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6.一个多边形的内角和是外角和的4倍,则这个多边形是 （
A.七边形
B.八边形
C.九边形
D.十边形
D
）A.七边形
B.八边形
C.九边形
D.十边形
答案
D
解析
【分析】
首先我们需要明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和都是固定的360°，二是n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且为整数）。已知内角和是外角和的4倍，我们可以设多边形的边数为n，根据等量关系列方程求解边数n，即可判断多边形的类型。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
1. 先计算该多边形的内角和：任意多边形外角和为360°，由题意得内角和为$4×360°=1440°$。
2. 根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1440°$
3. 解方程：
两边同时除以180°得：$n-2=8$
移项得：$n=10$
所以这个多边形是十边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和与外角和的基础应用题，解题的关键是牢记多边形外角和恒为360°，结合内角和公式建立方程求解，掌握基础公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先我们需要明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和都是固定的360°，二是n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且为整数）。已知内角和是外角和的4倍，我们可以设多边形的边数为n，根据等量关系列方程求解边数n，即可判断多边形的类型。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
1. 先计算该多边形的内角和：任意多边形外角和为360°，由题意得内角和为$4×360°=1440°$。
2. 根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1440°$
3. 解方程：
两边同时除以180°得：$n-2=8$
移项得：$n=10$
所以这个多边形是十边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和与外角和的基础应用题，解题的关键是牢记多边形外角和恒为360°，结合内角和公式建立方程求解，掌握基础公式就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7.如图,将正五边形纸片ABCDE折叠,使点B与点E重合,折痕为AM,展开后,再将纸片折叠,使边AB落在线段AM上,点B的对应点为点B',折痕为AF,则∠AFB'的度数为
一练一得
折叠(轴对称)可得对应线段相等、对应角相等,进而能判定全等或进行角度计算.
45°
.一练一得
折叠(轴对称)可得对应线段相等、对应角相等,进而能判定全等或进行角度计算.
答案
45°
解析
【分析】解题思路如下：第一步先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；第二步结合第一次折叠的轴对称性质，得出折痕AM是∠BAE的角平分线，计算出∠BAM的度数；第三步结合第二次折叠的轴对称性质，得出折痕AF是∠BAM的角平分线，同时得到∠AB'F与原∠B相等，最后利用三角形内角和定理计算出∠AFB'的度数。
【解析】
1. 计算正五边形内角：根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，因此$∠ B=∠ BAE=108°$。
2. 第一次折叠性质应用：点B与点E重合，折痕AM为∠BAE的角平分线，因此$∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAE=\frac{1}{2}×108°=54°$。
3. 第二次折叠性质应用：AB落在线段AM上，折痕AF为∠BAM的角平分线，且对应角相等，因此$∠ FAB'=\frac{1}{2}∠ BAM=27°$，$∠ AB'F=∠ B=108°$。
4. 三角形内角和计算：在$△ AFB'$中，$∠ AFB'=180°-∠ FAB'-∠ AB'F=180°-27°-108°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
多边形内角和；折叠的性质；三角形内角和
【点评】本题综合考查正多边形角度计算和轴对称的性质，解题核心是抓住折叠前后对应角相等、折痕为对应角的角平分线这一特点，结合三角形内角和定理即可求解。
【难度系数】
0.65
【解析】
1. 计算正五边形内角：根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，因此$∠ B=∠ BAE=108°$。
2. 第一次折叠性质应用：点B与点E重合，折痕AM为∠BAE的角平分线，因此$∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAE=\frac{1}{2}×108°=54°$。
3. 第二次折叠性质应用：AB落在线段AM上，折痕AF为∠BAM的角平分线，且对应角相等，因此$∠ FAB'=\frac{1}{2}∠ BAM=27°$，$∠ AB'F=∠ B=108°$。
4. 三角形内角和计算：在$△ AFB'$中，$∠ AFB'=180°-∠ FAB'-∠ AB'F=180°-27°-108°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
多边形内角和；折叠的性质；三角形内角和
【点评】本题综合考查正多边形角度计算和轴对称的性质，解题核心是抓住折叠前后对应角相等、折痕为对应角的角平分线这一特点，结合三角形内角和定理即可求解。
【难度系数】
0.65
8.阅读小明和小红的对话，解答下列问题.
(1)这个“多加的锐角”的度数是
(2)小明求的是几边形的内角和?
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角的度数是
(1)这个“多加的锐角”的度数是
30°
.(2)小明求的是几边形的内角和?
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角的度数是
30°
.答案
(1)$30°$
(2)设这个多边形的边数为n.
由题意,得$(n-2)×180°=1800°$,解得$n=12$.
因此,小明求的是十二边形的内角和.
(3)$30°$
(2)设这个多边形的边数为n.
由题意,得$(n-2)×180°=1800°$,解得$n=12$.
因此,小明求的是十二边形的内角和.
(3)$30°$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握多边形内角和的特征：n边形内角和为$(n-2)×180°$，因此内角和一定是$180°$的整数倍。首先将$1830°$除以$180°$，所得余数就是多加的锐角（因为多加的角是小于$90°$的锐角，和余数范围一致）；再用减去多余角度后的正确内角和代入公式，即可求出多边形的边数；最后利用正多边形外角和恒为$360°$，且每个外角度数相等，就能求出单个外角的度数。
【解析】
(1) 计算$1830°$除以$180°$的商和余数：
$1830÷180=10······30$，即$1830°=10×180°+30°$。
由于多边形内角和是$180°$的整数倍，且多加的角为锐角，因此多加的锐角为$30°$。
(2) 该多边形正确的内角和为：$1830°-30°=1800°$。
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1800°$
解得$n-2=10$，$n=12$。
(3) 任意多边形的外角和均为$360°$，正十二边形的每个外角大小相等，因此一个外角的度数为：
$360°÷12=30°$
【答案】
(1)$30°$
(2)十二边形
(3)$30°$
【知识点】
多边形内角和定理，多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题属于多边形的基础应用类题目，解题的突破口是抓住内角和为$180°$整数倍的特点，结合题干给出的“多加了一个锐角”的条件快速定位多余的角度，后续代入公式计算即可，考查对基础公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握多边形内角和的特征：n边形内角和为$(n-2)×180°$，因此内角和一定是$180°$的整数倍。首先将$1830°$除以$180°$，所得余数就是多加的锐角（因为多加的角是小于$90°$的锐角，和余数范围一致）；再用减去多余角度后的正确内角和代入公式，即可求出多边形的边数；最后利用正多边形外角和恒为$360°$，且每个外角度数相等，就能求出单个外角的度数。
【解析】
(1) 计算$1830°$除以$180°$的商和余数：
$1830÷180=10······30$，即$1830°=10×180°+30°$。
由于多边形内角和是$180°$的整数倍，且多加的角为锐角，因此多加的锐角为$30°$。
(2) 该多边形正确的内角和为：$1830°-30°=1800°$。
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180°=1800°$
解得$n-2=10$，$n=12$。
(3) 任意多边形的外角和均为$360°$，正十二边形的每个外角大小相等，因此一个外角的度数为：
$360°÷12=30°$
【答案】
(1)$30°$
(2)十二边形
(3)$30°$
【知识点】
多边形内角和定理，多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题属于多边形的基础应用类题目，解题的突破口是抓住内角和为$180°$整数倍的特点，结合题干给出的“多加了一个锐角”的条件快速定位多余的角度，后续代入公式计算即可，考查对基础公式的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
