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8 [2024 陕西]小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，-2，-1，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是
0或2或－2
。答案
0或2或－2
解析
【分析】
解题时首先注意到横向、纵向求和时，中间位置的数会被重复计算1次，其余4个数仅计算1次。我们可以先计算5个数字的总和，设中间数为x，横、纵向的和均为S，根据“横向和+纵向和=5个数总和+中间数”建立等量关系，再结合数字特征判断x的可能取值，也可以通过逐个代入验证的方法判断中间数是否符合要求。
【解析】
首先计算五个数的总和：$0 + (-2) + (-1) + 1 + 2 = 0$。
设中间位置的数为$x$，横向、纵向三个数的和均为$S$。
由于横向和加纵向和时，中间数被加了2次，其余数各加1次，因此可得：
$2S = 0 + x$，即$x = 2S$。
因为$S$是三个整数相加的和，必为整数，所以$x$必须是偶数，在给出的数中偶数为0、2、-2，分别验证：
1. 当$x=0$时，$S=0$，剩余数$-2、-1、1、2$可分为两组和为0的数：$(-2,2)$和$(-1,1)$，满足要求；
2. 当$x=2$时，$S=1$，剩余数$0、-2、-1、1$可分为两组和为$-1$的数：$(-2,1)$和$(0,-1)$，满足要求；
3. 当$x=-2$时，$S=-1$，剩余数$0、-1、1、2$可分为两组和为$1$的数：$(0,1)$和$(-1,2)$，满足要求。
若中间数为$\pm1$，则$S$不是整数，不符合要求。
【答案】
0或2或－2
【知识点】
有理数加减运算；方程思想；逻辑推理
【点评】
本题结合幻方背景考查有理数加减的实际应用，解题的核心是抓住中间数被重复计算的特点建立等量关系，也可以通过枚举验证得出答案，考查学生的计算能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先注意到横向、纵向求和时，中间位置的数会被重复计算1次，其余4个数仅计算1次。我们可以先计算5个数字的总和，设中间数为x，横、纵向的和均为S，根据“横向和+纵向和=5个数总和+中间数”建立等量关系，再结合数字特征判断x的可能取值，也可以通过逐个代入验证的方法判断中间数是否符合要求。
【解析】
首先计算五个数的总和：$0 + (-2) + (-1) + 1 + 2 = 0$。
设中间位置的数为$x$，横向、纵向三个数的和均为$S$。
由于横向和加纵向和时，中间数被加了2次，其余数各加1次，因此可得：
$2S = 0 + x$，即$x = 2S$。
因为$S$是三个整数相加的和，必为整数，所以$x$必须是偶数，在给出的数中偶数为0、2、-2，分别验证：
1. 当$x=0$时，$S=0$，剩余数$-2、-1、1、2$可分为两组和为0的数：$(-2,2)$和$(-1,1)$，满足要求；
2. 当$x=2$时，$S=1$，剩余数$0、-2、-1、1$可分为两组和为$-1$的数：$(-2,1)$和$(0,-1)$，满足要求；
3. 当$x=-2$时，$S=-1$，剩余数$0、-1、1、2$可分为两组和为$1$的数：$(0,1)$和$(-1,2)$，满足要求。
若中间数为$\pm1$，则$S$不是整数，不符合要求。
【答案】
0或2或－2
【知识点】
有理数加减运算；方程思想；逻辑推理
【点评】
本题结合幻方背景考查有理数加减的实际应用，解题的核心是抓住中间数被重复计算的特点建立等量关系，也可以通过枚举验证得出答案，考查学生的计算能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
9 新考向 探究题 不改变数的顺序，请用“+”“-”运算符号把数6，-15，-10，-13组成一个算式：
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
，使其运算结果为24。（第8题）答案
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：一是不改变6、-15、-10、-13的数字顺序，二是仅用“+”“-”运算符号连接，最终运算结果为24。我们可以结合有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），从第一个数6出发逐步尝试凑目标值：要得到24，从6开始先尝试减去负数增加数值，6减-15得21，此时离24还差3；接着处理第三个数-10，加-10相当于减10，得到11；最后处理-13，减-13相当于加13，11加13刚好得24，完全符合要求。
【解析】
按照数字顺序插入运算符号得到算式：$6-(-15)+(-10)-(-13)$，验证计算如下：
$\begin{aligned}6-(-15)+(-10)-(-13)&=6+15-10+13\\&=21-10+13\\&=11+13\\&=24\end{aligned}$
运算结果为24，符合题意。
【答案】
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
【知识点】
有理数加减混合运算、有理数减法法则
【点评】
本题属于开放性探究题，主要考查对有理数加减运算法则的灵活运用，解题时可结合目标结果，从首个数开始逐步尝试插入运算符号，即可快速凑出符合要求的算式。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题干要求：一是不改变6、-15、-10、-13的数字顺序，二是仅用“+”“-”运算符号连接，最终运算结果为24。我们可以结合有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），从第一个数6出发逐步尝试凑目标值：要得到24，从6开始先尝试减去负数增加数值，6减-15得21，此时离24还差3；接着处理第三个数-10，加-10相当于减10，得到11；最后处理-13，减-13相当于加13，11加13刚好得24，完全符合要求。
【解析】
按照数字顺序插入运算符号得到算式：$6-(-15)+(-10)-(-13)$，验证计算如下：
$\begin{aligned}6-(-15)+(-10)-(-13)&=6+15-10+13\\&=21-10+13\\&=11+13\\&=24\end{aligned}$
运算结果为24，符合题意。
【答案】
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
【知识点】
有理数加减混合运算、有理数减法法则
【点评】
本题属于开放性探究题，主要考查对有理数加减运算法则的灵活运用，解题时可结合目标结果，从首个数开始逐步尝试插入运算符号，即可快速凑出符合要求的算式。
【难度系数】
0.7
10 计算：
(1) $(-\dfrac{2}{3})-(+\dfrac{1}{8})-(-\dfrac{1}{3})-\left|-\dfrac{3}{8}\right|$；
(2) $(-\dfrac{1}{4})+(+\dfrac{5}{6})-\left|-\dfrac{1}{2}\right|-(-\dfrac{2}{3})$。
