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1. [2025湖南中考]在平面直角坐标系中，将点$P(-3,2)$向右平移3个单位长度到$P_1$处，则点$P_1$的坐标为（
A.$(-6,2)$
B.$(0,2)$
C.$(-3,5)$
D.$(-3,-1)$
B
）A.$(-6,2)$
B.$(0,2)$
C.$(-3,5)$
D.$(-3,-1)$
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中点的平移坐标变化规则：①左右平移：横坐标改变，纵坐标不变，规律是“左减右加”，即向左平移n个单位，横坐标减n，向右平移n个单位，横坐标加n；②上下平移：纵坐标改变，横坐标不变，规律是“上加下减”。本题是将点向右平移，只需用原横坐标加平移的单位长度，纵坐标保持不变，即可得到平移后点的坐标。
【解析】
已知点P的坐标为(-3,2)，将其向右平移3个单位长度，根据“右加左减，纵不变”的平移规律：
平移后点P₁的横坐标为：$-3+3=0$
平移后点P₁的纵坐标和原坐标纵坐标相同，为2
因此点P₁的坐标为$(0,2)$。
【答案】
B
【知识点】
点平移的坐标规律，平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题，考查点平移时的坐标变化规律，牢记平移坐标变化口诀可快速得出结果，是平移相关知识点的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确平面直角坐标系中点的平移坐标变化规则：①左右平移：横坐标改变，纵坐标不变，规律是“左减右加”，即向左平移n个单位，横坐标减n，向右平移n个单位，横坐标加n；②上下平移：纵坐标改变，横坐标不变，规律是“上加下减”。本题是将点向右平移，只需用原横坐标加平移的单位长度，纵坐标保持不变，即可得到平移后点的坐标。
【解析】
已知点P的坐标为(-3,2)，将其向右平移3个单位长度，根据“右加左减，纵不变”的平移规律：
平移后点P₁的横坐标为：$-3+3=0$
平移后点P₁的纵坐标和原坐标纵坐标相同，为2
因此点P₁的坐标为$(0,2)$。
【答案】
B
【知识点】
点平移的坐标规律，平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础题，考查点平移时的坐标变化规律，牢记平移坐标变化口诀可快速得出结果，是平移相关知识点的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 在平面直角坐标系中,将点A向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到点$A'(2,1)$,则点A的坐标是
(5,2)
.答案
(5,2)
解析
【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标“左减右加”，纵坐标“上加下减”。已知平移后的点坐标求原点点坐标，有两种思考方向：一是设原点坐标为未知数，根据平移规则列方程求解；二是将平移过程逆推，把平移后的点按相反方向平移，即可得到原点坐标，两种方法都符合本学段知识要求。
【解析】
方法1：逆推法
点A经过“向左平移3个单位、向下平移1个单位”得到A'，逆向操作就是将A'向右平移3个单位、向上平移1个单位得到点A：
横坐标计算：$2 + 3 = 5$
纵坐标计算：$1 + 1 = 2$
因此点A坐标为(5,2)。
方法2：方程法
设点A的坐标为$(x,y)$，根据平移规则可得：
平移后横坐标：$x - 3 = 2$，解得$x=5$
平移后纵坐标：$y - 1 = 1$，解得$y=2$
因此点A坐标为(5,2)。
【答案】
$(5,2)$
【知识点】
坐标平移规律、一元一次方程应用
【点评】
本题属于平移相关的基础题，核心考查平移时坐标的变化规则，解题时只要区分清楚平移方向对横纵坐标的影响，无论是正向列方程还是逆向推导都能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确平面直角坐标系中点的平移规律：横坐标“左减右加”，纵坐标“上加下减”。已知平移后的点坐标求原点点坐标，有两种思考方向：一是设原点坐标为未知数，根据平移规则列方程求解；二是将平移过程逆推，把平移后的点按相反方向平移，即可得到原点坐标，两种方法都符合本学段知识要求。
【解析】
方法1：逆推法
点A经过“向左平移3个单位、向下平移1个单位”得到A'，逆向操作就是将A'向右平移3个单位、向上平移1个单位得到点A：
横坐标计算：$2 + 3 = 5$
纵坐标计算：$1 + 1 = 2$
因此点A坐标为(5,2)。
方法2：方程法
设点A的坐标为$(x,y)$，根据平移规则可得：
平移后横坐标：$x - 3 = 2$，解得$x=5$
平移后纵坐标：$y - 1 = 1$，解得$y=2$
因此点A坐标为(5,2)。
【答案】
$(5,2)$
【知识点】
坐标平移规律、一元一次方程应用
【点评】
本题属于平移相关的基础题，核心考查平移时坐标的变化规则，解题时只要区分清楚平移方向对横纵坐标的影响，无论是正向列方程还是逆向推导都能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. [2025盐城建湖期末] 在平面直角坐标系中,把点$P(a-1,3)$向右平移5个单位长度得到点$Q(2-2b,3)$,则$2a+4b+7$的值为
3
.答案
3
∵ 把点 P(a-1,3)向右平移5个单位长度得到点Q(2-2b,3),
∴ a-1+5=2-2b,
∴ a+2b = -2,
∴ 2a+4b +7=2(a+2b)+7=-4+7=3.
