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15 已知直角三角形纸片的两条直角边的长分别为$m$和$n(m＜n)$，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形，则下列结论正确的是 （
A.$m^2+2mn+n^2=0$
B.$m^2-2mn+n^2=0$
C.$m^2+2mn-n^2=0$
D.$m^2-2mn-n^2=0$
C
）A.$m^2+2mn+n^2=0$
B.$m^2-2mn+n^2=0$
C.$m^2+2mn-n^2=0$
D.$m^2-2mn-n^2=0$
答案
15. C
【解析】如图,剪成一个腰长为 $m$ 的等腰直角三角形和一个腰长为 $n - m$ 的等腰三角形. 由题意,得 $m^2 + m^2 = (n - m)^2$, 即 $2m^2 = n^2 - 2mn + m^2$,$\therefore m^2 + 2mn - n^2 = 0$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要根据裁剪要求确定两个等腰三角形的边长关系：原三角形是直角三角形，过锐角顶点裁剪后，靠近直角的三角形为等腰直角三角形，两条直角边长度均为m，斜边是两个三角形的公共边；另一个三角形是等腰三角形，它的其中一条腰就是上述公共边，另一条腰是长直角边裁剪后剩余的部分，长度为$n-m$。接下来利用勾股定理表示出公共边长度的平方，结合腰长相等列等式，最后化简等式即可得到对应结论。
【解析】
由题意可知，裁剪后得到两个等腰三角形：一个是腰长为$m$的等腰直角三角形，另一个是腰长为$(n-m)$的等腰三角形，二者的公共边既是等腰直角三角形的斜边，也是另一个等腰三角形的腰。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边平方为$m^2+m^2$，又因为该斜边和长度为$n-m$的边是等腰三角形的两条腰，长度相等，因此可得等式：
$m^2 + m^2 = (n - m)^2$
展开并整理等式：
$2m^2 = n^2 - 2mn + m^2$
移项化简得：
$m^2 + 2mn - n^2 = 0$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，整式化简
【点评】
本题将几何裁剪问题和代数运算结合，需要先分析出两个等腰三角形的边长关系，再结合勾股定理列等式求解，既考查了几何性质的应用能力，也考查了整式运算的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要根据裁剪要求确定两个等腰三角形的边长关系：原三角形是直角三角形，过锐角顶点裁剪后，靠近直角的三角形为等腰直角三角形，两条直角边长度均为m，斜边是两个三角形的公共边；另一个三角形是等腰三角形，它的其中一条腰就是上述公共边，另一条腰是长直角边裁剪后剩余的部分，长度为$n-m$。接下来利用勾股定理表示出公共边长度的平方，结合腰长相等列等式，最后化简等式即可得到对应结论。
【解析】
由题意可知，裁剪后得到两个等腰三角形：一个是腰长为$m$的等腰直角三角形，另一个是腰长为$(n-m)$的等腰三角形，二者的公共边既是等腰直角三角形的斜边，也是另一个等腰三角形的腰。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边平方为$m^2+m^2$，又因为该斜边和长度为$n-m$的边是等腰三角形的两条腰，长度相等，因此可得等式：
$m^2 + m^2 = (n - m)^2$
展开并整理等式：
$2m^2 = n^2 - 2mn + m^2$
移项化简得：
$m^2 + 2mn - n^2 = 0$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，整式化简
【点评】
本题将几何裁剪问题和代数运算结合，需要先分析出两个等腰三角形的边长关系，再结合勾股定理列等式求解，既考查了几何性质的应用能力，也考查了整式运算的能力。
【难度系数】
0.6
16 [2025 广西]如图，点A，D在BC同侧，$AB=BC=CA=2$，$BD=CD=\sqrt{2}$，则AD的长为
（第16题）
$\sqrt{3}-1$
。（第16题）答案
16. $\sqrt{3} - 1$
解析
【分析】
首先观察已知条件，AB=AC，BD=CD，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点A和点D都在BC的垂直平分线上，因此延长AD交BC于点E，可得AE⊥BC且E为BC中点。接下来分别在Rt△ABE和Rt△DBE中用勾股定理计算AE、DE的长度，最后根据A、D在BC同侧，用AE减去DE即可得到AD的长度。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
∵ AB=AC，BD=CD，
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上，即AE垂直平分BC，
∴ BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=1，∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，AB=2，BE=1，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
