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1 已知直角三角形一条直角边的长与斜边的长之比为$3:5$，另一条直角边的长为24，则该直角三角形的周长为（
A.68
B.72
C.80
D.100
B
）A.68
B.72
C.80
D.100
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道直角三角形边长计算的题目，解题核心是运用勾股定理。已知一条直角边与斜边的比为3:5，我们可以采用设参数的方法，将两条边分别用含同一个参数的式子表示，再结合另一条直角边的长度，利用勾股定理列方程求出参数值，进而求出三边长度，相加得到周长。
【解析】
解：已知直角三角形一条直角边与斜边的长之比为$3:5$，设这条直角边的长为$3x$，斜边长为$5x$（$x＞0$）。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得另一条直角边满足：
$(5x)^2 - (3x)^2 = 24^2$
计算得：
$25x^2 - 9x^2 = 576$
$16x^2 = 576$
$x^2 = 36$
因为$x$为正数，所以$x=6$。
则已知直角边的长为$3×6=18$，斜边长为$5×6=30$。
该直角三角形的周长为$18+24+30=72$。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理 2.比例的应用
【点评】
本题是直角三角形边长计算的基础题型，通过设参数结合比例关系简化计算，核心考查勾股定理的运用，解题思路清晰，只要掌握勾股定理的内容和参数法的使用就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道直角三角形边长计算的题目，解题核心是运用勾股定理。已知一条直角边与斜边的比为3:5，我们可以采用设参数的方法，将两条边分别用含同一个参数的式子表示，再结合另一条直角边的长度，利用勾股定理列方程求出参数值，进而求出三边长度，相加得到周长。
【解析】
解：已知直角三角形一条直角边与斜边的长之比为$3:5$，设这条直角边的长为$3x$，斜边长为$5x$（$x＞0$）。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得另一条直角边满足：
$(5x)^2 - (3x)^2 = 24^2$
计算得：
$25x^2 - 9x^2 = 576$
$16x^2 = 576$
$x^2 = 36$
因为$x$为正数，所以$x=6$。
则已知直角边的长为$3×6=18$，斜边长为$5×6=30$。
该直角三角形的周长为$18+24+30=72$。
【答案】
B
【知识点】
1.勾股定理 2.比例的应用
【点评】
本题是直角三角形边长计算的基础题型，通过设参数结合比例关系简化计算，核心考查勾股定理的运用，解题思路清晰，只要掌握勾股定理的内容和参数法的使用就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
2 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=8$,$BC=6$,$D$ 为 $AC$ 上一点.若 $BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,则 $AD$ 的长为 （
A.4
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{11}{2}$
C
）A.4
B.$\frac{9}{2}$
C.5
D.$\frac{11}{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，利用角平分线的性质，过D作AB的垂线构造全等三角形，得到相等的线段，求出AE的长度；第三步，设AD的长为未知数，用含未知数的式子表示出DE的长度，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD是$∠ ABC$的平分线，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
∴$DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中：
$\begin{cases}BD=BD \\DC=DE\end{cases}$
∴$Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
∴$BE=BC=6$，
∴$AE=AB-BE=10-6=4$。
设$AD=x$，则$DC=DE=8-x$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
即$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开得：$x^2=16+64-16x+x^2$，
化简得：$16x=80$，
解得$x=5$，即$AD=5$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是直角三角形与角平分线结合的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将已知条件转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，对学生的辅助线构造能力和方程思想应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，利用角平分线的性质，过D作AB的垂线构造全等三角形，得到相等的线段，求出AE的长度；第三步，设AD的长为未知数，用含未知数的式子表示出DE的长度，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵BD是$∠ ABC$的平分线，$DC⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
