9. 墨墨在妈妈生日当天购买了一个足浴盆作为生日礼物送给妈妈. 墨墨妈妈在使用该足浴盆泡脚时,最初注入的水的温度是$25°\mathrm{C}$,加热6 min后,水温达到最高温度$40°\mathrm{C}$,然后该足浴盆自动停止加热进行保温,设定保温过程中,水温的最低温度不低于$30°\mathrm{C}$,当水温降至$30°\mathrm{C}$时,该足浴盆又会再次自动加热,以此循环.加热时,温度$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\mathrm{min})$成一次函数关系;保温时,温度$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\mathrm{min})$成反比例函数关系,第一个加热和保温过程如图所示.
(1) 分别求出该足浴盆在第一个加热和保温过程中$y$与$x$的函数关系,并且写出自变量$x$的取值范围;
(2) 墨墨妈妈在使用时,决定当水温不低于$30°\mathrm{C}$时,才使用该足浴盆泡脚.若墨墨妈妈泡脚的时间为30 min,则该足浴盆加热了几次?

9. (1) 设一次函数的解析式为$y=kx+b$,$\because$ 经过点$(0,25)$,$(6,40)$,$\therefore \begin{cases} b=25,\\ 6k+b=40, \end{cases}$ 解得:$k=\frac{5}{2}$,$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=\frac{5}{2}x+25(0≤ x≤ 6)$;设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$,$\because$ 经过点$(6,40)$,$\therefore k=6×40=240$,$\therefore y=\frac{240}{x}(x＞6)$;
(2) 令$y=\frac{5}{2}x+25=30$,解得:$x=2$;令$y=\frac{240}{x}=30$,解得:$x=8$,所以一次加温能保持$8-2=6(\mathrm{min})$ $30\ °\mathrm{C}$以上,所以$30÷ 6=5$次,$\therefore$ 若墨墨妈妈泡脚的时间为$30\ \mathrm{min}$,则该足浴盆加热了5次.

【分析】
本题分为两小问求解：(1)首先明确加热阶段为一次函数关系，保温阶段为反比例函数关系。加热阶段已知函数过点(0,25)和(6,40)，用待定系数法代入一次函数一般式即可求出解析式，同时确定自变量取值范围；保温阶段已知函数过点(6,40)，代入反比例函数一般式求出系数即可得到对应解析式，对应自变量为加热结束后的时间。(2)先分别求出加热阶段水温达到30℃的时间，以及保温阶段水温降到30℃的时间，计算出单次加热后水温不低于30℃的可用时长，再用总泡脚时长除以单次可用时长即可得到加热次数。
【解析】
(1) 设加热阶段一次函数的解析式为$y=kx+b$，
$\because$ 函数图象经过点$(0,25)$，$(6,40)$，
$\therefore$ 代入得$\begin{cases} b=25\\ 6k+b=40 \end{cases}$，
解得$k=\frac{5}{2}$，$b=25$，
$\therefore$ 加热阶段的函数关系为$y=\frac{5}{2}x+25$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 6$；
设保温阶段反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$，
$\because$ 函数图象经过点$(6,40)$，
$\therefore$ 代入得$k=6×40=240$，
$\therefore$ 保温阶段的函数关系为$y=\frac{240}{x}$，自变量$x$的取值范围是$x＞6$。
(2) 先求加热阶段水温达到$30{°}\mathrm{C}$的时间：令$y=\frac{5}{2}x+25=30$，解得$x=2$；
再求保温阶段水温降到$30{°}\mathrm{C}$的时间：令$y=\frac{240}{x}=30$，解得$x=8$；
即单次加热后，水温不低于$30{°}\mathrm{C}$的时长为$8-2=6(\mathrm{min})$，
总泡脚时长为30min，因此加热次数为$30÷6=5$次。
【答案】
(1) 加热过程：$\boldsymbol{y=\frac{5}{2}x+25(0≤ x≤6)}$，保温过程：$\boldsymbol{y=\frac{240}{x}(x＞6)}$；
(2) $\boldsymbol{5}$次
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查函数的应用，解题的核心是准确提取图象中的关键点坐标，利用待定系数法求出对应函数解析式，再结合函数性质求解实际问题，需要注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7

10. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=mx+n$的图象相交于$A(a,-1),B(-1,3)$两点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点$N(t,0)$是x轴正半轴上的一个动点，过点N作$NM⊥ x$轴交反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象于点M，连接CN，OM.若$S_{四边形COMN}＞3$，求t的取值范围.

10. (1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=mx+n$的图象相交于$A(a,-1)$,$B(-1,3)$两点,$\therefore k=-1× 3=a× (-1)$,$\therefore k=-3$,$a=3$,$\therefore$ 点$A(3,-1)$,反比例函数的解析式为$y=\frac{-3}{x}$.由题意可得:$\begin{cases} 3=-m+n,\\ -1=3m+n, \end{cases}$ 解得:$\begin{cases} m=-1,\\ n=2, \end{cases}$ $\therefore$ 一次函数解析式为$y=-x+2$;
(2) $\because$ 直线$AB$交$y$轴于点$C$,$\therefore$ 点$C(0,2)$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}COMN}=S_{△ OMN}+S_{△ OCN}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}× 2× t$.$\because S_{\mathrm{四边形}COMN}＞3$,$\therefore \frac{3}{2}+\frac{1}{2}× 2× t＞3$,$\therefore t＞\frac{3}{2}$.

【分析】
（1）本题使用待定系数法求解函数解析式：首先将已知点B代入反比例函数表达式，即可求出k值，得到反比例函数解析式；再将点A代入反比例解析式求出a的值，得到点A的完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组就能得到一次函数的系数，进而得到一次函数解析式。
（2）先求出直线AB与y轴交点C的坐标，观察四边形COMN的结构，可将其拆分为△OCN和△OMN两个部分分别计算面积：△OMN的面积可利用反比例函数中|k|的几何意义直接求出，△OCN的面积用底乘高公式计算，两者相加得到四边形面积的表达式，再根据面积大于3的条件列不等式求解，即可得到t的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$B(-1,3)$，
∴ $k = -1×3 = -3$，即反比例函数解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
又
∵ 点$A(a,-1)$在反比例函数图象上，
∴ $-1 = \frac{-3}{a}$，解得$a=3$，即点A坐标为$(3,-1)$。
将$A(3,-1)$、$B(-1,3)$代入一次函数$y=mx+n$得：
$\begin{cases} 3=-m+n \\ -1=3m+n \end{cases}$
两式相减得$-4=4m$，解得$m=-1$，将$m=-1$代入$3=-m+n$，解得$n=2$，
∴ 一次函数解析式为$y=-x+2$。
(2) 对于一次函数$y=-x+2$，令$x=0$，得$y=2$，
∴ 点C坐标为$(0,2)$，即$OC=2$。
∵ $NM⊥x$轴交反比例函数于点M，点$N(t,0)$（$t＞0$），
根据反比例函数$k$的几何意义，$S_{△ OMN}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$；
$S_{△ OCN}=\frac{1}{2}× OC × ON=\frac{1}{2}×2× t = t$。
∴ $S_{四边形COMN}=S_{△ OMN}+S_{△ OCN}=\frac{3}{2}+t$。
由题意$S_{四边形COMN}＞3$，即$\frac{3}{2}+t＞3$，
解得$t＞\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x+2}$；
(2) $\boldsymbol{t＞\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了函数交点的性质、不规则图形面积的拆分计算方法，结合不等式求参数取值范围是函数部分的常见考法，掌握待定系数法和反比例函数k的几何意义即可快速解题。
【难度系数】
0.7