在Rt△DBE中，BD=$\sqrt{2}$，BE=1，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 - BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=\sqrt{2-1}=1$。
∵ 点A、D在BC同侧，
∴ $AD=AE - DE=\sqrt{3} - 1$。
【答案】
$\sqrt{3} - 1$
【知识点】
垂直平分线的判定，勾股定理，等边三角形的性质
【点评】
本题考查垂直平分线判定与勾股定理的综合应用，解题关键是判断出AD所在直线是BC的垂直平分线，通过构造直角三角形即可快速计算线段长度。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，AB=AC，BD=CD，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知点A和点D都在BC的垂直平分线上，因此延长AD交BC于点E，可得AE⊥BC且E为BC中点。接下来分别在Rt△ABE和Rt△DBE中用勾股定理计算AE、DE的长度，最后根据A、D在BC同侧，用AE减去DE即可得到AD的长度。
【解析】
解：延长AD交BC于点E。
∵ AB=AC，BD=CD，
∴ 点A、D都在BC的垂直平分线上，即AE垂直平分BC，
∴ BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=1，∠AEB=90°。
在Rt△ABE中，AB=2，BE=1，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2 - BE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$。
在Rt△DBE中，BD=$\sqrt{2}$，BE=1，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 - BE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=\sqrt{2-1}=1$。
∵ 点A、D在BC同侧，
∴ $AD=AE - DE=\sqrt{3} - 1$。
【答案】
$\sqrt{3} - 1$
【知识点】
垂直平分线的判定，勾股定理，等边三角形的性质
【点评】
本题考查垂直平分线判定与勾股定理的综合应用，解题关键是判断出AD所在直线是BC的垂直平分线，通过构造直角三角形即可快速计算线段长度。
【难度系数】
0.7
17如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE=1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为
$\sqrt{17}$
.答案
17. $\sqrt{17}$
【解析】连接 $AF$,$AE$. $\because$ 对角线 $BD$ 所在直线是正方形的对称轴,$\therefore AF = CF$. 根据“两点之间,线段最短”,可知当 $A$,$F$,$E$ 三点共线时,$AF + EF$ 取得最小值,即 $CF + EF$ 取得最小值,为 $AE$ 的长. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$,$\therefore CF + EF$ 的最小值为 $\sqrt{17}$.
【解析】连接 $AF$,$AE$. $\because$ 对角线 $BD$ 所在直线是正方形的对称轴,$\therefore AF = CF$. 根据“两点之间,线段最短”,可知当 $A$,$F$,$E$ 三点共线时,$AF + EF$ 取得最小值,即 $CF + EF$ 取得最小值,为 $AE$ 的长. 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$,$\therefore CF + EF$ 的最小值为 $\sqrt{17}$.
解析
【分析】
本题属于线段和最小值问题，解题思路可按以下步骤展开：①首先回忆此类问题的常用解法：利用轴对称将动点同侧的线段转化为异侧，再根据两点之间线段最短找最小值；②结合正方形性质：对角线BD是正方形的对称轴，点A与点C关于BD对称，因此BD上任意一点F到A、C的距离相等，即CF=AF，可将CF+EF转化为AF+EF；③此时A、E为定点，F为BD上的动点，根据两点之间线段最短，当A、F、E三点共线时，AF+EF取得最小值，即线段AE的长；④最后在直角三角形ABE中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
连接AF、AE。
∵正方形ABCD的对角线BD所在直线是正方形的对称轴，点A与点C关于BD对称，
∴$AF = CF$。
∴$CF + EF = AF + EF$，根据“两点之间，线段最短”可知：当A、F、E三点共线时，$AF + EF$取得最小值，即$CF + EF$的最小值为AE的长度。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=4$，$BE=1$，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$
因此$CF + EF$的最小值为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
