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由特殊到一般的规律探究
观察,是思维的起点!观察与实验,是科学研究的基本方法.数学虽属抽象科学,但没有对具体实例的观察、对特殊情况的分析,就难以抽象出普遍规律,更无法推动理论的突破.同学们在遇到问题时,一定要仔细观察,深入分析!
(1)【观察探究】
①观察图形和表格,并用含$n$的代数式将表格填写完整.
多边形的顶点数 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | $n$
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
从一个顶点出发的对角线的条数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | $\frac{n(n-3)}{2}$？不对，等下，从一个顶点出发的对角线是$n-3$，总条数是$\frac{n(n-3)}{2}$，不过表格里的空，从一个顶点出发的对角线的条数那行最后是，总条数最后是。哦，不对，按图里的，从一个顶点出发的对角线的条数，n边形的话是$n-3$，总条数是$\frac{n(n-3)}{2}$，不过先按图里的内容，图里的表格：
从一个顶点出发的对角线的条数那行，5对应的是2，6对应的是，所以空的是$n-3$；总条数那行最后是$\frac{n(n-3)}{2}$。
然后下面的图形是
②我们知道:三角形的内角和为$180°$.依此结论和上图完成下表.
多边形 | 三角形 | 四边形 | 五边形 | … | $n$边形
--- | --- | --- | --- | --- | ---
多边形的内角和 | $180°$ | $360°$ | $540°$ | … | $(n-2)×180°$
(2)【类比探究】
小明同学在查阅数学家高斯的资料时,知道了高斯求$1+2+3+\dots+99+100$的方法,爱探索的他,对从1开始的连续奇数的和进行了探究,发现如下式子:第1个等式:$1=1^2$;第2个等式:$1+3=2^2$;第3个等式:$1+3+5=3^2$……
请你根据其中的规律计算:$51+53+55+\dots+97+99$.
观察,是思维的起点!观察与实验,是科学研究的基本方法.数学虽属抽象科学,但没有对具体实例的观察、对特殊情况的分析,就难以抽象出普遍规律,更无法推动理论的突破.同学们在遇到问题时,一定要仔细观察,深入分析!
(1)【观察探究】
①观察图形和表格,并用含$n$的代数式将表格填写完整.
多边形的顶点数 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | $n$
--- | --- | --- | --- | --- | --- | ---
从一个顶点出发的对角线的条数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | $\frac{n(n-3)}{2}$？不对，等下，从一个顶点出发的对角线是$n-3$，总条数是$\frac{n(n-3)}{2}$，不过表格里的空，从一个顶点出发的对角线的条数那行最后是，总条数最后是。哦，不对，按图里的，从一个顶点出发的对角线的条数，n边形的话是$n-3$，总条数是$\frac{n(n-3)}{2}$，不过先按图里的内容，图里的表格：
从一个顶点出发的对角线的条数那行，5对应的是2，6对应的是，所以空的是$n-3$；总条数那行最后是$\frac{n(n-3)}{2}$。
然后下面的图形是
②我们知道:三角形的内角和为$180°$.依此结论和上图完成下表.
多边形 | 三角形 | 四边形 | 五边形 | … | $n$边形
--- | --- | --- | --- | --- | ---
多边形的内角和 | $180°$ | $360°$ | $540°$ | … | $(n-2)×180°$
(2)【类比探究】
小明同学在查阅数学家高斯的资料时,知道了高斯求$1+2+3+\dots+99+100$的方法,爱探索的他,对从1开始的连续奇数的和进行了探究,发现如下式子:第1个等式:$1=1^2$;第2个等式:$1+3=2^2$;第3个等式:$1+3+5=3^2$……
请你根据其中的规律计算:$51+53+55+\dots+97+99$.
答案
(1)①从一个顶点出发的对角线的条数为$n-3$，n边形对角线总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$
②n边形内角和为$(n-2)×180°$
(2)$51+53+55+\dots+97+99=(1+3+5+\dots+97+99)-(1+3+5+\dots+47+49)=50^2-25^2=1875$.
②n边形内角和为$(n-2)×180°$
(2)$51+53+55+\dots+97+99=(1+3+5+\dots+97+99)-(1+3+5+\dots+47+49)=50^2-25^2=1875$.
