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20.现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为4 dm²，8 dm²和18 dm²的正方形木板A，B，C.求木板中剩余部分(阴影部分)的面积.
答案
20.木板中剩余部分（阴影部分）的面积为$(10\sqrt{2}-10)\mathrm{dm}^2$.
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，求出三个正方形的边长；再观察图形确定大长方形的长和宽：大长方形的长等于正方形B和C的边长之和，大长方形的宽等于正方形A和B的边长之和；最后用大长方形的面积减去三个正方形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算三个正方形的边长：
正方形A面积为$4\mathrm{dm}^2$，边长$a=\sqrt{4}=2\mathrm{dm}$；
正方形B面积为$8\mathrm{dm}^2$，边长$b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\mathrm{dm}$；
正方形C面积为$18\mathrm{dm}^2$，边长$c=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\mathrm{dm}$。
2. 计算大长方形的长和宽：
大长方形的长：$b+c=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形的宽：$a+b=2+2\sqrt{2}\mathrm{dm}$
3. 计算大长方形的面积：
$S_{\mathrm{大}}=5\sqrt{2}×(2+2\sqrt{2})=5\sqrt{2}×2 + 5\sqrt{2}×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}+20\mathrm{dm}^2$
4. 计算三个正方形的总面积：
$S_{\mathrm{正和}}=4+8+18=30\mathrm{dm}^2$
5. 计算阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{正和}}=(10\sqrt{2}+20)-30=10\sqrt{2}-10\mathrm{dm}^2$
【答案】
木板中剩余部分（阴影部分）的面积为$(10\sqrt{2}-10)\mathrm{dm}^2$。
【知识点】
二次根式的运算；正方形的性质；长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的实际应用，解题核心是准确识别大长方形的长宽与正方形边长的关系，通过面积差法计算阴影面积，需要熟练掌握二次根式的化简和乘法运算规则。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，求出三个正方形的边长；再观察图形确定大长方形的长和宽：大长方形的长等于正方形B和C的边长之和，大长方形的宽等于正方形A和B的边长之和；最后用大长方形的面积减去三个正方形的面积和，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算三个正方形的边长：
正方形A面积为$4\mathrm{dm}^2$，边长$a=\sqrt{4}=2\mathrm{dm}$；
正方形B面积为$8\mathrm{dm}^2$，边长$b=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\mathrm{dm}$；
正方形C面积为$18\mathrm{dm}^2$，边长$c=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\mathrm{dm}$。
2. 计算大长方形的长和宽：
大长方形的长：$b+c=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\mathrm{dm}$
大长方形的宽：$a+b=2+2\sqrt{2}\mathrm{dm}$
3. 计算大长方形的面积：
$S_{\mathrm{大}}=5\sqrt{2}×(2+2\sqrt{2})=5\sqrt{2}×2 + 5\sqrt{2}×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}+20\mathrm{dm}^2$
4. 计算三个正方形的总面积：
$S_{\mathrm{正和}}=4+8+18=30\mathrm{dm}^2$
5. 计算阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{正和}}=(10\sqrt{2}+20)-30=10\sqrt{2}-10\mathrm{dm}^2$
【答案】
木板中剩余部分（阴影部分）的面积为$(10\sqrt{2}-10)\mathrm{dm}^2$。
【知识点】
二次根式的运算；正方形的性质；长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查二次根式的实际应用，解题核心是准确识别大长方形的长宽与正方形边长的关系，通过面积差法计算阴影面积，需要熟练掌握二次根式的化简和乘法运算规则。
【难度系数】
0.65
21.行文明之举，向高空抛物说“不”.为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度$ v $(单位:m/s)和高度$ h $(单位:m)近似满足公式$ v = \sqrt{2gh} $(不考虑风速的影响，$ g \approx 10 \ \mathrm{m/s}^2 $).已知小亮家所住楼层的高度是15 m.
(1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度.(结果保留根号)
(2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品落地时速度的2倍.请问小明的说法正确吗？判断并说明理由.
(1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度.(结果保留根号)
(2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品落地时速度的2倍.请问小明的说法正确吗？判断并说明理由.
答案
21.(1)该物品落地时的速度为$10\sqrt{3}\ \mathrm{m/s}$；
(2)不正确，小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品落地时速度的$\sqrt{2}$倍，而不是2倍，小明的说法不正确.
(2)不正确，小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品落地时速度的$\sqrt{2}$倍，而不是2倍，小明的说法不正确.
