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7. 如图,佩奇去山里寻宝,发现藏宝图上有几句话:一号宝藏在坐标为$M(3,2)$的大门处,二号宝藏在坐标为$N(3,-2)$的大门处,三号宝藏在坐标为$(0,0)$的大门处.若$M,N$点的位置如图所示,则三号宝藏的位置应该在 (
A.A点处
B.B点处
C.C点处
D.D点处
B
)A.A点处
B.B点处
C.C点处
D.D点处
答案
B
解析
【分析】
要找到坐标为(0,0)的三号宝藏位置，首先需要根据已知的M(3,2)、N(3,-2)两点坐标确定平面直角坐标系的x轴、y轴位置。首先观察两点坐标特征：横坐标均为3，说明两点在平行于y轴的竖直线x=3上；纵坐标互为相反数，说明两点关于x轴对称，因此x轴是过线段MN中点且垂直于MN的水平线，再结合x轴、y轴交点为原点的性质，就能定位原点的位置。
【解析】
1. 由M(3,2)、N(3,-2)的横坐标相同，可知直线MN是平行于y轴的直线$x=3$；
2. 计算线段MN的中点坐标：横坐标为$\frac{3+3}{2}=3$，纵坐标为$\frac{2+(-2)}{2}=0$，即中点为$(3,0)$，该点在x轴上，因此x轴是过点$(3,0)$且垂直于MN的水平线，y轴正方向向上，负方向向下；
3. 原点$(0,0)$的横坐标为0，即位于直线$x=3$左侧、与直线$x=3$水平距离为3个单位的竖直线（y轴）上，同时纵坐标为0，即位于x轴上，两轴交点就是原点。对照图中各点，原点对应B点。
【答案】
B
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点的坐标特征
【点评】
本题考查根据已知点坐标确定平面直角坐标系的能力，解题核心是利用两点坐标的共性判断坐标轴的位置，只要熟练掌握坐标与坐标系的对应关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
要找到坐标为(0,0)的三号宝藏位置，首先需要根据已知的M(3,2)、N(3,-2)两点坐标确定平面直角坐标系的x轴、y轴位置。首先观察两点坐标特征：横坐标均为3，说明两点在平行于y轴的竖直线x=3上；纵坐标互为相反数，说明两点关于x轴对称，因此x轴是过线段MN中点且垂直于MN的水平线，再结合x轴、y轴交点为原点的性质，就能定位原点的位置。
【解析】
1. 由M(3,2)、N(3,-2)的横坐标相同，可知直线MN是平行于y轴的直线$x=3$；
2. 计算线段MN的中点坐标：横坐标为$\frac{3+3}{2}=3$，纵坐标为$\frac{2+(-2)}{2}=0$，即中点为$(3,0)$，该点在x轴上，因此x轴是过点$(3,0)$且垂直于MN的水平线，y轴正方向向上，负方向向下；
3. 原点$(0,0)$的横坐标为0，即位于直线$x=3$左侧、与直线$x=3$水平距离为3个单位的竖直线（y轴）上，同时纵坐标为0，即位于x轴上，两轴交点就是原点。对照图中各点，原点对应B点。
【答案】
B
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点的坐标特征
【点评】
本题考查根据已知点坐标确定平面直角坐标系的能力，解题核心是利用两点坐标的共性判断坐标轴的位置，只要熟练掌握坐标与坐标系的对应关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
8. [2025哈尔滨南岗区期中] 在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫作极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向（通常取逆时针方向）。如图，对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标。若ON⊥Ox，且点N到极点O的距离为4个单位长度，则点N的极坐标可表示为
(4,90°)或(4,270°)
。答案
(4,90°)或(4,270°)
解析
【分析】
首先要读懂题目给出的极坐标定义：极坐标由有序数对$(\rho,θ)$组成，$\rho$是点到极点$O$的线段长度，$θ$是从极轴$Ox$按逆时针正方向转到该点与极点连线的角度。解题时分两步思考：第一步先确定$\rho$的数值，第二步确定$θ$的可能取值，注意$ON$垂直$Ox$存在两种位置情况，避免漏解。
【解析】
1. 确定极径$\rho$：根据题意，点$N$到极点$O$的距离为4个单位长度，因此$\rho=4$。
2. 确定极角$θ$：已知$ON⊥ Ox$，角度正方向为逆时针方向：
若点$N$在$Ox$轴上方，从$Ox$逆时针转到$ON$的角度为$90°$，即$θ=90°$；
