在代数求值问题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的化简求值，无需直接求解一元二次方程得到x的值再代入计算，那样计算量较大且易出错。解题思路如下：第一步，先利用整式运算的法则（单项式乘多项式、平方差公式）将所求代数式展开，再合并同类项进行化简；第二步，观察化简后的代数式结构，可发现其包含已知方程中出现的$2x^2+3x$部分，因此只需从已知方程中求出$2x^2+3x$的值，整体代入化简后的式子即可快速算出结果。
【解析】
首先化简代数式：
$\begin{aligned}x(3-2x)+(2x+3)(2x-3)&=3x-2x^2+[(2x)^2-3^2]\\&=3x-2x^2+4x^2-9\\&=2x^2+3x-9\end{aligned}$
已知$2x^2 + 3x -12=0$，移项可得$2x^2 + 3x=12$，将其代入化简后的式子：
原式$=12-9=3$
【答案】
$3$
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 平方差公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，重点考查整式运算法则及乘法公式的应用能力，运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，避免求解一元二次方程的繁琐步骤，此类解题思路在代数求值问题中应用广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
12.(10分)新定义定义:如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$b=a+c$,那么我们称这个方程为“完美方程”.
(1)下面方程是“完美方程”的是
①$x^2-4x+3=0$; ②$2x^2+x+3=0$; ③$2x^2-x-3=0$.
(2)已知$3x^2+mx+n=0$是关于x的“完美方程”,若m是此“完美方程”的一个根,求m的值.
(1)下面方程是“完美方程”的是
③
.(填序号)①$x^2-4x+3=0$; ②$2x^2+x+3=0$; ③$2x^2-x-3=0$.
(2)已知$3x^2+mx+n=0$是关于x的“完美方程”,若m是此“完美方程”的一个根,求m的值.
答案
(1)③
(2)解:$\because 3x^2+mx+n=0$是关于x的“完美方程”，
$\therefore m=3+n,\therefore n=m-3$，
$\therefore$原方程为$3x^2+mx+m-3=0$。
$\because m$是此“完美方程”的一个根，
$\therefore 3m^2+m^2+m-3=0$,即$4m^2+m-3=0$，
解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{4}$。
(2)解:$\because 3x^2+mx+n=0$是关于x的“完美方程”，
$\therefore m=3+n,\therefore n=m-3$，
$\therefore$原方程为$3x^2+mx+m-3=0$。
$\because m$是此“完美方程”的一个根，
$\therefore 3m^2+m^2+m-3=0$,即$4m^2+m-3=0$，
解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{4}$。
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是准确理解“完美方程”的定义：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，满足$b=a+c$即可。因此只需分别找出每个方程的$a、b、c$，验证$b$是否等于$a+c$即可判断。
（2）解决第二问分两步：第一步先根据“完美方程”的定义，找出$m$和$n$的关系，用$m$表示$n$，从而将原方程化为仅含参数$m$的一元二次方程；第二步根据“方程的根代入方程等式成立”的性质，将$x=m$代入化简后的方程，得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）逐个验证方程：
①对于方程$x^2-4x+3=0$，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，$a+c=1+3=4≠b$，不是“完美方程”；
②对于方程$2x^2+x+3=0$，$a=2$，$b=1$，$c=3$，$a+c=2+3=5≠b$，不是“完美方程”；
③对于方程$2x^2-x-3=0$，$a=2$，$b=-1$，$c=-3$，$a+c=2+(-3)=-1=b$，是“完美方程”。
故填③。
（2）$\because 3x^2+mx+n=0$是关于x的“完美方程”，
$\therefore$根据定义得$m=3+n$，即$n=m-3$，
$\therefore$原方程可化为$3x^2+mx+m-3=0$。
$\because m$是此“完美方程”的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2+m· m + m - 3=0$，
整理得$4m^2+m-3=0$，
因式分解得$(4m-3)(m+1)=0$，
解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{4}$。
【答案】
(1)③；(2)$m=-1$或$m=\dfrac{3}{4}$
【知识点】
新定义应用、一元二次方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的基础应用，解题的关键是正确理解新定义的规则，灵活运用方程根的性质代入计算，侧重对基础知识迁移运用能力的考查。
【难度系数】
0.75
（1）解决第一问的核心是准确理解“完美方程”的定义：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，满足$b=a+c$即可。因此只需分别找出每个方程的$a、b、c$，验证$b$是否等于$a+c$即可判断。
（2）解决第二问分两步：第一步先根据“完美方程”的定义，找出$m$和$n$的关系，用$m$表示$n$，从而将原方程化为仅含参数$m$的一元二次方程；第二步根据“方程的根代入方程等式成立”的性质，将$x=m$代入化简后的方程，得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）逐个验证方程：