正方形的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题是“将军饮马”模型的典型应用，解题的关键是利用正方形的轴对称性质完成线段的等量转化，将动态的线段和问题转化为静态的两点间距离求解，最后结合勾股定理计算得到结果，题型经典，实用性较强。
【难度系数】
0.7
本题属于线段和最小值问题，解题思路可按以下步骤展开：①首先回忆此类问题的常用解法：利用轴对称将动点同侧的线段转化为异侧，再根据两点之间线段最短找最小值；②结合正方形性质：对角线BD是正方形的对称轴，点A与点C关于BD对称，因此BD上任意一点F到A、C的距离相等，即CF=AF，可将CF+EF转化为AF+EF；③此时A、E为定点，F为BD上的动点，根据两点之间线段最短，当A、F、E三点共线时，AF+EF取得最小值，即线段AE的长；④最后在直角三角形ABE中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
连接AF、AE。
∵正方形ABCD的对角线BD所在直线是正方形的对称轴，点A与点C关于BD对称，
∴$AF = CF$。
∴$CF + EF = AF + EF$，根据“两点之间，线段最短”可知：当A、F、E三点共线时，$AF + EF$取得最小值，即$CF + EF$的最小值为AE的长度。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AB=4$，$BE=1$，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$
因此$CF + EF$的最小值为$\sqrt{17}$。
【答案】
$\sqrt{17}$
【知识点】
正方形的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题是“将军饮马”模型的典型应用，解题的关键是利用正方形的轴对称性质完成线段的等量转化，将动态的线段和问题转化为静态的两点间距离求解，最后结合勾股定理计算得到结果，题型经典，实用性较强。
【难度系数】
0.7
18 方程思想 如图，AC平分∠BAD，AD=BC=CD。若AD=3，AC=5，则AB的长为
$\dfrac{16}{3}$
。答案
18. $\dfrac{16}{3}$
【解析】在 $AB$ 上截取 $AE = AD$,连接 $CE$,过点 $C$ 作 $CF ⊥ AB$ 于点 $F$. $\because AC$ 平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ DAC = ∠ EAC$. 又 $\because AD = AE$,$AC = AC$,$\therefore △ DAC ≌ △ EAC$,$\therefore CD = CE$. $\because AD = BC = CD = 3$,$\therefore CE = BC = 3$. $\because CF ⊥ AB$,$\therefore EF = BF$. 设 $EF = x$. 在 $\mathrm{Rt}△ AFC$ 中,$AE = AD = 3$,$AC = 5$,$\therefore AF = x + 3$,$\therefore CF^2 = 5^2 - (x + 3)^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ ECF$ 中,由勾股定理,得 $CF^2 = 3^2 - x^2$. $\therefore 5^2 - (x + 3)^2 = 3^2 - x^2$,解得 $x = \dfrac{7}{6}$,$\therefore EF = \dfrac{7}{6}$,$\therefore AB = AE + 2EF = 3 + 2 × \dfrac{7}{6} = \dfrac{16}{3}$.
【解析】在 $AB$ 上截取 $AE = AD$,连接 $CE$,过点 $C$ 作 $CF ⊥ AB$ 于点 $F$. $\because AC$ 平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ DAC = ∠ EAC$. 又 $\because AD = AE$,$AC = AC$,$\therefore △ DAC ≌ △ EAC$,$\therefore CD = CE$. $\because AD = BC = CD = 3$,$\therefore CE = BC = 3$. $\because CF ⊥ AB$,$\therefore EF = BF$. 设 $EF = x$. 在 $\mathrm{Rt}△ AFC$ 中,$AE = AD = 3$,$AC = 5$,$\therefore AF = x + 3$,$\therefore CF^2 = 5^2 - (x + 3)^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ ECF$ 中,由勾股定理,得 $CF^2 = 3^2 - x^2$. $\therefore 5^2 - (x + 3)^2 = 3^2 - x^2$,解得 $x = \dfrac{7}{6}$,$\therefore EF = \dfrac{7}{6}$,$\therefore AB = AE + 2EF = 3 + 2 × \dfrac{7}{6} = \dfrac{16}{3}$.
