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6. (2025·成都)从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值,则关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$有实数根的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
6. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程根的判定与概率计算的综合题，解题思路可分为三步：第一步，先确定从三个数中任取两个分别作为a、b的所有等可能结果，注意a、b为不同取值，且作为一元二次方程的二次项系数，a不能为0（本题给出的数均不为0，无需额外排除a=0的情况）；第二步，根据一元二次方程有实数根的条件：判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$（本题中$c=1$，即$\Delta=b^2-4a≥0$），逐一筛选出满足条件的$(a,b)$组合；第三步，用满足条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：从$-1,1,2$三个数中任取两个分别作为$a$、$b$的值，所有等可能的结果有：
$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$，共6种。
关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为：
① $a≠0$（本题所有$a$的取值均满足）；
② 判别式$\Delta=b^2-4a×1 = b^2-4a ≥ 0$。
逐一验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2-4×(-1)=5≥0$，符合条件；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×(-1)=8≥0$，符合条件；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×1=-3＜0$，不符合条件；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×1=0≥0$，符合条件；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×2=-7＜0$，不符合条件；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2-4×2=-7＜0$，不符合条件。
综上，符合条件的结果共有3种，
因此$P(\mathrm{方程有实数根})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式，列举法求概率，一元二次方程的定义
【点评】
本题综合考察了一元二次方程的相关性质和概率的计算，解题时要注意先明确一元二次方程的成立条件，再结合判别式筛选符合要求的情况，枚举所有等可能结果时要做到不重不漏，避免因计数错误导致概率计算出错。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程根的判定与概率计算的综合题，解题思路可分为三步：第一步，先确定从三个数中任取两个分别作为a、b的所有等可能结果，注意a、b为不同取值，且作为一元二次方程的二次项系数，a不能为0（本题给出的数均不为0，无需额外排除a=0的情况）；第二步，根据一元二次方程有实数根的条件：判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$（本题中$c=1$，即$\Delta=b^2-4a≥0$），逐一筛选出满足条件的$(a,b)$组合；第三步，用满足条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：从$-1,1,2$三个数中任取两个分别作为$a$、$b$的值，所有等可能的结果有：
$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$，共6种。
关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有实数根的条件为：
① $a≠0$（本题所有$a$的取值均满足）；
② 判别式$\Delta=b^2-4a×1 = b^2-4a ≥ 0$。
逐一验证：
1. 当$a=-1,b=1$时，$\Delta=1^2-4×(-1)=5≥0$，符合条件；
2. 当$a=-1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×(-1)=8≥0$，符合条件；
3. 当$a=1,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×1=-3＜0$，不符合条件；
4. 当$a=1,b=2$时，$\Delta=2^2-4×1=0≥0$，符合条件；
5. 当$a=2,b=-1$时，$\Delta=(-1)^2-4×2=-7＜0$，不符合条件；
6. 当$a=2,b=1$时，$\Delta=1^2-4×2=-7＜0$，不符合条件。
综上，符合条件的结果共有3种，
因此$P(\mathrm{方程有实数根})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
根的判别式，列举法求概率，一元二次方程的定义
【点评】
本题综合考察了一元二次方程的相关性质和概率的计算，解题时要注意先明确一元二次方程的成立条件，再结合判别式筛选符合要求的情况，枚举所有等可能结果时要做到不重不漏，避免因计数错误导致概率计算出错。
【难度系数】
0.6
7. 如图中①所示为一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，$A_1$、$B_1$、$B_2$、…、$D_3$、$D_4$分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口$A_1$处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内。小亮与小涛商定了一个游戏规则：若圆球落入②号槽内，则小亮获胜；若圆球落入③号槽内，则小涛获胜。请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平。
答案
7. 根据树状图
得出共有8种等可能的结果，其中圆球落入②号槽内、圆球落入③号槽内的结果数都是3，∴小亮获胜的概率$P=\frac{3}{8}$，小涛获胜的概率$P=\frac{3}{8}$，
∵$\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$，
∴这个游戏对双方公平。
解析
【分析】
要判断游戏规则是否公平，核心是比较小亮和小涛两人获胜的概率是否相等。圆球下落时每次碰到钉子后向左、向右下落的可能性相等，属于等可能事件，我们可以通过画树状图的方法，列举出圆球下落的所有等可能结果，再分别统计圆球落入②号槽、③号槽的结果数，计算两人获胜的概率后比较大小，即可判断游戏是否公平。
【解析】
首先按照圆球下落的路径绘制树状图：
第一步，从入口$A_1$下落，有2种等可能路径：到$B_1$、到$B_2$；
第二步，从$B_1$下落有2种等可能路径：到$C_1$、到$C_2$，从$B_2$下落有2种等可能路径：到$C_2$、到$C_3$；
第三步，从$C_1$下落有2种等可能路径：到$D_1$（对应①号槽）、到$D_2$（对应②号槽）；从$C_2$下落有2种等可能路径：到$D_2$（对应②号槽）、到$D_3$（对应③号槽）；从$C_3$下落有2种等可能路径：到$D_3$（对应③号槽）、到$D_4$（对应④号槽）。
由树状图可知，一共有$2×2×2=8$种等可能的结果，其中落入②号槽的结果有3种，落入③号槽的结果有3种。
