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18. (1)已知$m$是$\sqrt{7}$的小数部分，$n$是$2\sqrt{3}$的整数部分，求$\dfrac{n}{m}$的值；
(2)已知$a^2 - 3a + 1 = 0$，求$\sqrt{a} + \dfrac{1}{\sqrt{a}}$的值。
(2)已知$a^2 - 3a + 1 = 0$，求$\sqrt{a} + \dfrac{1}{\sqrt{a}}$的值。
答案
18.(1)$\sqrt{7}+2$
(2)$\sqrt{5}$
(2)$\sqrt{5}$
解析
【分析】
(1) 先明确无理数的小数部分=无理数本身-它的整数部分，所以首先要估算出$\sqrt{7}$和$2\sqrt{3}$的取值范围，分别求出$m$和$n$的值，再代入$\frac{n}{m}$，最后通过分母有理化计算结果即可。
(2) 观察所求式子$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$的结构，想到用完全平方公式展开它的平方，就会出现$a+\frac{1}{a}$的形式；所以先从已知等式出发，因为$a≠0$，两边除以$a$就能得到$a+\frac{1}{a}$的值，代入平方后的式子计算，最后根据算术平方根的非负性取正的结果即可。
【解析】
(1) 第一步：求$m$的值
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，$\sqrt{7}$的整数部分是2
$\therefore \sqrt{7}$的小数部分$m=\sqrt{7}-2$
第二步：求$n$的值
$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{12}$，且$3＜\sqrt{12}＜4$
$\therefore 2\sqrt{3}$的整数部分$n=3$
第三步：计算$\frac{n}{m}$的值
$\frac{n}{m}=\frac{3}{\sqrt{7}-2}$，对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}+2$：
$\frac{3(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\frac{3(\sqrt{7}+2)}{7-4}=\frac{3(\sqrt{7}+2)}{3}=\sqrt{7}+2$
(2) 第一步：推导$a+\frac{1}{a}$的值
已知$a^2-3a+1=0$，若$a=0$，等式左边$=1≠0$，故$a≠0$
等式两边同时除以$a$得：$a-3+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$
第二步：利用完全平方公式计算所求式子
设$t=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$，由二次根式有意义可知$a＞0$，故$t＞0$
对$t$平方得：$t^2=(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}})^2=a + 2·\sqrt{a}·\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{a}+2$
把$a+\frac{1}{a}=3$代入得：$t^2=3+2=5$
$\because t＞0$，$\therefore t=\sqrt{5}$，即$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{5}$
【答案】
(1)$\sqrt{7}+2$；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
无理数的估算，分母有理化，完全平方公式的应用
【点评】
这两道题是代数部分的常见题型，第一问需要熟练掌握无理数取值范围的估算方法，第二问的整体代换思想和平方凑配的技巧是代数式求值类题目的常用方法，熟练掌握后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确无理数的小数部分=无理数本身-它的整数部分，所以首先要估算出$\sqrt{7}$和$2\sqrt{3}$的取值范围，分别求出$m$和$n$的值，再代入$\frac{n}{m}$，最后通过分母有理化计算结果即可。
(2) 观察所求式子$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$的结构，想到用完全平方公式展开它的平方，就会出现$a+\frac{1}{a}$的形式；所以先从已知等式出发，因为$a≠0$，两边除以$a$就能得到$a+\frac{1}{a}$的值，代入平方后的式子计算，最后根据算术平方根的非负性取正的结果即可。
【解析】
(1) 第一步：求$m$的值
$\because 2＜\sqrt{7}＜3$，$\sqrt{7}$的整数部分是2
$\therefore \sqrt{7}$的小数部分$m=\sqrt{7}-2$
第二步：求$n$的值
$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{12}$，且$3＜\sqrt{12}＜4$
$\therefore 2\sqrt{3}$的整数部分$n=3$
第三步：计算$\frac{n}{m}$的值
$\frac{n}{m}=\frac{3}{\sqrt{7}-2}$，对分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}+2$：
$\frac{3(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\frac{3(\sqrt{7}+2)}{7-4}=\frac{3(\sqrt{7}+2)}{3}=\sqrt{7}+2$
(2) 第一步：推导$a+\frac{1}{a}$的值
已知$a^2-3a+1=0$，若$a=0$，等式左边$=1≠0$，故$a≠0$
等式两边同时除以$a$得：$a-3+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$
第二步：利用完全平方公式计算所求式子
设$t=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}$，由二次根式有意义可知$a＞0$，故$t＞0$
对$t$平方得：$t^2=(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}})^2=a + 2·\sqrt{a}·\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{a}+2$
把$a+\frac{1}{a}=3$代入得：$t^2=3+2=5$
$\because t＞0$，$\therefore t=\sqrt{5}$，即$\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{5}$
【答案】
(1)$\sqrt{7}+2$；(2)$\sqrt{5}$
【知识点】
无理数的估算，分母有理化，完全平方公式的应用
【点评】
这两道题是代数部分的常见题型，第一问需要熟练掌握无理数取值范围的估算方法，第二问的整体代换思想和平方凑配的技巧是代数式求值类题目的常用方法，熟练掌握后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
19. 先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题.