∴$DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中：
$\begin{cases}BD=BD \\DC=DE\end{cases}$
∴$Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
∴$BE=BC=6$，
∴$AE=AB-BE=10-6=4$。
设$AD=x$，则$DC=DE=8-x$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$，
即$x^2=4^2+(8-x)^2$，
展开得：$x^2=16+64-16x+x^2$，
化简得：$16x=80$，
解得$x=5$，即$AD=5$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是直角三角形与角平分线结合的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将已知条件转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，对学生的辅助线构造能力和方程思想应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
3 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形.若$S_1+S_4=80,S_3=20$,则$S_2$的值为（
A.50
B.60
C.100
D.110
B
）A.50
B.60
C.100
D.110
答案
3. B
解析
【分析】
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，观察图形发现四边形ABCD有两个直角，因此可连接BD构造两个直角三角形。在直角三角形中，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可建立四个正方形面积与BD平方的等量关系，进而推导得到S₁、S₄、S₂、S₃之间的等式，代入已知数值即可求出S₂。
【解析】
连接BD，
∵ 正方形的面积等于边长的平方，
∴ $ S_1 = AB^2 $，$ S_4 = AD^2 $，$ S_2 = BC^2 $，$ S_3 = CD^2 $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ ∠ DAB = 90° $，由勾股定理得：
$ AB^2 + AD^2 = BD^2 $，即$ S_1 + S_4 = BD^2 $。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ BCD = 90° $，由勾股定理得：
$ BC^2 + CD^2 = BD^2 $，即$ S_2 + S_3 = BD^2 $。
∴ $ S_1 + S_4 = S_2 + S_3 $，
已知$ S_1+S_4=80 $，$ S_3=20 $，代入得：
$ 80 = S_2 + 20 $，解得$ S_2 = 60 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题解题的核心是通过连接辅助线BD，将四边形问题转化为两个直角三角形的问题，利用勾股定理建立不同正方形面积之间的等量关系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，观察图形发现四边形ABCD有两个直角，因此可连接BD构造两个直角三角形。在直角三角形中，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可建立四个正方形面积与BD平方的等量关系，进而推导得到S₁、S₄、S₂、S₃之间的等式，代入已知数值即可求出S₂。
【解析】
连接BD，
∵ 正方形的面积等于边长的平方，
∴ $ S_1 = AB^2 $，$ S_4 = AD^2 $，$ S_2 = BC^2 $，$ S_3 = CD^2 $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ ∠ DAB = 90° $，由勾股定理得：
$ AB^2 + AD^2 = BD^2 $，即$ S_1 + S_4 = BD^2 $。
在$ \mathrm{Rt}△ BCD $中，$ ∠ BCD = 90° $，由勾股定理得：
$ BC^2 + CD^2 = BD^2 $，即$ S_2 + S_3 = BD^2 $。
∴ $ S_1 + S_4 = S_2 + S_3 $，
已知$ S_1+S_4=80 $，$ S_3=20 $，代入得：
$ 80 = S_2 + 20 $，解得$ S_2 = 60 $。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题解题的核心是通过连接辅助线BD，将四边形问题转化为两个直角三角形的问题，利用勾股定理建立不同正方形面积之间的等量关系，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7
4 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$，$E$为$AB$的中点.若$BC=12$，$AD=8$，则$DE$的长为________.