①对于方程$x^2-4x+3=0$，$a=1$，$b=-4$，$c=3$，$a+c=1+3=4≠b$，不是“完美方程”；
②对于方程$2x^2+x+3=0$，$a=2$，$b=1$，$c=3$，$a+c=2+3=5≠b$，不是“完美方程”；
③对于方程$2x^2-x-3=0$，$a=2$，$b=-1$，$c=-3$，$a+c=2+(-3)=-1=b$，是“完美方程”。
故填③。
（2）$\because 3x^2+mx+n=0$是关于x的“完美方程”，
$\therefore$根据定义得$m=3+n$，即$n=m-3$，
$\therefore$原方程可化为$3x^2+mx+m-3=0$。
$\because m$是此“完美方程”的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2+m· m + m - 3=0$，
整理得$4m^2+m-3=0$，
因式分解得$(4m-3)(m+1)=0$，
解得$m=-1$或$m=\dfrac{3}{4}$。
【答案】
(1)③；(2)$m=-1$或$m=\dfrac{3}{4}$
【知识点】
新定义应用、一元二次方程的根的定义、解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的基础应用，解题的关键是正确理解新定义的规则，灵活运用方程根的性质代入计算，侧重对基础知识迁移运用能力的考查。
【难度系数】
0.75
13.(12分)(2025·无锡锡山区期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧,交线段$AB$于点$D$;以点$A$为圆心,$AD$的长为半径画弧,交线段$AC$于点$E$,连接$CD$.
(1)若$BC=2$,$AC=2\sqrt{3}$,求$AD$的长.
(2)设$BC=a$,$AC=b$.
①线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根吗?说明理由;
②若$AD=EC$,求$\dfrac{a}{b}$的值.
(1)若$BC=2$,$AC=2\sqrt{3}$,求$AD$的长.
(2)设$BC=a$,$AC=b$.
①线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根吗?说明理由;
②若$AD=EC$,求$\dfrac{a}{b}$的值.
答案
解:(1)$\because$在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,BC=2,AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=4$。
由作图知$BD=BC=2,\therefore AD=AB-BD=4-2=2$。
(2)①线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根，理由：
$\because BC=a,AC=b,∠ ACB=90°,BC=BD$，
$\therefore AD=\sqrt{a^2+b^2}-a$。
由$x^2+2ax-b^2=0$，
得$x=\dfrac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}=\pm\sqrt{a^2+b^2}-a$，
$\therefore$线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根。
②由作图过程知,$AD=AE,BD=BC$，
$\because BC=a,AC=b,AD=EC,\therefore AB=a+\dfrac{b}{2}$。
又$\because ∠ ACB=90°,\therefore a^2+b^2=(a+\dfrac{b}{2})^2$，
$\therefore \dfrac{3}{4}b^2=ab,\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$。
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=4$。
由作图知$BD=BC=2,\therefore AD=AB-BD=4-2=2$。
(2)①线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根，理由：
$\because BC=a,AC=b,∠ ACB=90°,BC=BD$，
$\therefore AD=\sqrt{a^2+b^2}-a$。
由$x^2+2ax-b^2=0$，
得$x=\dfrac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}=\pm\sqrt{a^2+b^2}-a$，
$\therefore$线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根。
②由作图过程知,$AD=AE,BD=BC$，
$\because BC=a,AC=b,AD=EC,\therefore AB=a+\dfrac{b}{2}$。
又$\because ∠ ACB=90°,\therefore a^2+b^2=(a+\dfrac{b}{2})^2$，
$\therefore \dfrac{3}{4}b^2=ab,\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 要求AD的长，首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，再根据作图可知BD=BC，因此AD=AB-BD，代入数值计算即可。
(2) ① 先用含a、b的代数式表示出AD的长度，再用求根公式解出一元二次方程的根，对比AD的表达式和正根是否一致，即可判断；② 首先根据作图可知AD=AE，结合AD=EC可得AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，因此AD=$\frac{b}{2}$，进而可得AB=AD+BD=$a+\frac{b}{2}$，再在Rt△ABC中利用勾股定理列等式，化简后即可求出$\frac{a}{b}$的值。
【解析】
(1) $\because$在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=2$，$AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{16}=4$。