解析
【分析】
(1) 第一问是代数式直接求值问题，已知下落速度公式$v = \sqrt{2gh}$，给定$g\approx10\ \mathrm{m/s}^2$、小亮家楼层高度$h=15\ \mathrm{m}$，只需将已知数值代入公式，再化简二次根式即可求出物品落地速度。
(2) 第二问首先要算出小明家的楼层高度，再代入公式求出对应落地速度，和小亮家的落地速度作比较即可判断说法正误；也可通过分析速度和高度的关系（速度与高度的算术平方根成正比）推导倍数关系，不能直接默认高度的倍数就是速度的倍数，需通过计算验证结论。
【解析】
(1) 由题意得$g\approx10\ \mathrm{m/s}^2$，$h=15\ \mathrm{m}$，将数值代入公式$v = \sqrt{2gh}$：
$\begin{aligned}v&=\sqrt{2×10×15}\\&=\sqrt{300}\\&=10\sqrt{3}\ (\mathrm{m/s})\end{aligned}$
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
小明家楼层高度$h'=2×15=30\ \mathrm{m}$，代入公式得对应落地速度：
$\begin{aligned}v'&=\sqrt{2×10×30}\\&=\sqrt{600}\\&=10\sqrt{6}\ (\mathrm{m/s})\end{aligned}$
计算速度比值：$\frac{v'}{v}=\frac{10\sqrt{6}}{10\sqrt{3}}=\sqrt{2}$，即小明家坠落物品的落地速度是小亮家的$\sqrt{2}$倍，不是2倍，因此小明的说法错误。
【答案】
(1)该物品落地时的速度为$10\sqrt{3}\ \mathrm{m/s}$；
(2)不正确，小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品落地时速度的$\sqrt{2}$倍，而不是2倍，小明的说法不正确。
【知识点】
二次根式化简，代数式求值，公式应用
【点评】
本题结合高空抛物的生活场景命题，既考查了二次根式运算、代数式求值的基础能力，也引导学生养成通过计算验证结论的习惯，避免凭直觉判断数量关系，同时能让学生直观认识到高空抛物的危害，兼具知识性和教育意义。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是代数式直接求值问题，已知下落速度公式$v = \sqrt{2gh}$，给定$g\approx10\ \mathrm{m/s}^2$、小亮家楼层高度$h=15\ \mathrm{m}$，只需将已知数值代入公式，再化简二次根式即可求出物品落地速度。
(2) 第二问首先要算出小明家的楼层高度，再代入公式求出对应落地速度，和小亮家的落地速度作比较即可判断说法正误；也可通过分析速度和高度的关系（速度与高度的算术平方根成正比）推导倍数关系，不能直接默认高度的倍数就是速度的倍数，需通过计算验证结论。
【解析】
(1) 由题意得$g\approx10\ \mathrm{m/s}^2$，$h=15\ \mathrm{m}$，将数值代入公式$v = \sqrt{2gh}$：
$\begin{aligned}v&=\sqrt{2×10×15}\\&=\sqrt{300}\\&=10\sqrt{3}\ (\mathrm{m/s})\end{aligned}$
(2) 小明的说法不正确，理由如下：
小明家楼层高度$h'=2×15=30\ \mathrm{m}$，代入公式得对应落地速度：
$\begin{aligned}v'&=\sqrt{2×10×30}\\&=\sqrt{600}\\&=10\sqrt{6}\ (\mathrm{m/s})\end{aligned}$
计算速度比值：$\frac{v'}{v}=\frac{10\sqrt{6}}{10\sqrt{3}}=\sqrt{2}$，即小明家坠落物品的落地速度是小亮家的$\sqrt{2}$倍，不是2倍，因此小明的说法错误。
【答案】
(1)该物品落地时的速度为$10\sqrt{3}\ \mathrm{m/s}$；
(2)不正确，小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品落地时速度的$\sqrt{2}$倍，而不是2倍，小明的说法不正确。
【知识点】
二次根式化简，代数式求值，公式应用
【点评】
本题结合高空抛物的生活场景命题，既考查了二次根式运算、代数式求值的基础能力，也引导学生养成通过计算验证结论的习惯，避免凭直觉判断数量关系，同时能让学生直观认识到高空抛物的危害，兼具知识性和教育意义。
【难度系数】
0.8
22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：
设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a,b,m,n$均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$，所以$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$，这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$，得$a=$
(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示$7+4\sqrt{3}=$
(3)请化简：$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$。
设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a,b,m,n$均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$，所以$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$，这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当$a,b,m,n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m,n$的式子分别表示$a,b$，得$a=$
$m^2+3n^2$
，$b=$$2mn$
。(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示$7+4\sqrt{3}=$
$(2+\sqrt{3})^2$
。(3)请化简：$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$。
答案
22.(1)$m^2+3n^2$ $2mn$
(2)$(2+\sqrt{3})^2$
(3)原式=$3-\sqrt{3}$.