答案
4. 5
解析
【分析】
解题思路：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，确定AD既是角平分线也是底边上的高和中线，得到Rt△ABD且算出BD的长度；接着在Rt△ABD中用勾股定理求出斜边AB的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，结合E是AB中点的条件，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，且D为BC的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×12 = 6$。
在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$。
∵E为AB的中点，△ABD是直角三角形，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×10 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形和直角三角形的相关性质，通过性质的串联即可快速求出线段长度，考察了基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，确定AD既是角平分线也是底边上的高和中线，得到Rt△ABD且算出BD的长度；接着在Rt△ABD中用勾股定理求出斜边AB的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，结合E是AB中点的条件，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，且D为BC的中点，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}×12 = 6$。
在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，由勾股定理得：
AB = $\sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$。
∵E为AB的中点，△ABD是直角三角形，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×10 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形和直角三角形的相关性质，通过性质的串联即可快速求出线段长度，考察了基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
5 如图，在$△ ABC$中，按照尺规作图痕迹作直线$MN$，分别与边$BC$，$AC$相交于点$D$，$E$，连接$AD$。若$BD=DC$，$AE=4$，$AD=5$，则$AB$的长为
（第5题）
6
。（第5题）答案
5. 6
解析
【分析】
首先识别尺规作图痕迹，MN是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得E是AC中点，且∠AED是直角；已知BD=DC说明D是BC中点，因此DE是△ABC的中位线，AB长度是DE的2倍。接下来先在Rt△ADE中用勾股定理求出DE的长度，再代入中位线的结论即可求出AB的长。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴ E为AC的中点，∠AED=90°，
又
∵ BD=DC，
∴ D是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，可得AB=2DE。
在Rt△ADE中，AD=5，AE=4，根据勾股定理：
DE = √(AD² - AE²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ AB = 2×3 = 6。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题将尺规作图识别与几何定理应用结合，解题关键是准确判断MN的作图类型，进而得到中位线的结论，再结合勾股定理计算，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图痕迹，MN是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得E是AC中点，且∠AED是直角；已知BD=DC说明D是BC中点，因此DE是△ABC的中位线，AB长度是DE的2倍。接下来先在Rt△ADE中用勾股定理求出DE的长度，再代入中位线的结论即可求出AB的长。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴ E为AC的中点，∠AED=90°，
又
∵ BD=DC，
∴ D是BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，可得AB=2DE。
在Rt△ADE中，AD=5，AE=4，根据勾股定理：
DE = √(AD² - AE²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ AB = 2×3 = 6。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题将尺规作图识别与几何定理应用结合，解题关键是准确判断MN的作图类型，进而得到中位线的结论，再结合勾股定理计算，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
6 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的三个顶点$A$，$B$，$C$均在格点上，则点$C$到$AB$的距离为________。
答案
6. $\dfrac{8}{5}$
【解析】设点 $C$ 到 $AB$ 的距离为 $h$. 由勾股定理,得 $AB^2=3^2+4^2=25,\therefore AB=5$. 根据$△ ABC$ 的面积公式,得$\dfrac{1}{2} × 2 × 4=\dfrac{1}{2} × 5h$,解得 $h=\dfrac{8}{5}.\therefore$ 点 $C$ 到$AB$ 的距离为 $\dfrac{8}{5}$.
【解析】设点 $C$ 到 $AB$ 的距离为 $h$. 由勾股定理,得 $AB^2=3^2+4^2=25,\therefore AB=5$. 根据$△ ABC$ 的面积公式,得$\dfrac{1}{2} × 2 × 4=\dfrac{1}{2} × 5h$,解得 $h=\dfrac{8}{5}.\therefore$ 点 $C$ 到$AB$ 的距离为 $\dfrac{8}{5}$.
解析
【分析】
要计算点C到AB的距离，即AB边上的高的长度，直接作高计算难度较大，可采用面积法求解：第一步先利用网格特征计算出△ABC的面积；第二步用勾股定理求出AB边的长度；第三步根据三角形面积的两种不同表达形式列等式，即可求出点C到AB的距离。
【解析】
设点C到AB的距离为$h$。
1. 求AB的长度：由勾股定理可得，$AB^2=3^2+4^2=25$，因此$AB=5$。