解析
【分析】
(1) ①先观察表格特殊值找规律：4边形从一个顶点出发对角线1条（1=4-3），5边形对应2条（2=5-3），6边形对应3条（3=6-3），由此可归纳n边形从一个顶点出发的对角线条数；计算总条数时，注意每条对角线会被两个顶点各统计一次，因此要除以2。
②观察内角和特殊值：三角形内角和180°=(3-2)×180°，四边形360°=(4-2)×180°，五边形540°=(5-2)×180°，由此归纳n边形内角和公式。
(2) 先根据给出的等式总结规律：前k个连续正奇数的和为k²。所求的51~99的连续奇数和，可转化为“1~99的所有连续奇数和”减去“1~49的所有连续奇数和”，再套用规律计算即可。
【解析】
(1) ①观察表格数据可得：
顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线条数=4-3=1；
顶点数为5时，对应条数=5-3=2；
顶点数为6时，对应条数=6-3=3；
……
因此n边形从一个顶点出发的对角线的条数为$n-3$。
n个顶点共可连出$n(n-3)$条对角线，每条对角线被2个顶点各统计1次，因此总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
②观察内角和数据可得：
3边形内角和=$(3-2)×180°=180°$；
4边形内角和=$(4-2)×180°=360°$；
5边形内角和=$(5-2)×180°=540°$；
……
因此n边形内角和为$(n-2)×180°$。
(2) 根据规律可知：前k个连续正奇数的和为$k^2$。
1~99共有50个连续奇数（99=2×50-1），因此$1+3+5+\dots+99=50^2$；
1~49共有25个连续奇数（49=2×25-1），因此$1+3+5+\dots+49=25^2$；
则$51+53+55+\dots+97+99=(1+3+5+\dots+99)-(1+3+5+\dots+49)=50^2-25^2=2500-625=1875$。
【答案】
(1)①$n-3$；$\frac{1}{2}n(n-3)$ ②$(n-2)×180°$
(2)$1875$
【知识点】
多边形对角线规律；多边形内角和；数字规律探究
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题时先通过特殊值总结普遍规律，再利用规律解决问题；对于区间内的规律求和问题，可通过整体作差的方法转化为已知规律的形式简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) ①先观察表格特殊值找规律：4边形从一个顶点出发对角线1条（1=4-3），5边形对应2条（2=5-3），6边形对应3条（3=6-3），由此可归纳n边形从一个顶点出发的对角线条数；计算总条数时，注意每条对角线会被两个顶点各统计一次，因此要除以2。
②观察内角和特殊值：三角形内角和180°=(3-2)×180°，四边形360°=(4-2)×180°，五边形540°=(5-2)×180°，由此归纳n边形内角和公式。
(2) 先根据给出的等式总结规律：前k个连续正奇数的和为k²。所求的51~99的连续奇数和，可转化为“1~99的所有连续奇数和”减去“1~49的所有连续奇数和”，再套用规律计算即可。
【解析】
(1) ①观察表格数据可得：
顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线条数=4-3=1；
顶点数为5时，对应条数=5-3=2；
顶点数为6时，对应条数=6-3=3；
……
因此n边形从一个顶点出发的对角线的条数为$n-3$。
n个顶点共可连出$n(n-3)$条对角线，每条对角线被2个顶点各统计1次，因此总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$。
②观察内角和数据可得：
3边形内角和=$(3-2)×180°=180°$；
4边形内角和=$(4-2)×180°=360°$；
5边形内角和=$(5-2)×180°=540°$；
……
因此n边形内角和为$(n-2)×180°$。
(2) 根据规律可知：前k个连续正奇数的和为$k^2$。
1~99共有50个连续奇数（99=2×50-1），因此$1+3+5+\dots+99=50^2$；
1~49共有25个连续奇数（49=2×25-1），因此$1+3+5+\dots+49=25^2$；
则$51+53+55+\dots+97+99=(1+3+5+\dots+99)-(1+3+5+\dots+49)=50^2-25^2=2500-625=1875$。
【答案】
(1)①$n-3$；$\frac{1}{2}n(n-3)$ ②$(n-2)×180°$
(2)$1875$
【知识点】
多边形对角线规律；多边形内角和；数字规律探究
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题时先通过特殊值总结普遍规律，再利用规律解决问题；对于区间内的规律求和问题，可通过整体作差的方法转化为已知规律的形式简化计算。
【难度系数】
0.7