(1) $(-\dfrac{2}{3})-(+\dfrac{1}{8})-(-\dfrac{1}{3})-\left|-\dfrac{3}{8}\right|$；
(2) $(-\dfrac{1}{4})+(+\dfrac{5}{6})-\left|-\dfrac{1}{2}\right|-(-\dfrac{2}{3})$。
答案
(1) $-\dfrac{5}{6}$
(2) $\dfrac{3}{4}$
(2) $\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
这两道题属于有理数加减混合运算题，解题思路可分为三步：第一步先根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”处理所有减法运算，再根据绝对值的性质化简绝对值，将原式统一为只有加法的形式；第二步观察各分数的分母特点，利用加法交换律和结合律，把同分母或便于通分的数组合在一起计算，简化运算过程；第三步对计算结果通分合并，得到最终答案。
【解析】
(1) 先去括号、化简绝对值，将减法转化为加法：
原式$=-\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{8}$
利用加法交换律和结合律分组：
$=(-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}) + (-\dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{8})$
分别计算每组的结果：
$=-\dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{8} = -\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}$
通分后合并：
$=-\dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6} = -\dfrac{5}{6}$
(2) 同样先处理符号、化简绝对值：
原式$=-\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}$
利用加法交换律和结合律，将便于通分的分数分组：
$=-\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + (\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3})$
分别计算每组：
$=-\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} + (\dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{6})$
$=-\dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{6} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2}$
通分合并：
$=-\dfrac{3}{4} + \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{4}$
【答案】
(1) $-\dfrac{5}{6}$
(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
有理数加减混合运算，绝对值化简，加法运算律应用
【点评】
本题是有理数加减混合运算的常规题型，核心考查符号处理能力和运算律的灵活使用，解题时优先化简绝对值、统一运算形式，再合理分组能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
这两道题属于有理数加减混合运算题，解题思路可分为三步：第一步先根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”处理所有减法运算，再根据绝对值的性质化简绝对值，将原式统一为只有加法的形式；第二步观察各分数的分母特点，利用加法交换律和结合律，把同分母或便于通分的数组合在一起计算，简化运算过程；第三步对计算结果通分合并，得到最终答案。
【解析】
(1) 先去括号、化简绝对值，将减法转化为加法：
原式$=-\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{8}$
利用加法交换律和结合律分组：
$=(-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}) + (-\dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{8})$
分别计算每组的结果：
$=-\dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{8} = -\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}$
通分后合并：
$=-\dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6} = -\dfrac{5}{6}$
(2) 同样先处理符号、化简绝对值：
原式$=-\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}$
利用加法交换律和结合律，将便于通分的分数分组：
$=-\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + (\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3})$
分别计算每组：
$=-\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4} + (\dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{6})$
$=-\dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{6} = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2}$
通分合并：
$=-\dfrac{3}{4} + \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{4}$
【答案】
(1) $-\dfrac{5}{6}$
(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
有理数加减混合运算，绝对值化简，加法运算律应用
【点评】
本题是有理数加减混合运算的常规题型，核心考查符号处理能力和运算律的灵活使用，解题时优先化简绝对值、统一运算形式，再合理分组能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
11 新情境 生活实际 在一次考试中,某班14名同学的成绩如下(单位:分):79,81,95,92,68,75,80,93,85,65,72,75,80,87.