若点$N$在$Ox$轴下方，从$Ox$逆时针转到$ON$的角度为$270°$，即$θ=270°$。
综上，点$N$的极坐标可表示为$(4,90°)$或$(4,270°)$。
【答案】
$(4,90°)$或$(4,270°)$
【知识点】
极坐标新定义，垂直的定义，分类讨论
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解极坐标中$\rho$和$θ$的含义，解题时要注意垂直于$Ox$轴的直线有上下两个方向，需全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先要读懂题目给出的极坐标定义：极坐标由有序数对$(\rho,θ)$组成，$\rho$是点到极点$O$的线段长度，$θ$是从极轴$Ox$按逆时针正方向转到该点与极点连线的角度。解题时分两步思考：第一步先确定$\rho$的数值，第二步确定$θ$的可能取值，注意$ON$垂直$Ox$存在两种位置情况，避免漏解。
【解析】
1. 确定极径$\rho$：根据题意，点$N$到极点$O$的距离为4个单位长度，因此$\rho=4$。
2. 确定极角$θ$：已知$ON⊥ Ox$，角度正方向为逆时针方向：
若点$N$在$Ox$轴上方，从$Ox$逆时针转到$ON$的角度为$90°$，即$θ=90°$；
若点$N$在$Ox$轴下方，从$Ox$逆时针转到$ON$的角度为$270°$，即$θ=270°$。
综上，点$N$的极坐标可表示为$(4,90°)$或$(4,270°)$。
【答案】
$(4,90°)$或$(4,270°)$
【知识点】
极坐标新定义，垂直的定义，分类讨论
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解极坐标中$\rho$和$θ$的含义，解题时要注意垂直于$Ox$轴的直线有上下两个方向，需全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9. 在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上.
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系,使点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,1);
(2)△ABC是
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系,使点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(2,1);
(2)△ABC是
直角
三角形,并说明理由.答案
解:(1)如图所示
。(2)直角
∵AB²=1²+2²=5,AC²=2²+4²=20,BC²=3²+4²=25,
∴AB²+AC²=BC²,
∴△ABC是直角三角形。
解析
【分析】
(1) 建立平面直角坐标系需先确定原点位置：坐标的横坐标表示水平方向位置（右为正方向），纵坐标表示竖直方向位置（上为正方向），已知点A坐标为(1,3)，因此原点在A点向左平移1个单位、向下平移3个单位的格点处，过原点作水平x轴、竖直y轴即可。
(2) 判断三角形形状可使用勾股定理逆定理：先借助网格用勾股定理算出△ABC三边长度的平方，再验证是否存在两边平方和等于第三边平方，若满足则为直角三角形。
【解析】
(1) 根据A(1,3)、B(2,1)的坐标，将点A向左移动1格、向下移动3格得到坐标原点O，过O作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的建立，如图所示。
(2) 计算△ABC三边的平方：
AB的横向差为1，纵向差为2，因此$AB^2=1^2+2^2=5$；
AC的横向差为4，纵向差为2，因此$AC^2=4^2+2^2=20$；
BC的横向差为3，纵向差为4，因此$BC^2=3^2+4^2=25$；
$\because AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1)
(2) 直角；理由：$\because AB^2=1^2+2^2=5,AC^2=2^2+4^2=20,BC^2=3^2+4^2=25$，$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【知识点】
平面直角坐标系建立、勾股定理、勾股定理逆定理
【点评】
本题是坐标系与三角形性质结合的基础题，既考查了根据已知点坐标确定坐标系的能力，也考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题时要注意网格中线段长度的计算方法，牢记逆定理的判定条件。