2. 求△ABC的面积：观察网格可知，BC边长为2，BC边上的水平高为4，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$。
3. 列等式求$h$：三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×5× h=4$
解得$h=\frac{8}{5}$。
【答案】
$\dfrac{8}{5}$
【知识点】
勾股定理，点到直线的距离，三角形面积公式
【点评】
本题考查网格内点到直线距离的计算，核心是掌握面积法的应用，将不易直接求解的垂线段长度转化为利用面积和已知边长计算的问题，是平面几何中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
要计算点C到AB的距离，即AB边上的高的长度，直接作高计算难度较大，可采用面积法求解：第一步先利用网格特征计算出△ABC的面积；第二步用勾股定理求出AB边的长度；第三步根据三角形面积的两种不同表达形式列等式，即可求出点C到AB的距离。
【解析】
设点C到AB的距离为$h$。
1. 求AB的长度：由勾股定理可得，$AB^2=3^2+4^2=25$，因此$AB=5$。
2. 求△ABC的面积：观察网格可知，BC边长为2，BC边上的水平高为4，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×4=4$。
3. 列等式求$h$：三角形面积也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×5× h=4$
解得$h=\frac{8}{5}$。
【答案】
$\dfrac{8}{5}$
【知识点】
勾股定理，点到直线的距离，三角形面积公式
【点评】
本题考查网格内点到直线距离的计算，核心是掌握面积法的应用，将不易直接求解的垂线段长度转化为利用面积和已知边长计算的问题，是平面几何中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
7 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠. 若 $ BC = 9 \, \mathrm{cm} $，$ CD = 3 \, \mathrm{cm} $，则涂色部分的面积为
$\dfrac{15}{2}$
$ \mathrm{cm}^2 $答案
7. $\dfrac{15}{2}$
解析
【分析】
首先根据折叠的性质可得对应角相等，结合长方形对边平行的性质，推导出涂色部分所在的$△ FBD$是等腰三角形，即$FB=FD$；再设$FD$的长度为$x$，用含$x$的式子表示出$AF$的长度，在$Rt△ ABF$中利用勾股定理列方程求出$x$的值，最后利用三角形面积公式计算涂色部分的面积即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AD=BC=9\,\mathrm{cm}$，$AB=CD=3\,\mathrm{cm}$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ADB$。
由折叠的性质可知$△ BCD≌△ BED$，
$\therefore ∠ CBD=∠ EBD$，
$\therefore ∠ EBD=∠ ADB$，
$\therefore FB=FD$。
设$FD=x\,\mathrm{cm}$，则$FB=x\,\mathrm{cm}$，$AF=AD-FD=(9-x)\,\mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2 + AF^2 = FB^2$，
即$3^2 + (9-x)^2 = x^2$，
展开得：$9 + 81 - 18x + x^2 = x^2$，
整理得：$18x=90$，
解得$x=5$。
$\therefore$涂色部分（$△ FBD$）的面积为：
$S=\dfrac{1}{2}× FD× AB=\dfrac{1}{2}×5×3=\dfrac{15}{2}\,(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何常见题型，解题的关键是利用折叠和矩形的性质得到等腰三角形，再结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据折叠的性质可得对应角相等，结合长方形对边平行的性质，推导出涂色部分所在的$△ FBD$是等腰三角形，即$FB=FD$；再设$FD$的长度为$x$，用含$x$的式子表示出$AF$的长度，在$Rt△ ABF$中利用勾股定理列方程求出$x$的值，最后利用三角形面积公式计算涂色部分的面积即可。
【解析】
解：$\because$四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AD=BC=9\,\mathrm{cm}$，$AB=CD=3\,\mathrm{cm}$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ CBD=∠ ADB$。
由折叠的性质可知$△ BCD≌△ BED$，
$\therefore ∠ CBD=∠ EBD$，
$\therefore ∠ EBD=∠ ADB$，
$\therefore FB=FD$。
设$FD=x\,\mathrm{cm}$，则$FB=x\,\mathrm{cm}$，$AF=AD-FD=(9-x)\,\mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB^2 + AF^2 = FB^2$，
即$3^2 + (9-x)^2 = x^2$，
展开得：$9 + 81 - 18x + x^2 = x^2$，
整理得：$18x=90$，
解得$x=5$。
$\therefore$涂色部分（$△ FBD$）的面积为：
$S=\dfrac{1}{2}× FD× AB=\dfrac{1}{2}×5×3=\dfrac{15}{2}\,(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何常见题型，解题的关键是利用折叠和矩形的性质得到等腰三角形，再结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
8 如图，△ADE 和△ACB 是两直角边的长分别为a，b，斜边的长为c的全等的直角三角形，∠DAB＝90°，连接CD。求证：$a^2 + b^2 = c^2$。
答案
8. 如图,连接 $DB$,过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$,交 $BC$ 的延长线于点 $F$,则易得 $DF = EC = b - a$. $\because \ S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}b^2 + \dfrac{1}{2}ab$,又$\because \ S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2}c^2 + \dfrac{1}{2}a(b - a),\therefore \dfrac{1}{2}b^2 + \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}c^2 + \dfrac{1}{2}a(b - a),\therefore a^2 + b^2 = c^2$