解析
【分析】
首先结合已知条件分析，有角平分线和相等的线段，可利用角平分线的对称性，用截长法在AB上截取和AD相等的线段构造全等三角形，实现边的转化，得到等腰三角形后，利用等腰三角形三线合一的性质作高，再借助勾股定理，以公共高的平方为等量关系列方程求解，最终算出AB的长度。
【解析】
在$AB$上截取$AE = AD$，连接$CE$，过点$C$作$CF ⊥ AB$于点$F$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ DAC = ∠ EAC$。
又$\because AD = AE$，$AC = AC$，$\therefore △ DAC ≌ △ EAC(\mathrm{SAS})$，$\therefore CD = CE$。
$\because AD = BC = CD = 3$，$\therefore CE = BC = 3$。
$\because CF ⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质得$EF = BF$。
设$EF = x$，则$AF = AE + EF = 3 + x$。
在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，由勾股定理得：$CF^2 = AC^2 - AF^2 = 5^2 - (x + 3)^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得：$CF^2 = CE^2 - EF^2 = 3^2 - x^2$。
联立得方程：$25 - (x + 3)^2 = 9 - x^2$，
展开化简得：$16 - 6x = 9$，解得$x = \dfrac{7}{6}$。
$\therefore AB = AE + 2EF = 3 + 2 × \dfrac{7}{6} = \dfrac{16}{3}$。
【答案】
$\dfrac{16}{3}$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题型，融合了角平分线、全等三角形、等腰三角形、勾股定理多个考点，解题关键是通过截长法构造全等三角形完成边的转化，再结合方程思想利用勾股定理建立等量关系，是几何线段求值类的典型考题。
【难度系数】
0.6
首先结合已知条件分析，有角平分线和相等的线段，可利用角平分线的对称性，用截长法在AB上截取和AD相等的线段构造全等三角形，实现边的转化，得到等腰三角形后，利用等腰三角形三线合一的性质作高，再借助勾股定理，以公共高的平方为等量关系列方程求解，最终算出AB的长度。
【解析】
在$AB$上截取$AE = AD$，连接$CE$，过点$C$作$CF ⊥ AB$于点$F$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ DAC = ∠ EAC$。
又$\because AD = AE$，$AC = AC$，$\therefore △ DAC ≌ △ EAC(\mathrm{SAS})$，$\therefore CD = CE$。
$\because AD = BC = CD = 3$，$\therefore CE = BC = 3$。
$\because CF ⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质得$EF = BF$。
设$EF = x$，则$AF = AE + EF = 3 + x$。
在$\mathrm{Rt}△ AFC$中，由勾股定理得：$CF^2 = AC^2 - AF^2 = 5^2 - (x + 3)^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，由勾股定理得：$CF^2 = CE^2 - EF^2 = 3^2 - x^2$。
联立得方程：$25 - (x + 3)^2 = 9 - x^2$，
展开化简得：$16 - 6x = 9$，解得$x = \dfrac{7}{6}$。
$\therefore AB = AE + 2EF = 3 + 2 × \dfrac{7}{6} = \dfrac{16}{3}$。
【答案】
$\dfrac{16}{3}$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题型，融合了角平分线、全等三角形、等腰三角形、勾股定理多个考点，解题关键是通过截长法构造全等三角形完成边的转化，再结合方程思想利用勾股定理建立等量关系，是几何线段求值类的典型考题。
【难度系数】
0.6
19 如图,在△ABC中,AB=8,AC=17,AD是边BC上的中线,AD=$\frac{15}{2}$,求△ABC的面积.
答案
19. 如图,延长 $AD$ 至点 $E$,使得 $ED = AD$,连接 $CE$.
$\because AD$ 是边 $BC$ 上的中线,$\therefore BD = CD$. 在 $△ ABD$ 和 $△ ECD$ 中,$\begin{cases}AD = ED, \\∠ ADB = ∠ EDC, \\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ECD$,
$\therefore AB = EC = 8$,$S_{△ ABD} = S_{△ ECD}$. $\because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC}$,$S_{△ AEC} = S_{△ ECD} + S_{△ ADC}$,$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC}$.