【难度系数】
0.8
(1) 建立平面直角坐标系需先确定原点位置：坐标的横坐标表示水平方向位置（右为正方向），纵坐标表示竖直方向位置（上为正方向），已知点A坐标为(1,3)，因此原点在A点向左平移1个单位、向下平移3个单位的格点处，过原点作水平x轴、竖直y轴即可。
(2) 判断三角形形状可使用勾股定理逆定理：先借助网格用勾股定理算出△ABC三边长度的平方，再验证是否存在两边平方和等于第三边平方，若满足则为直角三角形。
【解析】
(1) 根据A(1,3)、B(2,1)的坐标，将点A向左移动1格、向下移动3格得到坐标原点O，过O作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的建立，如图所示
。(2) 计算△ABC三边的平方：
AB的横向差为1，纵向差为2，因此$AB^2=1^2+2^2=5$；
AC的横向差为4，纵向差为2，因此$AC^2=4^2+2^2=20$；
BC的横向差为3，纵向差为4，因此$BC^2=3^2+4^2=25$；
$\because AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
(1)
(2) 直角；理由：$\because AB^2=1^2+2^2=5,AC^2=2^2+4^2=20,BC^2=3^2+4^2=25$，$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【知识点】
平面直角坐标系建立、勾股定理、勾股定理逆定理
【点评】
本题是坐标系与三角形性质结合的基础题，既考查了根据已知点坐标确定坐标系的能力，也考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题时要注意网格中线段长度的计算方法，牢记逆定理的判定条件。
【难度系数】
0.8
10. 茅麓中学位于金坛的点O处,该校学生要到尧塘C处购买花木.他们先向东走了6 km到达A处,又向北走了12 km到达B处,最后又向东走了10 km到达C处.若以点O为原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,1个单位长度表示1 km.
(1)建立平面直角坐标系,并标出他们从O到C的路线;
(2)点C的坐标是
(3)求O,C两地的距离;
(4)若O,C两点的位置不变,在x轴上找点P,使得$△ OCP$的面积是$△ OCA$面积的$\frac{1}{2}$,试写出点P的坐标.
(1)建立平面直角坐标系,并标出他们从O到C的路线;
(2)点C的坐标是
(16,12)
,CB与x轴的关系是平行
;(3)求O,C两地的距离;
(4)若O,C两点的位置不变,在x轴上找点P,使得$△ OCP$的面积是$△ OCA$面积的$\frac{1}{2}$,试写出点P的坐标.
答案
解:(1)建立的平面直角坐标系如图所示
,从O到C的路线为折线OABC。(2)(16,12) 平行
(3)
∵点C的坐标为(16,12),
∴OC=√(12²+16²)=20(km),
∴O,C两地的距离为20 km。
(4)S△OCA=1/2 ×6×12=36(km²)。
∵S△OCP=1/2 S△OCA,
∴S△OCP=18 km²。
设点P的坐标为(x,0),则S△OCP=1/2 ×|x|×12=18,
∴|x|=3,
∴x=±3,
∴点P的坐标是(3,0)或(-3,0)。
解析
【分析】
本题围绕平面直角坐标系的应用展开，解题思路如下：1. 第(1)问按照题目给定的原点、坐标轴方向和单位长度建立坐标系，再依次描出O、A、B、C四点，连接折线即可得到路线；2. 第(2)问求C点坐标，正东为x轴正方向，故C点横坐标为两次向东走的路程和6+10=16，正北为y轴正方向，纵坐标为向北走的12km，即可得到坐标；CB是水平向东的线段，所有点纵坐标相同，因此和x轴平行；3. 第(3)问求O到C的距离，已知C点坐标，可将OC看作直角三角形的斜边，两直角边分别为C点横、纵坐标的长度，用勾股定理计算即可；4. 第(4)问先算出△OCA的面积，再根据面积关系得到△OCP的面积，△OCP的底为OP的长度，高为C点的纵坐标12，设P点坐标为(x,0)，列方程求解即可，注意P点可在x轴正半轴或负半轴，不要漏解。
【解析】
(1) 按照题目要求，以O为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，1个单位长度表示1km建立平面直角坐标系，依次连接O→A→B→C，所得折线OABC即为从O到C的路线。
(2) C点横坐标为向东走的总路程：6+10=16，纵坐标为向北走的路程12，故C点坐标为(16,12)；CB上所有点的纵坐标均为12，因此CB与x轴平行。