∵ 把点 P(a-1,3)向右平移5个单位长度得到点Q(2-2b,3),
∴ a-1+5=2-2b,
∴ a+2b = -2,
∴ 2a+4b +7=2(a+2b)+7=-4+7=3.
解析
【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点向右平移时，横坐标加上平移的单位长度，纵坐标保持不变。观察题中两点纵坐标均为3，符合平移后纵坐标不变的特点，因此只需根据横坐标的变化列出关于a、b的等式，整理得到a与2b的数量关系，再将所求代数式变形为包含该数量关系的形式，整体代入即可求解，无需单独计算a、b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵ 把点$P(a-1,3)$向右平移5个单位长度得到点$Q(2-2b,3)$，
根据点向右平移横坐标加5、纵坐标不变的规律，可得：
$a-1+5=2-2b$
整理等式得：$a+2b = -2$
对所求代数式变形可得：$2a+4b +7=2(a+2b)+7$
将$a+2b=-2$代入上式：
$2×(-2)+7=-4+7=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 点平移的坐标规律
2. 整体代入求代数式的值
【点评】
本题是平移与坐标变化的基础题型，解题核心是熟记点平移的坐标变化规则，结合整体代入的数学思想，可快速求出代数式的值，避免单独求解未知数带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：点向右平移时，横坐标加上平移的单位长度，纵坐标保持不变。观察题中两点纵坐标均为3，符合平移后纵坐标不变的特点，因此只需根据横坐标的变化列出关于a、b的等式，整理得到a与2b的数量关系，再将所求代数式变形为包含该数量关系的形式，整体代入即可求解，无需单独计算a、b的具体数值，简化计算过程。
【解析】
∵ 把点$P(a-1,3)$向右平移5个单位长度得到点$Q(2-2b,3)$，
根据点向右平移横坐标加5、纵坐标不变的规律，可得：
$a-1+5=2-2b$
整理等式得：$a+2b = -2$
对所求代数式变形可得：$2a+4b +7=2(a+2b)+7$
将$a+2b=-2$代入上式：
$2×(-2)+7=-4+7=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 点平移的坐标规律
2. 整体代入求代数式的值
【点评】
本题是平移与坐标变化的基础题型，解题核心是熟记点平移的坐标变化规则，结合整体代入的数学思想，可快速求出代数式的值，避免单独求解未知数带来的不必要计算。
【难度系数】
0.8
4. 在平面直角坐标系中,将三角形各顶点的纵坐标都减去5,横坐标保持不变,所得图形与原图形相比 (
A.向上平移了5个单位长度
B.向下平移了5个单位长度
C.向左平移了5个单位长度
D.向右平移了5个单位长度
B
)A.向上平移了5个单位长度
B.向下平移了5个单位长度
C.向左平移了5个单位长度
D.向右平移了5个单位长度
答案
B
解析
【分析】
首先我们要明确：图形的平移本质是图形上所有点的同步平移，判断图形的平移方向，只需要分析顶点坐标的变化规律即可。先回忆平移对应的坐标变化规则：横坐标的变化对应左右方向的平移，纵坐标的变化对应上下方向的平移，其中纵坐标减去正数代表点向下移动。本题中三角形顶点横坐标不变、纵坐标统一减5，结合规律就能直接判断平移方向。
【解析】
根据平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律：
1. 当图形各点横坐标不变时，纵坐标加正数，图形向上平移对应单位长度；纵坐标减正数，图形向下平移对应单位长度。
2. 本题中三角形各顶点横坐标保持不变，纵坐标都减去5，符合“纵坐标减正数”的平移规则，因此所得图形相比原图形向下平移了5个单位长度。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移的坐标变化规律，解题核心是熟记“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的平移规则，是平移相关的基础题型。
【难度系数】
0.9
首先我们要明确：图形的平移本质是图形上所有点的同步平移，判断图形的平移方向，只需要分析顶点坐标的变化规律即可。先回忆平移对应的坐标变化规则：横坐标的变化对应左右方向的平移，纵坐标的变化对应上下方向的平移，其中纵坐标减去正数代表点向下移动。本题中三角形顶点横坐标不变、纵坐标统一减5，结合规律就能直接判断平移方向。
