登录
博观而约取
二次根式化简的方法
1. 被开方数是非完全平方数的二次根式化简
例1 化简$\sqrt{48}$。
分析:因为$48=16×3=4^2×3$,所以根据公式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$,就可以把积中是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来,从而实现化简的目的。
解:$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=\sqrt{4^2}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
评注:对被开方数进行因数分解是化简的基础。
2. 被开方数是分数的二次根式化简
例2 化简$\sqrt{\frac{1}{125}}$。
分析:因为$125=5×5×5=5^2×5$,所以只需分子、分母同乘5就可以了。
解:$\sqrt{\frac{1}{125}}=\sqrt{\frac{1×5}{5×5×5}}=\frac{\sqrt{5}}{25}$。
评注:化简时,通常分子、分母同时乘分数分母的一个恰当因数或因式,使分母上的数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
3. 被开方数是小数的二次根式化简
例3 化简$\sqrt{1.5}$。
分析:被开方数1.5是小数,把它化成相应的分数,即$\frac{3}{2}$,然后再进行化简。
解:$\sqrt{1.5}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{3×2}{2×2}}=\sqrt{\frac{6}{2^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
评注:化简时,把小数化成相应的分数,然后再按被开方数是分数的二次根式进行化简。
思考:
二次根式化简的步骤和技巧有哪些？
二次根式化简的方法
1. 被开方数是非完全平方数的二次根式化简
例1 化简$\sqrt{48}$。
分析:因为$48=16×3=4^2×3$,所以根据公式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$,就可以把积中是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来,从而实现化简的目的。
解:$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=\sqrt{4^2}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
评注:对被开方数进行因数分解是化简的基础。
2. 被开方数是分数的二次根式化简
例2 化简$\sqrt{\frac{1}{125}}$。
分析:因为$125=5×5×5=5^2×5$,所以只需分子、分母同乘5就可以了。
解:$\sqrt{\frac{1}{125}}=\sqrt{\frac{1×5}{5×5×5}}=\frac{\sqrt{5}}{25}$。
评注:化简时,通常分子、分母同时乘分数分母的一个恰当因数或因式,使分母上的数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
3. 被开方数是小数的二次根式化简
例3 化简$\sqrt{1.5}$。
分析:被开方数1.5是小数,把它化成相应的分数,即$\frac{3}{2}$,然后再进行化简。
解:$\sqrt{1.5}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{3×2}{2×2}}=\sqrt{\frac{6}{2^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
评注:化简时,把小数化成相应的分数,然后再按被开方数是分数的二次根式进行化简。
思考:
二次根式化简的步骤和技巧有哪些？
答案
解：
二次根式化简的步骤和技巧可总结为：
1. 预处理被开方数：
若被开方数是小数，先将其化为分数；若被开方数是带分数，先将其化为假分数。
2. 拆分/配凑完全平方部分：
若被开方数是整数，对其做因数分解，从中拆分出所有的完全平方因数；
若被开方数是分数，根据分母的特点，给分子、分母同乘恰当的正整数，让分母变为完全平方数。
3. 利用二次根式的运算性质化简：
借助$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，将根号下能开得尽方的部分开方后移到根号外，同时去掉分母中的根号。
4. 最终核验结果，保证所得的二次根式为最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式。
二次根式化简的步骤和技巧可总结为：
1. 预处理被开方数：
若被开方数是小数，先将其化为分数；若被开方数是带分数，先将其化为假分数。
2. 拆分/配凑完全平方部分：
若被开方数是整数，对其做因数分解，从中拆分出所有的完全平方因数；
若被开方数是分数，根据分母的特点，给分子、分母同乘恰当的正整数，让分母变为完全平方数。
