9 [2024 泗阳期末]下列各组线段,能组成直角三角形的是 （）

A.$a=1,b=2,c=2$
B.$a=2,b=3,c=5$
C.$a=2,b=4,c=5$
D.$a=3,b=4,c=5$

9. D

【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，我们可以利用勾股定理的逆定理来分析。解题思路如下：第一步先验证三条线段是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），若不能构成三角形则直接排除；第二步若能构成三角形，找出三条边中的最长边，分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，若两者相等则可以组成直角三角形，否则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三边长为1、2、2，最长边为2。计算得$1^2+2^2=1+4=5$，$2^2=4$，$5≠4$，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形。
B选项：三边长为2、3、5，因为$2+3=5$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除。
C选项：三边长为2、4、5，最长边为5。计算得$2^2+4^2=4+16=20$，$5^2=25$，$20≠25$，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形。
D选项：三边长为3、4、5，最长边为5。计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，满足$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理逆定理，能组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题是基础考查题，主要考察勾股定理逆定理的应用，熟记常见勾股数可以快速得出答案，解题时要注意先判断三边能否构成三角形，再验证勾股定理逆定理的条件。
【难度系数】
0.9

10 在$△ ABC$中，$AB=25\ \mathrm{cm}$，$BC=48\ \mathrm{cm}$，边$BC$上的中线$AD=7\ \mathrm{cm}$，那么$∠ ADC$的大小为，$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。

10. $90°$ 25

【分析】
解题思路可分为两步：第一步先利用三角形中线的性质求出BD、DC的长度，再通过勾股定理的逆定理判断△ABD的形状，得到∠ADB的度数，进而求出∠ADC的度数；第二步在直角△ADC中，利用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
1. 求∠ADC的度数：
∵AD是BC边上的中线，BC=48cm
∴$BD=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$
在△ABD中，AD=7cm，BD=24cm，AB=25cm
计算得：$AD^2+BD^2=7^2+24^2=49+576=625$，$AB^2=25^2=625$
∴$AD^2+BD^2=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABD是直角三角形，且$∠ ADB=90°$
∵∠ADB和∠ADC互为邻补角，和为$180°$
∴$∠ ADC=180°-∠ ADB=180°-90°=90°$
2. 求AC的长度：
在$Rt△ ADC$中，AD=7cm，DC=24cm
由勾股定理得：$AC^2=AD^2+DC^2=7^2+24^2=625$
∵AC为三角形边长，取算术平方根，
∴$AC=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$
【答案】
$90°$；25
【知识点】
三角形中线的定义；勾股定理的逆定理；勾股定理
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查勾股定理及其逆定理的结合应用，解题的突破口是先通过中线性质得到BD的长度，再用勾股逆定理判定直角，掌握勾股相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

11 新考向 阅读理解题【阅读】能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $a,b,c$ 被称为勾股数. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为
$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}(m^2 - n^2), \\b=mn, \\c=\dfrac{1}{2}(m^2 + n^2),\end{cases}$
其中，$m＞n＞0$，$m,n$ 是互质的奇数.
【应用】当 $n=1$ 时，求有一边的长为5的直角三角形的另外两条边的长.

11. 当 $n=1$ 时,$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}(m^2 - 1), \\b=m, \\c=\dfrac{1}{2}(m^2 + 1).\end{cases}$
$\because$ 直角三角形有一边的长为 $5$,$\therefore$ ① 当 $a=\dfrac{1}{2}(m^2 - 1)=5$ 时,得 $m^2=11$(不合题意,舍去);② 当 $b=m=5$ 时,$a=\dfrac{1}{2} × (5^2 - 1)=12$,$c=\dfrac{1}{2} × (5^2 + 1)=13$;③ 当 $c=\dfrac{1}{2}(m^2 + 1)=5$ 时,得 $m^2=9$,由 $m＞0$,得 $m=3$,则 $a=\dfrac{1}{2} × (3^2 - 1)=4$,$b=3$.综上所述,直角三角形的另外两条边的长分别为 $12$,$13$ 或 $3$,$4$

【分析】
解题时首先将n=1代入题干给出的勾股数通解公式，将a、b、c都用含m的代数式表示。由于题干仅说明直角三角形有一边长为5，未明确5对应的是a、b、c中的哪一条边，因此需要分三种情况分类讨论：分别令a=5、b=5、c=5求解m的值，再结合m＞n=1、m是与n互质的奇数的限制条件筛选符合要求的m，最后代入公式计算另外两条边的长度即可。
【解析】
当$n=1$时，代入勾股数组公式可得：
$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2}(m^2 - 1), \\b=m, \\c=\dfrac{1}{2}(m^2 + 1).\end{cases}$
已知直角三角形有一边的长为5，分三种情况讨论：
① 当$a=\dfrac{1}{2}(m^2 - 1)=5$时，解得$m^2=11$，此时m不是正整数，不符合题意，舍去；
② 当$b=m=5$时，代入公式得：
$a=\dfrac{1}{2} × (5^2 - 1)=12$，$c=\dfrac{1}{2} × (5^2 + 1)=13$，符合要求；
③ 当$c=\dfrac{1}{2}(m^2 + 1)=5$时，解得$m^2=9$，由$m＞0$得$m=3$，代入公式得：
$a=\dfrac{1}{2} × (3^2 - 1)=4$，$b=3$，符合要求。
综上所述，直角三角形的另外两条边的长分别为12，13或3，4。
【答案】
12、13或3、4
【知识点】
勾股数的定义，分类讨论思想，代数式求值
【点评】
本题以我国古代数学著作的勾股数公式为背景，考查对新定义公式的理解与应用能力，解题的关键是明确未指明边长对应的代数式时要分类讨论，同时要注意题干中对参数m的取值限制，避免产生不符合要求的解。
【难度系数】
0.7