若$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$在实数范围内都有意义，求$x$的值.
解:因为$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$在实数范围内都有意义，
所以$x-1≥ 0$且$1-x≥ 0$.
由$1-x≥ 0$，得$x-1≤ 0$，
所以$x-1=0$.
所以$x=1$.
问题:若实数$x,y$满足$y=\sqrt{2x-4}+\sqrt{4-2x}+3$，求$\sqrt{8x+3y}$的值.
若$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$在实数范围内都有意义，求$x$的值.
解:因为$\sqrt{x-1}$和$\sqrt{1-x}$在实数范围内都有意义，
所以$x-1≥ 0$且$1-x≥ 0$.
由$1-x≥ 0$，得$x-1≤ 0$，
所以$x-1=0$.
所以$x=1$.
问题:若实数$x,y$满足$y=\sqrt{2x-4}+\sqrt{4-2x}+3$，求$\sqrt{8x+3y}$的值.
答案
19.$\sqrt{8x+3y}$的值为5.
解析
【分析】
要解决该问题，首先需明确二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数为非负数。观察y的表达式中两个二次根式的被开方数2x-4和4-2x，二者互为相反数，要同时满足非负要求，只能都等于0，据此可先求出x的值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入$\sqrt{8x+3y}$计算即可。
【解析】
解：要使$\sqrt{2x-4}$和$\sqrt{4-2x}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$\begin{cases}2x-4≥0 \\4-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-4≥0$，得$x≥2$；
解不等式$4-2x≥0$，得$x≤2$；
因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2x-4}+\sqrt{4-2x}+3$，可得：
$y=0+0+3=3$
再将$x=2$、$y=3$代入$\sqrt{8x+3y}$计算：
$\sqrt{8×2+3×3}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
【答案】
$\sqrt{8x+3y}$的值为5
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，核心考点是二次根式被开方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数同时为非负数时只能都为0”的规律快速求出x的值，熟练掌握二次根式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先需明确二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数为非负数。观察y的表达式中两个二次根式的被开方数2x-4和4-2x，二者互为相反数，要同时满足非负要求，只能都等于0，据此可先求出x的值，再代入原式求出y的值，最后将x、y代入$\sqrt{8x+3y}$计算即可。
【解析】
解：要使$\sqrt{2x-4}$和$\sqrt{4-2x}$在实数范围内有意义，需满足被开方数为非负数，即：
$\begin{cases}2x-4≥0 \\4-2x≥0 \end{cases}$
解不等式$2x-4≥0$，得$x≥2$；
解不等式$4-2x≥0$，得$x≤2$；
因此$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2x-4}+\sqrt{4-2x}+3$，可得：
$y=0+0+3=3$
再将$x=2$、$y=3$代入$\sqrt{8x+3y}$计算：
$\sqrt{8×2+3×3}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
【答案】
$\sqrt{8x+3y}$的值为5
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式相关的基础常考题，核心考点是二次根式被开方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数同时为非负数时只能都为0”的规律快速求出x的值，熟练掌握二次根式的基本性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