【解析】
根据平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律：
1. 当图形各点横坐标不变时，纵坐标加正数，图形向上平移对应单位长度；纵坐标减正数，图形向下平移对应单位长度。
2. 本题中三角形各顶点横坐标保持不变，纵坐标都减去5，符合“纵坐标减正数”的平移规则，因此所得图形相比原图形向下平移了5个单位长度。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平移的坐标变化规律，解题核心是熟记“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的平移规则，是平移相关的基础题型。
【难度系数】
0.9
5. [2024辽宁中考] 在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A(2, -1), B(1,0)，将线段AB平移后，点A的对应点A'的坐标为(2,1)，则点B的对应点B'的坐标为
(1,2)
。答案
(1,2)
∵ 点 A 的坐标为(2, -1),且平移后对应点 A'的坐标为(2,1),
∴ 2-2=0,1 - (-1) = 2. 又
∵ B(1,0),
∴ 1 + 0 = 1,0 + 2 = 2,
∴ 点 B 的对应点 B'的坐标为(1,2).
∵ 点 A 的坐标为(2, -1),且平移后对应点 A'的坐标为(2,1),
∴ 2-2=0,1 - (-1) = 2. 又
∵ B(1,0),
∴ 1 + 0 = 1,0 + 2 = 2,
∴ 点 B 的对应点 B'的坐标为(1,2).
解析
【分析】
解决这道题的核心是利用平移的性质：平移过程中，所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量均相同。解题时首先通过已知的点A及其对应点A'的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出点B的对应点B'的坐标。
【解析】
首先根据点A和对应点A'的坐标计算平移的变化量：
已知A(2, -1)，平移后A'(2, 1)，
横坐标变化量：$2-2=0$，即平移后横坐标不变；
纵坐标变化量：$1-(-1)=2$，即平移后纵坐标增加2。
再将该变化量应用到点B上：
已知B(1, 0)，
则B'的横坐标为$1+0=1$，
B'的纵坐标为$0+2=2$，
因此点B的对应点B'的坐标为(1, 2)。
【答案】
(1,2)
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律 2. 平移的性质
【点评】
本题是平移与坐标变化的基础题型，重点考查平移前后对应点坐标变化量一致的性质，解题关键是准确计算平移的横、纵坐标变化量，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是利用平移的性质：平移过程中，所有对应点的横坐标变化量、纵坐标变化量均相同。解题时首先通过已知的点A及其对应点A'的坐标，计算出平移时横坐标和纵坐标的变化量，再将该变化量应用到点B上，即可求出点B的对应点B'的坐标。
【解析】
首先根据点A和对应点A'的坐标计算平移的变化量：
已知A(2, -1)，平移后A'(2, 1)，
横坐标变化量：$2-2=0$，即平移后横坐标不变；
纵坐标变化量：$1-(-1)=2$，即平移后纵坐标增加2。
再将该变化量应用到点B上：
已知B(1, 0)，
则B'的横坐标为$1+0=1$，
B'的纵坐标为$0+2=2$，
因此点B的对应点B'的坐标为(1, 2)。
【答案】
(1,2)
【知识点】
1. 平移的坐标变化规律 2. 平移的性质
【点评】
本题是平移与坐标变化的基础题型，重点考查平移前后对应点坐标变化量一致的性质，解题关键是准确计算平移的横、纵坐标变化量，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
6. [2025 六安裕安区月考] 如图,在平面直角坐标系中,将△ABC平移至△A₁B₁C₁,点P(a,b)是△ABC内一点,经平移后得到△A₁B₁C₁内对应点P₁(a+8,b−5).若点A₁的坐标为(5,−1),则点A的坐标为
(-3,4)
.答案
(-3,4) 设A(x,y),
∵ A₁(5,-1),点 P(a,b)的对应点是 P₁(a+8,b-5),
∴ x+8=5,y-5 = -1,解得 x = -3,y = 4,
∴ A( -3,4).