因此小亮获胜的概率$P(小亮胜)=\frac{3}{8}$，小涛获胜的概率$P(小涛胜)=\frac{3}{8}$，二者概率相等，故游戏规则对双方公平。
【答案】
根据树状图得出共有8种等可能的结果，其中圆球落入②号槽内、圆球落入③号槽内的结果数都是3，
∴小亮获胜的概率$P=\frac{3}{8}$，小涛获胜的概率$P=\frac{3}{8}$，
∵$\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$，
∴这个游戏对双方公平。
【知识点】
树状图求概率、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活中的下落实验场景，考查概率知识的实际应用，解题的关键是准确梳理圆球下落的每一步路径，不重不漏地列举出所有等可能结果，再通过比较概率判断游戏公平性，能够锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断游戏规则是否公平，核心是比较小亮和小涛两人获胜的概率是否相等。圆球下落时每次碰到钉子后向左、向右下落的可能性相等，属于等可能事件，我们可以通过画树状图的方法，列举出圆球下落的所有等可能结果，再分别统计圆球落入②号槽、③号槽的结果数，计算两人获胜的概率后比较大小，即可判断游戏是否公平。
【解析】
首先按照圆球下落的路径绘制树状图：
第一步，从入口$A_1$下落，有2种等可能路径：到$B_1$、到$B_2$；
第二步，从$B_1$下落有2种等可能路径：到$C_1$、到$C_2$，从$B_2$下落有2种等可能路径：到$C_2$、到$C_3$；
第三步，从$C_1$下落有2种等可能路径：到$D_1$（对应①号槽）、到$D_2$（对应②号槽）；从$C_2$下落有2种等可能路径：到$D_2$（对应②号槽）、到$D_3$（对应③号槽）；从$C_3$下落有2种等可能路径：到$D_3$（对应③号槽）、到$D_4$（对应④号槽）。
由树状图可知，一共有$2×2×2=8$种等可能的结果，其中落入②号槽的结果有3种，落入③号槽的结果有3种。
因此小亮获胜的概率$P(小亮胜)=\frac{3}{8}$，小涛获胜的概率$P(小涛胜)=\frac{3}{8}$，二者概率相等，故游戏规则对双方公平。
【答案】
根据树状图
得出共有8种等可能的结果，其中圆球落入②号槽内、圆球落入③号槽内的结果数都是3，∴小亮获胜的概率$P=\frac{3}{8}$，小涛获胜的概率$P=\frac{3}{8}$，
∵$\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$，
∴这个游戏对双方公平。
【知识点】
树状图求概率、概率计算、游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活中的下落实验场景，考查概率知识的实际应用，解题的关键是准确梳理圆球下落的每一步路径，不重不漏地列举出所有等可能结果，再通过比较概率判断游戏公平性，能够锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 六一儿童节快到了，某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参与抽奖，抽奖规则如下：
（一）抽奖方案
方案A：从装有2个红球、1个白球（仅颜色不同）的袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金5元，否则，没有奖金，记录颜色后将摸出的球放回袋中；
方案B：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有1,2,3,4,5,6），如果出现5点或6点，则获得奖金15元，否则，没有奖金。
（二）抽奖条件
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次；每满130元，可根据方案B抽奖一次（例如：某顾客购买商品的金额为300元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下3种，根据方案A抽奖3次或方案B抽奖2次或方案A，B各抽奖1次）。
弟弟为班级庆祝儿童节活动购买商品，若你带他在该商场购买商品的金额为260元。
（1）若弟弟只选择根据方案A进行抽奖，求所获奖金为10元的概率；
（2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，你建议弟弟应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由。
（一）抽奖方案
方案A：从装有2个红球、1个白球（仅颜色不同）的袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金5元，否则，没有奖金，记录颜色后将摸出的球放回袋中；
方案B：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面上分别写有1,2,3,4,5,6），如果出现5点或6点，则获得奖金15元，否则，没有奖金。
（二）抽奖条件
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次；每满130元，可根据方案B抽奖一次（例如：某顾客购买商品的金额为300元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下3种，根据方案A抽奖3次或方案B抽奖2次或方案A，B各抽奖1次）。
弟弟为班级庆祝儿童节活动购买商品，若你带他在该商场购买商品的金额为260元。
（1）若弟弟只选择根据方案A进行抽奖，求所获奖金为10元的概率；
（2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，你建议弟弟应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由。
答案
8. (1)
∵ 在该商场购买商品的金额为260元，弟弟只选择根据方案A进行抽奖，
∴ 可以抽奖2次。列表如下：
| | 红 | 红 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,红) | (白,白) |
共有9种等可能的结果，其中两次都摸出红球的结果有4种，
∴ 所获奖金为10元的概率为$\frac{4}{9}$。
(2) 只选择方案B抽奖更合算。理由:由(1)可知，只选择方案A，可抽奖2次，获得5元的概率为$\frac{4}{9}$，获得10元的概率为$\frac{4}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{1}{9}$，
∴ 只选择方案A获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+10×\frac{4}{9}+0×\frac{1}{9}=\frac{60}{9}$(元)。只选择方案B，可抽奖2次，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果，其中获得奖金15元的结果有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共16种，获得奖金30元的结果有:(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共4种，没有奖金的结果有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种，
∴ 获得奖金15元的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，获得奖金30元的概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，
∴ 只选择方案B获得奖金的平均值为$15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}+0×\frac{4}{9}=10$(元)。选择1次方案A，1次方案B，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 白 | (白,1) | (白,2) | (白,3) | (白,4) | (白,5) | (白,6) |