(3) 已知点C坐标为(16,12)，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20(\mathrm{km})$
即O、C两地的距离为20km。
(4) 先计算△OCA的面积：△OCA以OA为底，长度为6km，高为A点到C点的竖直高度12km，因此
$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×6×12=36(\mathrm{km}^2)$
由题意得$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}S_{△ OCA}=18\mathrm{km}^2$
设点P坐标为$(x,0)$，△OCP以OP为底，长度为$|x|$，高为C点纵坐标12，因此：
$\frac{1}{2}×|x|×12=18$
化简得$|x|=3$，解得$x=3$或$x=-3$
即点P的坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$。
【答案】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示，从O到C的路线为折线OABC。
(2) $(16,12)$；平行
(3) O、C两地的距离为20 km。
(4) 点P的坐标是$(3,0)$或$(-3,0)$。
【知识点】
平面直角坐标系应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合实际出行场景考查平面直角坐标系的基础知识点，题型基础，覆盖坐标求解、距离计算、动点面积问题等考点，解题时需注意坐标的正负性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕平面直角坐标系的应用展开，解题思路如下：1. 第(1)问按照题目给定的原点、坐标轴方向和单位长度建立坐标系，再依次描出O、A、B、C四点，连接折线即可得到路线；2. 第(2)问求C点坐标，正东为x轴正方向，故C点横坐标为两次向东走的路程和6+10=16，正北为y轴正方向，纵坐标为向北走的12km，即可得到坐标；CB是水平向东的线段，所有点纵坐标相同，因此和x轴平行；3. 第(3)问求O到C的距离，已知C点坐标，可将OC看作直角三角形的斜边，两直角边分别为C点横、纵坐标的长度，用勾股定理计算即可；4. 第(4)问先算出△OCA的面积，再根据面积关系得到△OCP的面积，△OCP的底为OP的长度，高为C点的纵坐标12，设P点坐标为(x,0)，列方程求解即可，注意P点可在x轴正半轴或负半轴，不要漏解。
【解析】
(1) 按照题目要求，以O为原点，正东为x轴正方向，正北为y轴正方向，1个单位长度表示1km建立平面直角坐标系，依次连接O→A→B→C，所得折线OABC即为从O到C的路线。
(2) C点横坐标为向东走的总路程：6+10=16，纵坐标为向北走的路程12，故C点坐标为(16,12)；CB上所有点的纵坐标均为12，因此CB与x轴平行。
(3) 已知点C坐标为(16,12)，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20(\mathrm{km})$
即O、C两地的距离为20km。
(4) 先计算△OCA的面积：△OCA以OA为底，长度为6km，高为A点到C点的竖直高度12km，因此
$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}×6×12=36(\mathrm{km}^2)$
由题意得$S_{△ OCP}=\frac{1}{2}S_{△ OCA}=18\mathrm{km}^2$
设点P坐标为$(x,0)$，△OCP以OP为底，长度为$|x|$，高为C点纵坐标12，因此：
$\frac{1}{2}×|x|×12=18$
化简得$|x|=3$，解得$x=3$或$x=-3$
即点P的坐标为$(3,0)$或$(-3,0)$。
【答案】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示
，从O到C的路线为折线OABC。(2) $(16,12)$；平行
(3) O、C两地的距离为20 km。
(4) 点P的坐标是$(3,0)$或$(-3,0)$。
【知识点】
平面直角坐标系应用，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合实际出行场景考查平面直角坐标系的基础知识点，题型基础，覆盖坐标求解、距离计算、动点面积问题等考点，解题时需注意坐标的正负性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
