1. 下列选项中的点，在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的是 （）

A.$P_1(1,-4)$
B.$P_2(4,-1)$
C.$P_3(2,4)$
D.$P_4(2\sqrt{2},\sqrt{2})$

1. D

【分析】要判断一个点是否在反比例函数图象上，只需验证该点的横、纵坐标是否满足函数解析式。对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，可变形为$xy=k$，因此只要计算各选项中点的横、纵坐标的乘积，若乘积等于$k=4$，则该点在函数图象上，反之则不在。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，变形可得$xy=4$，即图象上任意一点的横、纵坐标乘积为4，逐一验证选项：
选项A：$1×(-4)=-4≠4$，故$P_1$不在函数图象上；
选项B：$4×(-1)=-4≠4$，故$P_2$不在函数图象上；
选项C：$2×4=8≠4$，故$P_3$不在函数图象上；
选项D：$2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=2×2=4$，满足$xy=4$，故$P_4$在函数图象上。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握“点在图象上则点的坐标满足解析式”的规律，通过代入计算或变形后验证乘积的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 如图，一次函数$y_1=k_1x+b(k_1＞0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＞0)$的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为-2，当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是 （）

A.$x＜-2$或$x＞1$
B.$x＜-2$或$0＜x＜1$
C.$-2＜x＜0$或$x＞1$
D.$-2＜x＜0$或$0＜x＜1$

第2题 第3题 第4题

2. B

【分析】
要判断$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的横坐标范围，需结合两个函数的交点横坐标，分$x＞0$和$x＜0$两个区间讨论（反比例函数$x≠0$，无意义）：①先看$x＞0$的区域，结合交点A的横坐标1，观察图象上下位置；②再看$x＜0$的区域，结合交点B的横坐标-2，观察图象上下位置，最后合并区间即可。
【解析】
$y_1＜y_2$的几何意义是：相同横坐标下，一次函数图象在反比例函数图象的下方。
1. 当$x＞0$时，两函数交点A的横坐标为1，观察图象可得：当$0＜x＜1$时，一次函数图象位于反比例函数下方，满足$y_1＜y_2$；
2. 当$x＜0$时，两函数交点B的横坐标为-2，观察图象可得：当$x＜-2$时，一次函数图象位于反比例函数下方，满足$y_1＜y_2$；
$x=0$时反比例函数无意义，不纳入取值范围。
综上，$y_1＜y_2$时$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；反比例函数的图象；函数不等式的图象解法
【点评】
本题利用数形结合思想判断函数值大小，解题关键是结合交点横坐标分区间判断两个函数的上下位置，注意不要忽略反比例函数自变量$x≠0$的限制条件。
【难度系数】
0.7

3. 如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是（）

A.3
B.4
C.5
D.6

3. B

【分析】
解题时首先结合正方形的性质确定各顶点坐标的关联：已知正方形边长AB=2，A、B在y轴上，因此BC、AD均为水平线段，长度为2。我们可以设出B点纵坐标，进而表示出C点和E点的坐标，再根据反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于定值k，列方程求解即可得到k的值。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AB=BC=AD=2，AD//BC，且AD、BC均与y轴垂直。
设点B的坐标为(0, m)，则点A坐标为(0, m+2)，
点C的横坐标等于BC的长度2，纵坐标与B相同，故C(2, m)；
点D坐标为(2, m+2)，
∵E是AD的中点，AD两点横坐标为0和2、纵坐标均为m+2，
∴E点坐标为(1, m+2)。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过C、E两点，
∴两点的横纵坐标乘积均等于k，即：
$k=2× m$，且$k=1× (m+2)$
联立得方程：$2m = m+2$，解得$m=2$，
代入$k=2m$得$k=2×2=4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的基础综合题，解题核心是利用正方形的性质准确表示出相关点的坐标，再结合反比例函数k的定值特征列方程计算，掌握平面直角坐标系中特殊图形的坐标规律是解题关键。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$△ ABC$是等腰三角形，$AB$过原点$O$，底边$BC// x$轴，双曲线$y=\frac{k}{x}$过$A$，$B$两点，过点$C$作$CD// y$轴交双曲线于点$D$。若$S_{△ BCD}=12$，则$k$的值是（）