12 新情境 数学文化 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一个问题:问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.欲知为田几何? 大意如下:如图,有一块沙田($△ ABC$),最短边($AB$)长13里,中等长度的边($BC$)长14里,最长边($AC$)长15里.想知道这块沙田的面积是多少,则$△ ABC$的面积是 ()

A.80 平方里
B.82 平方里
C.84 平方里
D.86 平方里
(第12题)

12. C
【解析】过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$. 设 $BD = x$ 里, 则 $CD = (14 - x)$ 里. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $AD^2 = AB^2 - BD^2$; 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $AD^2 = AC^2 - CD^2$.
$\therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2$, 解得 $x = 5$,$\therefore AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$(里),$\therefore △ ABC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}BC · AD = \dfrac{1}{2} × 14 × 12 = 84$(平方里).

【分析】
本题要求三角形的面积，已知边BC长为14里，可将其作为底，只需求出BC边上的高即可求解。我们可以通过作高构造直角三角形，利用勾股定理表示出同一条高的平方，建立方程求解高的长度，进而计算三角形面积。具体思路为：①过A作BC的垂线AD，将△ABC分为两个直角三角形；②设BD=x，用含x的式子表示CD；③分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AD²，根据AD相等列方程；④解方程求出x，计算AD的长度；⑤用三角形面积公式计算面积。
【解析】
过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$。设 $BD = x$ 里, 则 $CD = (14 - x)$ 里。
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2$；
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2$。
$\therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2$，
展开得：$169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2)$，
化简得：$169 - x^2 = 29 + 28x - x^2$，
移项合并得：$28x=140$，解得 $x = 5$，
$\therefore AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144}=12$(里)，
$\therefore △ ABC$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}BC · AD = \dfrac{1}{2} × 14 × 12 = 84$(平方里)。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，方程思想
【点评】
本题结合我国古代数学文化命题，考查斜三角形面积的求解方法，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用公共高的等量关系建立方程求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7

13 如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙两船同时离开港口,各自沿一固定方向航行.已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里.若甲船沿北偏西$40°$方向航行,则乙船沿方向航行.

13. 北偏东 $50°$

【分析】
解题时先根据“路程=速度×时间”分别求出PA、PB的长度，再结合已知的AB长度，利用勾股定理的逆定理判断△APB的形状，得到∠APB的度数，最后结合甲船的航行方向，计算出乙船的航行方向即可。
【解析】
解：由题意得，两船航行时间为1小时，
∴$PA=12×1=12$（海里），$PB=16×1=16$（海里），
已知$AB=20$海里，
∵$12^2+16^2=144+256=400=20^2$，即$PA^2+PB^2=AB^2$，
∴△APB是直角三角形，且$∠ APB=90°$。
∵甲船沿北偏西$40°$方向航行，即PA与正北方向的夹角为$40°$，
∴PB与正北方向的夹角为$90°-40°=50°$，
结合方位图可知PB在正北方向的东侧，因此乙船沿北偏东$50°$方向航行。
【答案】
北偏东$50°$
【知识点】
勾股定理的逆定理；方向角；路程计算
【点评】
本题结合实际航行场景，将几何知识与生活应用结合，需要学生先通过边长关系判断三角形的形状，再结合方位的相关知识求解，考查学生的知识应用能力和读图能力。
【难度系数】
0.7

14 新情境 现实生活 如图,在学校工地的一根空心圆柱形钢管外表面距离左侧管口2 cm的点M处有一只小蜘蛛,它要爬行到钢管外表面距离右侧管口5 cm的点N处觅食.已知钢管的长为15 cm,横截面的周长为30 cm,则小蜘蛛需要爬行的最短距离是 cm.

14. 17

【分析】
要求圆柱外表面两点的最短爬行距离，需先将圆柱侧面展开为平面长方形（两点之间线段最短，可将立体曲面问题转化为平面线段长度问题）。第一步先确定展开图中M、N两点对应的水平距离：钢管总长15cm，M距左管口2cm，N距右管口5cm，因此两点在长方形长方向的差为15-2-5=8cm；第二步确定竖直距离：由于M、N在圆柱侧面上下相对的位置，展开后竖直方向的距离为横截面周长的一半，即30÷2=15cm；最后利用勾股定理计算两点连线的长度，即为最短爬行距离。
【解析】
将圆柱侧面沿过点M的母线剪开，展开得到长方形：
1. 计算M、N在长方形长方向的距离：$15 - 2 - 5 = 8\ \mathrm{cm}$
2. 计算M、N在长方形宽方向的距离：圆柱横截面周长为30cm，两点在侧面相对，故竖直距离为周长的一半，即$30÷ 2 = 15\ \mathrm{cm}$
3. 根据勾股定理，最短距离为直角三角形的斜边长：
$\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{cm}$
【答案】
17
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理的应用，最短路径计算
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的思路，将圆柱侧面展开为平面后再计算距离，易错点是容易误将整个周长当作竖直方向的直角边，解题时要注意判断两点在展开图中的相对位置。
【难度系数】
0.6