（1）以80分为标准,成绩高于80分的记为正数,低于80分的记为负数.请你按上述要求表示出这14名同学的成绩.
（2）用(1)中的成绩求他们的平均成绩.
（1）以80分为标准,成绩高于80分的记为正数,低于80分的记为负数.请你按上述要求表示出这14名同学的成绩.
（2）用(1)中的成绩求他们的平均成绩.
答案
(1) $-1$分,$+1$分,$+15$分,$+12$分,$-12$分,$-5$分,$0$分,$+13$分,$+5$分,$-15$分,$-8$分,$-5$分,$0$分,$+7$分
(2) $[-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)]×\dfrac{1}{14}=0.5$(分),$80+0.5=80.5$(分),所以他们的平均成绩为80.5分
(2) $[-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)]×\dfrac{1}{14}=0.5$(分),$80+0.5=80.5$(分),所以他们的平均成绩为80.5分
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：明确以80分为基准的记数规则，用每位同学的实际成绩减去80分，所得结果为正记正、为负记负、为0记0，即可得到要求表示的成绩。
（2）第二问解题思路：采用基准数法求平均成绩，先计算第一问得到的所有新成绩的总和，再除以总人数得到平均偏差值，最后用基准分80加上平均偏差值，就能得到实际平均成绩，这种方法比直接计算原始成绩的平均数更简便。
【解析】
（1）逐个用实际成绩减去80分计算：
$79-80=-1$（分），$81-80=+1$（分），$95-80=+15$（分），$92-80=+12$（分），$68-80=-12$（分），$75-80=-5$（分），$80-80=0$（分），$93-80=+13$（分），$85-80=+5$（分），$65-80=-15$（分），$72-80=-8$（分），$75-80=-5$（分），$80-80=0$（分），$87-80=+7$（分）
（2）先计算14个新成绩的和，再求平均偏差，最后计算实际平均成绩：
新成绩总和：$-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)=7$
平均偏差：$7×\dfrac{1}{14}=0.5$（分）
实际平均成绩：$80+0.5=80.5$（分）
【答案】
(1) $-1$分,$+1$分,$+15$分,$+12$分,$-12$分,$-5$分,$0$分,$+13$分,$+5$分,$-15$分,$-8$分,$-5$分,$0$分,$+7$分
(2) $80.5$分
【知识点】
正负数的意义，有理数加减混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合考试成绩的生活情境，考查正负数的实际应用和有理数运算、平均数计算能力，使用基准数法计算平均数可有效简化运算，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
（1）第一问解题思路：明确以80分为基准的记数规则，用每位同学的实际成绩减去80分，所得结果为正记正、为负记负、为0记0，即可得到要求表示的成绩。
（2）第二问解题思路：采用基准数法求平均成绩，先计算第一问得到的所有新成绩的总和，再除以总人数得到平均偏差值，最后用基准分80加上平均偏差值，就能得到实际平均成绩，这种方法比直接计算原始成绩的平均数更简便。
【解析】
（1）逐个用实际成绩减去80分计算：
$79-80=-1$（分），$81-80=+1$（分），$95-80=+15$（分），$92-80=+12$（分），$68-80=-12$（分），$75-80=-5$（分），$80-80=0$（分），$93-80=+13$（分），$85-80=+5$（分），$65-80=-15$（分），$72-80=-8$（分），$75-80=-5$（分），$80-80=0$（分），$87-80=+7$（分）
（2）先计算14个新成绩的和，再求平均偏差，最后计算实际平均成绩：
新成绩总和：$-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)=7$
平均偏差：$7×\dfrac{1}{14}=0.5$（分）
实际平均成绩：$80+0.5=80.5$（分）
【答案】
(1) $-1$分,$+1$分,$+15$分,$+12$分,$-12$分,$-5$分,$0$分,$+13$分,$+5$分,$-15$分,$-8$分,$-5$分,$0$分,$+7$分
(2) $80.5$分
【知识点】
正负数的意义，有理数加减混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合考试成绩的生活情境，考查正负数的实际应用和有理数运算、平均数计算能力，使用基准数法计算平均数可有效简化运算，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
12 有依次排列的3个数:3,9,8,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;第二次进行同样的操作后也产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8;继续依次操作下去.