A.$-6$
B.$-12$
C.$-\frac{9}{2}$
D.$-9$

4. C

【分析】
首先利用反比例函数和过原点直线的对称性，可知A、B两点关于原点中心对称，可通过设参数表示A、B坐标；再结合等腰三角形底边BC平行x轴的性质，推导出C点坐标；接着根据CD平行y轴得到D点坐标；最后利用直角三角形面积公式建立关于k的方程，求解即可得到k值，计算过程中参数会自然抵消，无需单独求解参数。
【解析】
设点B的坐标为$(t,\frac{k}{t})$（$t＞0$）：
1. 因为AB过原点，且A、B都在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以A、B关于原点对称，得A点坐标为$(-t,-\frac{k}{t})$。
2. 由于$BC// x$轴，$△ ABC$是等腰三角形且底边为BC，因此A在BC的垂直平分线上，BC中点的横坐标等于A的横坐标$-t$。设C点横坐标为$x_C$，由中点坐标公式得$\frac{t+x_C}{2}=-t$，解得$x_C=-3t$，故C点坐标为$(-3t,\frac{k}{t})$。
3. 因为$CD// y$轴，D在双曲线上，所以D点横坐标为$-3t$，代入$y=\frac{k}{x}$得D点纵坐标为$\frac{k}{-3t}=-\frac{k}{3t}$，即$D(-3t,-\frac{k}{3t})$。
4. 计算线段长度：$BC=t-(-3t)=4t$，$CD=y_D-y_C=-\frac{k}{3t}-\frac{k}{t}=-\frac{4k}{3t}$。
5. 由$BC// x$轴、$CD// y$轴可知$∠ BCD=90°$，则$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× CD=12$，代入得：
$\frac{1}{2}×4t×(-\frac{4k}{3t})=12$
约去$t$化简得$-\frac{8k}{3}=12$，解得$k=-\frac{9}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形面积计算
【点评】
本题将反比例函数与等腰三角形结合，核心是利用对称性和几何性质表示各点坐标，通过参数法建立面积方程求解，计算中参数自动抵消，无需额外求解参数，是反比例函数综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6

5. 某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)的函数表达式为$I=\frac{48}{R}$。当R=12 Ω时，I的值为A.

5. 4

【分析】本题已知电流I与电阻R的反比例函数表达式，要求指定电阻下的电流值，解题思路非常清晰：直接将给出的电阻R的取值代入函数表达式，通过除法运算就能得到对应的电流I的数值。
【解析】解：已知电流与电阻的函数表达式为$I=\frac{48}{R}$，将$R=12\ \Omega$代入该表达式中：
$I=\frac{48}{12}=4\ (\mathrm{A})$
【答案】4
【知识点】反比例函数求值；代入法求函数值
【点评】本题是基础考查题，主要检验代入求值的基本运算能力，计算量小，只要认真代入数值计算基本不会出错。
【难度系数】0.9

6. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若$△ ODE$的面积为3，则k的值为。

6. 4

【分析】
解题时我们可以先设出矩形顶点B的坐标，结合中点性质、反比例函数解析式表示出D、E两点的坐标，再利用割补法，用矩形OABC的面积减去周围3个直角三角形的面积，得到△ODE的面积表达式，最后结合反比例函数k的几何意义代入计算即可求出k的值。
【解析】
设点B的坐标为$(a,b)$，则矩形OABC中，$A(0,b)$，$C(a,0)$，$AB=a$，$BC=b$。
∵D是AB的中点，
∴$D(\frac{a}{2},b)$。
∵点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=\frac{a}{2} · b$，即$ab=2k$。
∵点E在BC边上，BC上所有点横坐标均为a，将$x=a$代入$y=\frac{k}{x}$，得$y=\frac{k}{a}$，
∴$E(a,\frac{k}{a})$。
用割补法计算△ODE的面积：
$S_{△ ODE}=S_{矩形OABC}-S_{△ OAD}-S_{△ OCE}-S_{△ DBE}$
分别计算各部分面积：
$S_{矩形OABC}=ab$，
$S_{△ OAD}=\frac{1}{2} · OA · AD=\frac{1}{2} · b · \frac{a}{2}=\frac{ab}{4}$，
$S_{△ OCE}=\frac{1}{2} · OC · CE=\frac{1}{2} · a · \frac{k}{a}=\frac{k}{2}$，
$S_{△ DBE}=\frac{1}{2} · BD · BE=\frac{1}{2} · \frac{a}{2} · (b-\frac{k}{a})=\frac{ab-k}{4}$。
将上述面积代入$S_{△ ODE}=3$：
$ab-\frac{ab}{4}-\frac{k}{2}-\frac{ab-k}{4}=3$
化简得：$\frac{ab}{2}-\frac{k}{4}=3$
把$ab=2k$代入上式：$\frac{2k}{2}-\frac{k}{4}=3$，即$\frac{3k}{4}=3$，解得$k=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，割补法求面积，矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，将坐标与几何图形的边长结合，利用割补法转化不规则三角形的面积是解题的关键，能有效考查数形结合思想和代数运算能力。
【难度系数】
0.6

7. 如图,已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$P(2,3)$,与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象在第一象限交于点$Q(m,n)$.若一次函数$y$的值随$x$值的增大而增大,则$m$的取值范围是.

7. $\frac{2}{3}＜m＜2$

【分析】
解题思路可从已知条件逐步推导：首先，点Q是一次函数与反比例函数的交点，因此Q的坐标同时满足两个函数解析式；其次，一次函数过点P(2,3)且随x增大而增大，即斜率k＞0。我们可以先将Q点坐标用反比例函数表示，再代入一次函数解析式，用m表示出k，结合k＞0和第一象限m＞0的条件列不等式求解；也可以通过临界情况快速判断：当k趋近于0时，一次函数近似水平直线y=3，与反比例交点横坐标为2/3；当k趋近于无穷大时，一次函数近似竖直线x=2，交点横坐标趋近于2，结合k＞0的条件即可得到m的范围。
【解析】
1. 因为点$Q(m,n)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$上，所以$n=\frac{2}{m}$，即$Q(m,\frac{2}{m})$，且$m＞0$（第一象限横坐标为正）。
2. 一次函数$y=kx+b$经过点$P(2,3)$，代入得：$3=2k+b$，整理得$b=3-2k$，因此一次函数解析式为$y=kx+3-2k$。
3. 点$Q$在一次函数图象上，将$Q(m,\frac{2}{m})$代入一次函数得：
$\frac{2}{m}=km+3-2k$
移项整理得：$k(m^2-2m)=2-3m$，即$k=\frac{2-3m}{m^2-2m}$。
4. 因为一次函数$y$随$x$增大而增大，所以$k＞0$，即$\frac{2-3m}{m^2-2m}＞0$。
分母因式分解得：$\frac{2-3m}{m(m-2)}＞0$，结合$m＞0$：
若$m＞2$，则分母$m(m-2)＞0$，需分子$2-3m＞0$即$m＜\frac{2}{3}$，矛盾，舍去；
若$0＜m＜2$，则分母$m(m-2)＜0$，需分子$2-3m＜0$即$m＞\frac{2}{3}$。
综上，$m$的取值范围是$\frac{2}{3}＜m＜2$。
【答案】
$\frac{2}{3}＜m＜2$
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，函数交点问题
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的核心是利用函数交点的坐标特征，结合一次函数的增减性建立不等式求解，也可通过数形结合分析临界情况快速得到答案，能有效考查学生的逻辑推导和数形结合能力。
【难度系数】
0.6