解析
【分析】
要证明$a^2 + b^2 = c^2$，可采用面积法解题：对同一个四边形的面积用两种不同的拆分方式计算，利用面积相等建立等式，化简后即可得到待证结论。解题时首先作辅助线：连接$DB$，过点$D$作$BC$延长线的垂线$DF$，先求出$△ DCB$的高$DF$的长度，再分别计算两种拆分方式下四边形$ADCB$的面积，联立等式整理即可得证。
【解析】
证明：连接$DB$，过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$，交 $BC$ 的延长线于点 $F$。
由全等直角三角形的性质可得$DF = EC = AC - AE = b - a$。
第一种方式拆分四边形$ADCB$：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC}$
其中$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}b^2$，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab$，因此$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$。
第二种方式拆分四边形$ADCB$：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB}$
其中$∠ DAB=90°$，$S_{△ ADB} = \frac{1}{2}c^2$，$S_{△ DCB} = \frac{1}{2}a(b - a)$，因此$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$。
同一四边形面积相等，因此：
$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$
等式两边同乘2消去分母，展开整理：
$b^2 + ab = c^2 + ab - a^2$
两边同时减去$ab$，移项得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
如图,连接 $DB$,过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$,交 $BC$ 的延长线于点 $F$,则易得 $DF = EC = b - a$. $\because \ S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}b^2 + \dfrac{1}{2}ab$,又$\because \ S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2}c^2 + \dfrac{1}{2}a(b - a),\therefore \dfrac{1}{2}b^2 + \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}c^2 + \dfrac{1}{2}a(b - a),\therefore a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的证明，面积法求面积，全等三角形的性质
【点评】
本题是利用面积法证明勾股定理的典型题型，核心思路是对同一图形的面积采用两种不同的表达方式建立等式，通过化简等式得到待证结论。解题的关键是正确作出辅助线，合理拆分图形并准确计算各部分的面积。
【难度系数】
0.6
要证明$a^2 + b^2 = c^2$，可采用面积法解题：对同一个四边形的面积用两种不同的拆分方式计算，利用面积相等建立等式，化简后即可得到待证结论。解题时首先作辅助线：连接$DB$，过点$D$作$BC$延长线的垂线$DF$，先求出$△ DCB$的高$DF$的长度，再分别计算两种拆分方式下四边形$ADCB$的面积，联立等式整理即可得证。
【解析】
证明：连接$DB$，过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$，交 $BC$ 的延长线于点 $F$。
由全等直角三角形的性质可得$DF = EC = AC - AE = b - a$。
第一种方式拆分四边形$ADCB$：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC}$
其中$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}b^2$，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab$，因此$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab$。
第二种方式拆分四边形$ADCB$：
$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB}$
其中$∠ DAB=90°$，$S_{△ ADB} = \frac{1}{2}c^2$，$S_{△ DCB} = \frac{1}{2}a(b - a)$，因此$S_{\mathrm{四边形}ADCB} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$。
同一四边形面积相等，因此：
$\frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$
等式两边同乘2消去分母，展开整理：
$b^2 + ab = c^2 + ab - a^2$
两边同时减去$ab$，移项得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
如图,连接 $DB$,过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$,交 $BC$ 的延长线于点 $F$,则易得 $DF = EC = b - a$. $\because \ S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ACD} + S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}b^2 + \dfrac{1}{2}ab$,又$\because \ S_{\mathrm{四边形}ADCB} = S_{△ ADB} + S_{△ DCB} = \dfrac{1}{2}c^2 + \dfrac{1}{2}a(b - a),\therefore \dfrac{1}{2}b^2 + \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}c^2 + \dfrac{1}{2}a(b - a),\therefore a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
勾股定理的证明，面积法求面积，全等三角形的性质
【点评】
本题是利用面积法证明勾股定理的典型题型，核心思路是对同一图形的面积采用两种不同的表达方式建立等式，通过化简等式得到待证结论。解题的关键是正确作出辅助线，合理拆分图形并准确计算各部分的面积。
【难度系数】
0.6