$\because AD = \dfrac{15}{2}$,$\therefore AE = AD + DE = 15$. 又 $\because AC = 17$,
$\therefore AE^2 + EC^2 = AC^2$,$\therefore ∠ E = 90°$,$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \dfrac{1}{2}AE · EC = \dfrac{1}{2} × 15 × 8 = 60$
解析
【分析】
要求△ABC的面积，直接计算底BC和对应高的难度较大，已知AD是BC边上的中线，可采用倍长中线法构造全等三角形：延长AD至E使DE=AD，连接CE，先通过SAS证明△ABD≌△ECD，可得AB=CE，且△ABC的面积与△AEC的面积相等；此时△AEC的三条边长均可求出，可利用勾股定理的逆定理判断△AEC是否为直角三角形，若为直角三角形即可直接计算面积，进而得到△ABC的面积。
【解析】
解：如图，延长 $AD$ 至点 $E$，使得 $ED = AD$，连接 $CE$。
$\because AD$ 是边 $BC$ 上的中线，$\therefore BD = CD$。
在 $△ ABD$ 和 $△ ECD$ 中，
$\begin{cases}AD = ED, \\∠ ADB = ∠ EDC, \\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ECD$（SAS），
$\therefore AB = EC = 8$，$S_{△ ABD} = S_{△ ECD}$。
$\because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC}$，$S_{△ AEC} = S_{△ ECD} + S_{△ ADC}$，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC}$。
$\because AD = \dfrac{15}{2}$，$\therefore AE = AD + DE = 15$。
又 $\because AC = 17$，
$\therefore AE^2 + EC^2 =15^2+8^2=289=17^2= AC^2$，
$\therefore △AEC$ 是直角三角形，且$∠ E = 90°$，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \dfrac{1}{2}AE · EC = \dfrac{1}{2} × 15 × 8 = 60$。
【答案】
60
【知识点】
倍长中线辅助线，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，解题核心是熟练运用倍长中线的辅助线方法，将分散的边长条件集中到同一三角形中，结合勾股定理逆定理判断直角三角形，进而快速求得面积，该方法在涉及中线的几何计算、证明题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，直接计算底BC和对应高的难度较大，已知AD是BC边上的中线，可采用倍长中线法构造全等三角形：延长AD至E使DE=AD，连接CE，先通过SAS证明△ABD≌△ECD，可得AB=CE，且△ABC的面积与△AEC的面积相等；此时△AEC的三条边长均可求出，可利用勾股定理的逆定理判断△AEC是否为直角三角形，若为直角三角形即可直接计算面积，进而得到△ABC的面积。
【解析】
解：如图，延长 $AD$ 至点 $E$，使得 $ED = AD$，连接 $CE$。
$\because AD$ 是边 $BC$ 上的中线，$\therefore BD = CD$。
在 $△ ABD$ 和 $△ ECD$ 中，
$\begin{cases}AD = ED, \\∠ ADB = ∠ EDC, \\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ECD$（SAS），
$\therefore AB = EC = 8$，$S_{△ ABD} = S_{△ ECD}$。
$\because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ADC}$，$S_{△ AEC} = S_{△ ECD} + S_{△ ADC}$，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC}$。
$\because AD = \dfrac{15}{2}$，$\therefore AE = AD + DE = 15$。
又 $\because AC = 17$，
$\therefore AE^2 + EC^2 =15^2+8^2=289=17^2= AC^2$，
$\therefore △AEC$ 是直角三角形，且$∠ E = 90°$，
$\therefore S_{△ ABC} = S_{△ AEC} = \dfrac{1}{2}AE · EC = \dfrac{1}{2} × 15 × 8 = 60$。
【答案】
60
【知识点】
倍长中线辅助线，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是三角形中线相关的典型题型，解题核心是熟练运用倍长中线的辅助线方法，将分散的边长条件集中到同一三角形中，结合勾股定理逆定理判断直角三角形，进而快速求得面积，该方法在涉及中线的几何计算、证明题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.6
20 如图,在一张长方形纸片 ABCD 中,AB=8 cm,BC=6 cm,P 为 AD 上的一点,将△ABP 沿 BP 折叠至△EBP 处,PE 与 CD 相交于点 O,且 OE=OD,求 AP 的长.