∵ A₁(5,-1),点 P(a,b)的对应点是 P₁(a+8,b-5),
∴ x+8=5,y-5 = -1,解得 x = -3,y = 4,
∴ A( -3,4).
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确图形平移的性质：图形平移时，图形上所有点的平移规律完全相同，对应点的坐标变化规律一致。首先我们可以通过点P和它的对应点P₁的坐标，得出本次平移的坐标变化规则：原坐标的横坐标加8、纵坐标减5得到平移后点的坐标。已知平移后点A₁的坐标，要求原点点A的坐标，我们可以设点A的坐标为(x,y)，根据平移规则列出关于x、y的方程，求解即可得到点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为(x,y)，
∵ 点P(a,b)平移后对应点为P₁(a+8,b−5)，说明平移后点的横坐标为原横坐标加8，纵坐标为原纵坐标减5，
又
∵ 点A平移后的对应点A₁的坐标为(5,−1)，
∴ 可列方程：$x+8=5$，$y−5=−1$，
解得：$x=−3$，$y=4$，
即点A的坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
平移的坐标特征；点的坐标运算
【点评】
本题属于基础题，核心考察平移过程中对应点坐标变化的一致性，解题的关键是先根据已知对应点的坐标总结出平移的坐标变化规则，再结合已知的平移后点的坐标反向求解原点点坐标，熟练掌握平移的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确图形平移的性质：图形平移时，图形上所有点的平移规律完全相同，对应点的坐标变化规律一致。首先我们可以通过点P和它的对应点P₁的坐标，得出本次平移的坐标变化规则：原坐标的横坐标加8、纵坐标减5得到平移后点的坐标。已知平移后点A₁的坐标，要求原点点A的坐标，我们可以设点A的坐标为(x,y)，根据平移规则列出关于x、y的方程，求解即可得到点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为(x,y)，
∵ 点P(a,b)平移后对应点为P₁(a+8,b−5)，说明平移后点的横坐标为原横坐标加8，纵坐标为原纵坐标减5，
又
∵ 点A平移后的对应点A₁的坐标为(5,−1)，
∴ 可列方程：$x+8=5$，$y−5=−1$，
解得：$x=−3$，$y=4$，
即点A的坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
平移的坐标特征；点的坐标运算
【点评】
本题属于基础题，核心考察平移过程中对应点坐标变化的一致性，解题的关键是先根据已知对应点的坐标总结出平移的坐标变化规则，再结合已知的平移后点的坐标反向求解原点点坐标，熟练掌握平移的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
7. 教材P121例1变式 在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点的位置如图所示. 点$A'$的坐标为$(0,4)$,现将$△ ABC$平移,使点$A$与点$A'$重合,点$B',C'$分别是点$B,C$的对应点.
(1)画出$△ A'B'C'$,写出点$B',C'$的坐标,并说明$△ A'B'C'$是由$△ ABC$怎样平移得到的；
(2)求出$△ ABC$的面积；
(3)点$P$在$y$轴上,且$△ BCP$与$△ ABC$的面积相等,求点$P$的坐标.
(1)画出$△ A'B'C'$,写出点$B',C'$的坐标,并说明$△ A'B'C'$是由$△ ABC$怎样平移得到的；
(2)求出$△ ABC$的面积；
(3)点$P$在$y$轴上,且$△ BCP$与$△ ABC$的面积相等,求点$P$的坐标.
答案
解:(1)△A'B'C'如图所示
。点 B'的坐标是(-1,1),点 C'的坐标是(3,1)。把△ABC 先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度(或先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度),得到△A'B'C'.(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$.
(3)设点 P 的坐标为(0,y).易得 BC=4,点 P 到 BC 的距离为|y+2|,由题意,得$\frac{1}{2}×4×|y+2|=6$,解得 y=1 或 y = -5,
∴ 点 P 的坐标为(0,1)或(0,-5).