3. 利用二次根式的运算性质化简：
借助$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，将根号下能开得尽方的部分开方后移到根号外，同时去掉分母中的根号。
4. 最终核验结果，保证所得的二次根式为最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式。
解析
【分析】
我们可以结合题目给出的三类不同被开方数的化简实例，按以下思路归纳步骤技巧：首先先区分被开方数的类型，明确不同形式的被开方数（小数、带分数、整数、普通分数）的预处理方法；接下来针对预处理后的被开方数，要么拆分出整数中的完全平方因数，要么将分数的分母配凑为完全平方数；再运用二次根式的运算性质，将能开尽方的部分移出根号，消去分母中的根号；最后核验结果是否符合最简二次根式的要求，即可梳理出完整的化简步骤。
【解析】
二次根式化简的步骤和技巧可总结为：
1. 预处理被开方数：
若被开方数是小数，先将其化为分数；若被开方数是带分数，先将其化为假分数。
2. 拆分/配凑完全平方部分：
若被开方数是整数，对其做因数分解，从中拆分出所有的完全平方因数；
若被开方数是分数，根据分母的特点，给分子、分母同乘恰当的正整数，让分母变为完全平方数。
3. 利用二次根式的运算性质化简：
借助$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，将根号下能开得尽方的部分开方后移到根号外，同时去掉分母中的根号。
4. 最终核验结果，保证所得的二次根式为最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式。
【答案】
二次根式化简的步骤和技巧可总结为：
1. 预处理被开方数：
若被开方数是小数，先将其化为分数；若被开方数是带分数，先将其化为假分数。
2. 拆分/配凑完全平方部分：
若被开方数是整数，对其做因数分解，从中拆分出所有的完全平方因数；
若被开方数是分数，根据分母的特点，给分子、分母同乘恰当的正整数，让分母变为完全平方数。
3. 利用二次根式的运算性质化简：
借助$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，将根号下能开得尽方的部分开方后移到根号外，同时去掉分母中的根号。
4. 最终核验结果，保证所得的二次根式为最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式。
【知识点】
1.二次根式化简
2.最简二次根式
3.二次根式的性质
【点评】
本题通过不同类型的二次根式化简示例，引导学生自主归纳通用化简方法，既强化了对二次根式运算规则的理解，也提升了归纳总结的能力，是二次根式运算板块的基础题型。
【难度系数】
0.7
我们可以结合题目给出的三类不同被开方数的化简实例，按以下思路归纳步骤技巧：首先先区分被开方数的类型，明确不同形式的被开方数（小数、带分数、整数、普通分数）的预处理方法；接下来针对预处理后的被开方数，要么拆分出整数中的完全平方因数，要么将分数的分母配凑为完全平方数；再运用二次根式的运算性质，将能开尽方的部分移出根号，消去分母中的根号；最后核验结果是否符合最简二次根式的要求，即可梳理出完整的化简步骤。
【解析】
二次根式化简的步骤和技巧可总结为：
1. 预处理被开方数：
若被开方数是小数，先将其化为分数；若被开方数是带分数，先将其化为假分数。
2. 拆分/配凑完全平方部分：
若被开方数是整数，对其做因数分解，从中拆分出所有的完全平方因数；
若被开方数是分数，根据分母的特点，给分子、分母同乘恰当的正整数，让分母变为完全平方数。
3. 利用二次根式的运算性质化简：
借助$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，将根号下能开得尽方的部分开方后移到根号外，同时去掉分母中的根号。
4. 最终核验结果，保证所得的二次根式为最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式。
【答案】
二次根式化简的步骤和技巧可总结为：
1. 预处理被开方数：
若被开方数是小数，先将其化为分数；若被开方数是带分数，先将其化为假分数。
2. 拆分/配凑完全平方部分：
若被开方数是整数，对其做因数分解，从中拆分出所有的完全平方因数；
若被开方数是分数，根据分母的特点，给分子、分母同乘恰当的正整数，让分母变为完全平方数。
3. 利用二次根式的运算性质化简：
借助$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$，将根号下能开得尽方的部分开方后移到根号外，同时去掉分母中的根号。
4. 最终核验结果，保证所得的二次根式为最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不存在能开得尽方的因数或因式。
【知识点】
1.二次根式化简
2.最简二次根式
3.二次根式的性质
【点评】
本题通过不同类型的二次根式化简示例，引导学生自主归纳通用化简方法，既强化了对二次根式运算规则的理解，也提升了归纳总结的能力，是二次根式运算板块的基础题型。
【难度系数】
0.7