答案
20. 设 $DC$ 与 $BE$ 相交于点 $G$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形,$\therefore ∠ D = ∠ A = ∠ C = 90°$,$AD = BC = 6 \ \mathrm{cm}$,$CD = AB = 8 \ \mathrm{cm}$. 由折叠,得 $△ EBP ≌ △ ABP$,$\therefore EP = AP$,$∠ E = ∠ A = 90°$,$BE = BA = 8 \ \mathrm{cm}$,$\therefore ∠ D = ∠ E$. 在 $△ ODP$ 和 $△ OEG$ 中,$\begin{cases}∠ D = ∠ E, \\OD = OE, \\∠ DOP = ∠ EOG,\end{cases}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG$,$\therefore OP = OG$,$PD = GE$,$\therefore OP + OE = OG + OD$,即 $EP = DG$. 设 $AP = x \ \mathrm{cm}$,则 $PD = GE = (6 - x)\mathrm{cm}$,$EP = DG = x \ \mathrm{cm}$. $\therefore CG = CD - DG = (8 - x)\mathrm{cm}$,$BG = BE - GE = 8 - (6 - x) = (2 + x)\mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2 + CG^2 = BG^2$,即 $6^2 + (8 - x)^2 = (2 + x)^2$,解得 $x = 4.8$. $\therefore AP$ 的长为 $4.8 \ \mathrm{cm}$
$\therefore △ ODP ≌ △ OEG$,$\therefore OP = OG$,$PD = GE$,$\therefore OP + OE = OG + OD$,即 $EP = DG$. 设 $AP = x \ \mathrm{cm}$,则 $PD = GE = (6 - x)\mathrm{cm}$,$EP = DG = x \ \mathrm{cm}$. $\therefore CG = CD - DG = (8 - x)\mathrm{cm}$,$BG = BE - GE = 8 - (6 - x) = (2 + x)\mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ BCG$ 中,由勾股定理,得 $BC^2 + CG^2 = BG^2$,即 $6^2 + (8 - x)^2 = (2 + x)^2$,解得 $x = 4.8$. $\therefore AP$ 的长为 $4.8 \ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
遇到长方形中的折叠问题，首先利用折叠的性质得到折叠前后图形的对应边、对应角相等；再结合题干给出的OE=OD，以及长方形的直角、对顶角相等的条件，可证明△ODP和△OEG全等，实现边的等量转化；接下来采用方程思想，设AP的长为x，将图中CG、BG等相关线段都用含x的式子表示，最后在Rt△BCG中利用勾股定理列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
设DC与BE相交于点G。
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6 cm，CD=AB=8 cm。
由折叠的性质，得△EBP≌△ABP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=BA=8 cm，
∴∠D=∠E。
在△ODP和△OEG中，
$\begin{cases}∠D = ∠E, \\OD = OE, \\∠DOP = ∠EOG,\end{cases}$
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴OP+OE=OG+OD，即EP=DG。
设AP=x cm，则PD=GE=(6-x) cm，EP=DG=x cm，
∴CG=CD-DG=(8-x) cm，BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x) cm。
在Rt△BCG中，由勾股定理，得$BC^2 + CG^2 = BG^2$，
即$6^2 + (8-x)^2 = (2+x)^2$，
展开得：$36 + 64 - 16x + x^2 = 4 + 4x + x^2$，
移项合并同类项得：$20x=96$，
解得$x=4.8$。
【答案】
AP的长为4.8 cm
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何综合题，解题的关键是利用折叠全等和三角形全等完成边角的等量转化，再通过勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，能较好地锻炼几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到长方形中的折叠问题，首先利用折叠的性质得到折叠前后图形的对应边、对应角相等；再结合题干给出的OE=OD，以及长方形的直角、对顶角相等的条件，可证明△ODP和△OEG全等，实现边的等量转化；接下来采用方程思想，设AP的长为x，将图中CG、BG等相关线段都用含x的式子表示，最后在Rt△BCG中利用勾股定理列方程求解即可得到AP的长度。
【解析】
设DC与BE相交于点G。
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6 cm，CD=AB=8 cm。
由折叠的性质，得△EBP≌△ABP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=BA=8 cm，
∴∠D=∠E。
在△ODP和△OEG中，
$\begin{cases}∠D = ∠E, \\OD = OE, \\∠DOP = ∠EOG,\end{cases}$
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴OP+OE=OG+OD，即EP=DG。
设AP=x cm，则PD=GE=(6-x) cm，EP=DG=x cm，
∴CG=CD-DG=(8-x) cm，BG=BE-GE=8-(6-x)=(2+x) cm。
在Rt△BCG中，由勾股定理，得$BC^2 + CG^2 = BG^2$，
即$6^2 + (8-x)^2 = (2+x)^2$，
展开得：$36 + 64 - 16x + x^2 = 4 + 4x + x^2$，
移项合并同类项得：$20x=96$，
解得$x=4.8$。
【答案】
AP的长为4.8 cm
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何综合题，解题的关键是利用折叠全等和三角形全等完成边角的等量转化，再通过勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，能较好地锻炼几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