解析
【分析】
(1) 首先确定原△ABC顶点A的坐标，对比平移后对应点A'的坐标，即可得到平移过程中点的坐标变化规律：横坐标加2，纵坐标加3；将点B、C按照该规律计算得到对应点B'、C'的坐标，描点连线即可画出△A'B'C'，同时能总结出平移方式。
(2) 观察图形可知BC是水平线段，先计算BC的长度，再计算点A到线段BC的垂直距离（即三角形的高），利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
(3) 设点P的坐标为(0,y)，BC所在直线为y=-2，点P到BC的距离为|y+2|，结合BC的长度和两个三角形面积相等的条件，列绝对值方程求解即可得到点P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由图可知原A点坐标为(-2,1)，已知平移后A'坐标为(0,4)，可得平移规律为：横坐标加2，纵坐标加3。
原B点坐标为(-3,-2)，平移后B'的坐标为(-3+2, -2+3)=(-1,1)；原C点坐标为(1,-2)，平移后C'的坐标为(1+2, -2+3)=(3,1)。
描点A'、B'、C'，顺次连接得到△A'B'C'，平移方式为：将△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度（或先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度）。
(2) 线段BC的长度为$1 - (-3) = 4$，点A到BC的垂直距离为$1 - (-2) = 3$，根据三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×4×3=6$。
(3) 设点P的坐标为(0,y)，线段BC在直线$y=-2$上，因此点P到BC的距离为$|y - (-2)|=|y+2|$。
由$S_{△BCP}=S_{△ABC}=6$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×4×|y+2|=6$
化简得$|y+2|=3$，即$y+2=3$或$y+2=-3$，解得$y=1$或$y=-5$。
【答案】
(1)△A'B'C'如图所示。点 B'的坐标是(-1,1),点 C'的坐标是(3,1)。把△ABC 先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度(或先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度),得到△A'B'C'.
(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$.
(3)点 P 的坐标为(0,1)或(0,-5).
【知识点】
坐标与图形平移；三角形面积计算；点的坐标求解
【点评】
本题综合性较强，覆盖了平面直角坐标系中平移的坐标变化规律、三角形面积计算、方程思想求解点坐标等考点，解题时要注意点到水平直线的距离用纵坐标差的绝对值计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先确定原△ABC顶点A的坐标，对比平移后对应点A'的坐标，即可得到平移过程中点的坐标变化规律：横坐标加2，纵坐标加3；将点B、C按照该规律计算得到对应点B'、C'的坐标，描点连线即可画出△A'B'C'，同时能总结出平移方式。
(2) 观察图形可知BC是水平线段，先计算BC的长度，再计算点A到线段BC的垂直距离（即三角形的高），利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积。
(3) 设点P的坐标为(0,y)，BC所在直线为y=-2，点P到BC的距离为|y+2|，结合BC的长度和两个三角形面积相等的条件，列绝对值方程求解即可得到点P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 由图可知原A点坐标为(-2,1)，已知平移后A'坐标为(0,4)，可得平移规律为：横坐标加2，纵坐标加3。
原B点坐标为(-3,-2)，平移后B'的坐标为(-3+2, -2+3)=(-1,1)；原C点坐标为(1,-2)，平移后C'的坐标为(1+2, -2+3)=(3,1)。
描点A'、B'、C'，顺次连接得到△A'B'C'，平移方式为：将△ABC先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度（或先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度）。
(2) 线段BC的长度为$1 - (-3) = 4$，点A到BC的垂直距离为$1 - (-2) = 3$，根据三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×4×3=6$。
(3) 设点P的坐标为(0,y)，线段BC在直线$y=-2$上，因此点P到BC的距离为$|y - (-2)|=|y+2|$。
由$S_{△BCP}=S_{△ABC}=6$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×4×|y+2|=6$
化简得$|y+2|=3$，即$y+2=3$或$y+2=-3$，解得$y=1$或$y=-5$。
【答案】
(1)△A'B'C'如图所示
。点 B'的坐标是(-1,1),点 C'的坐标是(3,1)。把△ABC 先向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度(或先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度),得到△A'B'C'.(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$.
(3)点 P 的坐标为(0,1)或(0,-5).
【知识点】
坐标与图形平移；三角形面积计算；点的坐标求解
【点评】
本题综合性较强，覆盖了平面直角坐标系中平移的坐标变化规律、三角形面积计算、方程思想求解点坐标等考点，解题时要注意点到水平直线的距离用纵坐标差的绝对值计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