(2)$(2+\sqrt{3})^2$
(3)原式=$3-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 先利用完全平方公式将等式右侧$(m+n\sqrt{3})^2$展开，再将展开式与左侧$a+b\sqrt{3}$对比，让有理数部分、含$\sqrt{3}$项的系数分别对应相等，即可得到$a$、$b$的表达式。
(2) 结合第(1)问的结论，已知$a=7$、$b=4$，先通过$b=2mn$得到$mn$的取值，再代入$a=m^2+3n^2$验证，找到符合条件的正整数$m$、$n$，即可写出对应的完全平方式。
(3) 要化简$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$，首先将被开方数$12-6\sqrt{3}$转化为$(m-n\sqrt{3})^2$的形式（因根号内是减号，故平方的两项之间为减号），通过系数匹配找到$m$、$n$，再利用算术平方根的非负性开方即可得到结果。
【解析】
(1) 展开右侧式子：
$(m+n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + (n\sqrt{3})^2 = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$
与左侧$a+b\sqrt{3}$对应，可得$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$。
(2) 对$7+4\sqrt{3}$，对应$a=7$，$b=4$，由$b=2mn=4$得$mn=2$。
$m$、$n$为正整数，可能的取值为$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$，代入$a=m^2+3n^2$验证：
当$m=2$、$n=1$时，$2^2+3×1^2=4+3=7$，符合条件，因此$7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$。
(3) 设$12-6\sqrt{3}=(m-n\sqrt{3})^2=m^2+3n^2-2mn\sqrt{3}$（$m＞n\sqrt{3}$，保证开方结果非负），则：
$\begin{cases}m^2+3n^2=12\\2mn=6\end{cases}$
由$2mn=6$得$mn=3$，正整数解可能为$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，代入验证：
当$m=3$、$n=1$时，$3^2+3×1^2=9+3=12$，符合条件，且$3＞\sqrt{3}$，因此：
$\sqrt{12-6\sqrt{3}}=\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}=|3-\sqrt{3}|=3-\sqrt{3}$
【答案】
(1)$m^2+3n^2$；$2mn$
(2)$(2+\sqrt{3})^2$
(3)$3-\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的化简；算术平方根的性质
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查知识迁移应用能力，解题关键是读懂材料给出的系数匹配方法，结合完全平方公式和二次根式的性质逐步求解，计算难度较低，掌握基础方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用完全平方公式将等式右侧$(m+n\sqrt{3})^2$展开，再将展开式与左侧$a+b\sqrt{3}$对比，让有理数部分、含$\sqrt{3}$项的系数分别对应相等，即可得到$a$、$b$的表达式。
(2) 结合第(1)问的结论，已知$a=7$、$b=4$，先通过$b=2mn$得到$mn$的取值，再代入$a=m^2+3n^2$验证，找到符合条件的正整数$m$、$n$，即可写出对应的完全平方式。
(3) 要化简$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$，首先将被开方数$12-6\sqrt{3}$转化为$(m-n\sqrt{3})^2$的形式（因根号内是减号，故平方的两项之间为减号），通过系数匹配找到$m$、$n$，再利用算术平方根的非负性开方即可得到结果。
【解析】
(1) 展开右侧式子：
$(m+n\sqrt{3})^2 = m^2 + 2mn\sqrt{3} + (n\sqrt{3})^2 = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3}$
与左侧$a+b\sqrt{3}$对应，可得$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$。
(2) 对$7+4\sqrt{3}$，对应$a=7$，$b=4$，由$b=2mn=4$得$mn=2$。
$m$、$n$为正整数，可能的取值为$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$或$\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}$，代入$a=m^2+3n^2$验证：
当$m=2$、$n=1$时，$2^2+3×1^2=4+3=7$，符合条件，因此$7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2$。
(3) 设$12-6\sqrt{3}=(m-n\sqrt{3})^2=m^2+3n^2-2mn\sqrt{3}$（$m＞n\sqrt{3}$，保证开方结果非负），则：
$\begin{cases}m^2+3n^2=12\\2mn=6\end{cases}$
由$2mn=6$得$mn=3$，正整数解可能为$\begin{cases}m=3\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，代入验证：
当$m=3$、$n=1$时，$3^2+3×1^2=9+3=12$，符合条件，且$3＞\sqrt{3}$，因此：
$\sqrt{12-6\sqrt{3}}=\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}=|3-\sqrt{3}|=3-\sqrt{3}$
【答案】
(1)$m^2+3n^2$；$2mn$
(2)$(2+\sqrt{3})^2$
(3)$3-\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式的化简；算术平方根的性质
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查知识迁移应用能力，解题关键是读懂材料给出的系数匹配方法，结合完全平方公式和二次根式的性质逐步求解，计算难度较低，掌握基础方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
