制作长方体纸盒
通过对长方体纸盒的长、宽、高及表面积和体积的计算，掌握二次根式的运算法则，并养成动手、动口、动脑的习惯。
1.长方体相关计算学习
要做一个底面积为24 cm²，长、宽、高的比为4:2:1的长方体。
先确定这个长方体的长、宽、高分别是多少。
设这个长方体的长为cm，宽为cm，高为cm。
根据底面积为24 cm²建立方程，得，
解得。
所以这个长方体的长为cm，宽为cm，高为cm。
2.制作长方体纸盒
(1)问题:已知一条长度为$\sqrt{3}$ cm的线段，利用什么工具可以测量$\sqrt{3}$ cm，$2\sqrt{3}$ cm和$4\sqrt{3}$ cm这3条线段?
(2)准备活动:在卡纸的射线上画出长度分别为$\sqrt{3}$ cm，$2\sqrt{3}$ cm和$4\sqrt{3}$ cm的3条线段。
(3)画出长方体纸盒平面展开图。
(4)剪裁。
(5)折叠。
3.解决问题

解：
1. 设这个长方体的长为$4x$ cm，宽为$2x$ cm，高为$x$ cm。
根据底面积为$24\ \mathrm{cm}^2$建立方程，得$4x· 2x=24$，
解得$x=\sqrt{3}$（舍去负根$x=-\sqrt{3}$）。
所以这个长方体的长为$4\sqrt{3}$ cm，宽为$2\sqrt{3}$ cm，高为$\sqrt{3}$ cm。
2. (1) 答：使用刻度尺，将已知长度为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$的线段作为单位长度，即可直接测量出$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$、$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$和$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$这3条线段。

【分析】
解题首先根据长、宽、高的比例关系，用含同一个未知数的式子分别表示三者长度，再利用“长方体底面积=长×宽”的等量关系列一元二次方程，求解时注意边长为正数，需舍去负根，即可得到长、宽、高的具体数值；第二问已知$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$的线段，要测量它的整数倍长度，可将该线段作为单位长度，用刻度尺直接度量即可。
【解析】
1. 已知长、宽、高的比为4:2:1，设高为$x\ \mathrm{cm}$，则长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据底面积为$24\ \mathrm{cm}^2$列方程：$4x· 2x=24$
整理得$8x^2=24$，即$x^2=3$，解得$x=\sqrt{3}$（边长为正数，舍去负根$x=-\sqrt{3}$）
代入计算得：长$=4x=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，宽$=2x=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，高$=x=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. (1) 可使用刻度尺，将已知的$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$线段作为单位长度，分别量出1个、2个、4个该单位长度，即可得到$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$、$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$、$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$的线段。
【答案】
1. $4x$；$2x$；$x$；$4x· 2x=24$；$x=\sqrt{3}$（舍去负根）；$4\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$
2. (1) 使用刻度尺，将已知长度为$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$的线段作为单位长度，即可测量出3条目标线段。
【知识点】
按比例设元；一元二次方程求解；二次根式应用
【点评】
本题将代数计算与实际动手操作结合，既考察了比例、一元二次方程、二次根式的基础知识点，又引导学生将理论知识应用到实践中，有利于提升知识运用能力和动手能力。
【难度系数】
0.7