(1) 第一次操作后,增加的所有新数之和是多少?
(2) 第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
(3) 猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
(1) 第一次操作后,增加的所有新数之和是多少?
(2) 第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
(3) 猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
答案
(1) 第一次操作后增加的新数是6,－1,则 $6+(-1)=5$
(2) 第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为 $3+3+(-10)+9=5$
(3) 猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为5
(2) 第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为 $3+3+(-10)+9=5$
(3) 猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为5
解析
【分析】
本题需结合操作规则逐步计算，再归纳规律求解：
1. 求解第一问时，先对比原数串和第一次操作后的数串，筛选出新增的数，再计算这些数的和即可；
2. 求解第二问时，对比第一次、第二次操作后的数串，筛选出第二次新增的数，再求和；
3. 求解第三问时，观察前两次新增和的计算结果，总结通用规律，即可得到第一百次操作后的新增和。
【解析】
（1）原数串为3,9,8，第一次操作后新数串为3,6,9,-1,8，其中新增的数为6和-1，
新增数之和为：$6+(-1)=5$。
（2）第一次操作后数串为3,6,9,-1,8，第二次操作后新数串为3,3,6,3,9,-10,-1,9,8，其中新增的数为3、3、-10、9，
新增数之和为：$3+3+(-10)+9=5$。
（3）由（1）（2）的计算结果可知，每次操作后新数串比前一次数串增加的所有新数之和恒为5，因此猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是5。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) $\boxed{5}$
(3) $\boxed{5}$
【知识点】
有理数加减混合运算，数字规律探究
【点评】
本题结合数串操作的情境考查运算和推理能力，解题核心是准确筛选每次操作的新增数字，也可通过推导发现“每次新增和等于原数串末项减首项”的通用规律，进一步验证猜想，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
本题需结合操作规则逐步计算，再归纳规律求解：
1. 求解第一问时，先对比原数串和第一次操作后的数串，筛选出新增的数，再计算这些数的和即可；
2. 求解第二问时，对比第一次、第二次操作后的数串，筛选出第二次新增的数，再求和；
3. 求解第三问时，观察前两次新增和的计算结果，总结通用规律，即可得到第一百次操作后的新增和。
【解析】
（1）原数串为3,9,8，第一次操作后新数串为3,6,9,-1,8，其中新增的数为6和-1，
新增数之和为：$6+(-1)=5$。
（2）第一次操作后数串为3,6,9,-1,8，第二次操作后新数串为3,3,6,3,9,-10,-1,9,8，其中新增的数为3、3、-10、9，
新增数之和为：$3+3+(-10)+9=5$。
（3）由（1）（2）的计算结果可知，每次操作后新数串比前一次数串增加的所有新数之和恒为5，因此猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是5。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) $\boxed{5}$
(3) $\boxed{5}$
【知识点】
有理数加减混合运算，数字规律探究
【点评】
本题结合数串操作的情境考查运算和推理能力，解题核心是准确筛选每次操作的新增数字，也可通过推导发现“每次新增和等于原数串末项减首项”的通用规律，进一步验证猜想，整体解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