由作图知$BD=BC=2$，$\therefore AD=AB-BD=4-2=2$。
(2) ① 线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根，理由：
$\because BC=a$，$AC=b$，$∠ ACB=90°$，$BC=BD$，
$\therefore AB=\sqrt{a^2+b^2}$，$\therefore AD=AB-BD=\sqrt{a^2+b^2}-a$。
解方程$x^2+2ax-b^2=0$，
由求根公式得$x=\dfrac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}=\pm\sqrt{a^2+b^2}-a$，
$\because$线段长度为正数，$\therefore$方程的正根为$\sqrt{a^2+b^2}-a$，与$AD$的长度一致，故线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根。
② 由作图过程知，$AD=AE$，$BD=BC=a$，
$\because AD=EC$，$\therefore AD=AE=EC$，
$\because AC=b$，$\therefore AE=EC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{b}{2}$，即$AD=\dfrac{b}{2}$，
$\therefore AB=AD+BD=a+\dfrac{b}{2}$，
又$\because ∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
$\therefore a^2+b^2=(a+\dfrac{b}{2})^2$，
展开右边得：$a^2+b^2=a^2+ab+\dfrac{b^2}{4}$，
移项化简得：$\dfrac{3b^2}{4}=ab$，
$\because b≠0$，等式两边同时除以$b$得：$\dfrac{3b}{4}=a$，
$\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AD=2}$
(2) ① 是，理由见解析；② $\boldsymbol{\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程求根公式，等式化简
【点评】
本题属于几何与代数的综合基础题，解题的关键是结合作图过程得到线段之间的等量关系，再结合勾股定理、一元二次方程的相关知识逐步推导，能够有效考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AD的长，首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，再根据作图可知BD=BC，因此AD=AB-BD，代入数值计算即可。
(2) ① 先用含a、b的代数式表示出AD的长度，再用求根公式解出一元二次方程的根，对比AD的表达式和正根是否一致，即可判断；② 首先根据作图可知AD=AE，结合AD=EC可得AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，因此AD=$\frac{b}{2}$，进而可得AB=AD+BD=$a+\frac{b}{2}$，再在Rt△ABC中利用勾股定理列等式，化简后即可求出$\frac{a}{b}$的值。
【解析】
(1) $\because$在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=2$，$AC=2\sqrt{3}$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{16}=4$。
由作图知$BD=BC=2$，$\therefore AD=AB-BD=4-2=2$。
(2) ① 线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根，理由：
$\because BC=a$，$AC=b$，$∠ ACB=90°$，$BC=BD$，
$\therefore AB=\sqrt{a^2+b^2}$，$\therefore AD=AB-BD=\sqrt{a^2+b^2}-a$。
解方程$x^2+2ax-b^2=0$，
由求根公式得$x=\dfrac{-2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{2}=\pm\sqrt{a^2+b^2}-a$，
$\because$线段长度为正数，$\therefore$方程的正根为$\sqrt{a^2+b^2}-a$，与$AD$的长度一致，故线段$AD$的长是方程$x^2+2ax-b^2=0$的一个根。
② 由作图过程知，$AD=AE$，$BD=BC=a$，
$\because AD=EC$，$\therefore AD=AE=EC$，
$\because AC=b$，$\therefore AE=EC=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{b}{2}$，即$AD=\dfrac{b}{2}$，
$\therefore AB=AD+BD=a+\dfrac{b}{2}$，
又$\because ∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$，
$\therefore a^2+b^2=(a+\dfrac{b}{2})^2$，
展开右边得：$a^2+b^2=a^2+ab+\dfrac{b^2}{4}$，
移项化简得：$\dfrac{3b^2}{4}=ab$，
$\because b≠0$，等式两边同时除以$b$得：$\dfrac{3b}{4}=a$，
$\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AD=2}$
(2) ① 是，理由见解析；② $\boldsymbol{\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
勾股定理，一元二次方程求根公式，等式化简
【点评】
本题属于几何与代数的综合基础题，解题的关键是结合作图过程得到线段之间的等量关系，再结合勾股定理、一元二次方程的相关知识逐步推导，能够有效考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