共有18种等可能的结果，其中获得奖金5元的结果有:(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),共8种，获得奖金15元的结果有:(白,5),(白,6),共2种，获得奖金20元的结果有:(红,5),(红,6),(红,5),(红,6),共4种，没有奖金的结果有:(白,1),(白,2),(白,3),(白,4),共4种，
∴ 获得奖金5元的概率为$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$，获得奖金15元的概率为$\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$，获得奖金20元的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，
∴ 选择1次方案A，1次方案B获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+15×\frac{1}{9}+20×\frac{2}{9}+0×\frac{2}{9}=\frac{75}{9}$(元)。
∵ $10＞\frac{75}{9}＞\frac{60}{9}$，
∴ 只选择方案B抽奖更合算。
∵ 在该商场购买商品的金额为260元，弟弟只选择根据方案A进行抽奖，
∴ 可以抽奖2次。列表如下：
| | 红 | 红 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,红) | (白,白) |
共有9种等可能的结果，其中两次都摸出红球的结果有4种，
∴ 所获奖金为10元的概率为$\frac{4}{9}$。
(2) 只选择方案B抽奖更合算。理由:由(1)可知，只选择方案A，可抽奖2次，获得5元的概率为$\frac{4}{9}$，获得10元的概率为$\frac{4}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{1}{9}$，
∴ 只选择方案A获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+10×\frac{4}{9}+0×\frac{1}{9}=\frac{60}{9}$(元)。只选择方案B，可抽奖2次，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果，其中获得奖金15元的结果有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共16种，获得奖金30元的结果有:(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共4种，没有奖金的结果有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种，
∴ 获得奖金15元的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，获得奖金30元的概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，
∴ 只选择方案B获得奖金的平均值为$15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}+0×\frac{4}{9}=10$(元)。选择1次方案A，1次方案B，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 白 | (白,1) | (白,2) | (白,3) | (白,4) | (白,5) | (白,6) |
共有18种等可能的结果，其中获得奖金5元的结果有:(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),共8种，获得奖金15元的结果有:(白,5),(白,6),共2种，获得奖金20元的结果有:(红,5),(红,6),(红,5),(红,6),共4种，没有奖金的结果有:(白,1),(白,2),(白,3),(白,4),共4种，
∴ 获得奖金5元的概率为$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$，获得奖金15元的概率为$\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$，获得奖金20元的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，
∴ 选择1次方案A，1次方案B获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+15×\frac{1}{9}+20×\frac{2}{9}+0×\frac{2}{9}=\frac{75}{9}$(元)。
∵ $10＞\frac{75}{9}＞\frac{60}{9}$，
∴ 只选择方案B抽奖更合算。
解析
【分析】
（1）首先根据抽奖规则，260元选择方案A抽奖时，每满100元可抽1次，因此可抽奖2次。要获得10元奖金，需两次摸出的球均为红球，我们可以通过列表法罗列出两次摸球的所有等可能结果，再统计两次均为红球的结果数，结合概率公式即可求出对应概率。
（2）首先梳理260元对应的所有可行抽奖方式：仅方案A抽2次、仅方案B抽2次、方案A和B各抽1次。分别计算三种方式下所获奖金的平均值（即每种奖金金额乘以对应概率的加权和），再比较三个平均值的大小，平均值最高的抽奖方式最合算。
【解析】
(1)
∵ 在该商场购买商品的金额为260元，弟弟只选择根据方案A进行抽奖，
∴ 可以抽奖2次。列表如下：
| | 红 | 红 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,红) | (白,白) |
共有9种等可能的结果，其中两次都摸出红球的结果有4种，
∴ 所获奖金为10元的概率为$\frac{4}{9}$。
(2) 只选择方案B抽奖更合算。理由:由(1)可知，只选择方案A，可抽奖2次，获得5元的概率为$\frac{4}{9}$，获得10元的概率为$\frac{4}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{1}{9}$，
∴ 只选择方案A获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+10×\frac{4}{9}+0×\frac{1}{9}=\frac{60}{9}$(元)。只选择方案B，可抽奖2次，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果，其中获得奖金15元的结果有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共16种，获得奖金30元的结果有:(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共4种，没有奖金的结果有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种，
∴ 获得奖金15元的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，获得奖金30元的概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，
∴ 只选择方案B获得奖金的平均值为$15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}+0×\frac{4}{9}=10$(元)。选择1次方案A，1次方案B，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 白 | (白,1) | (白,2) | (白,3) | (白,4) | (白,5) | (白,6) |
共有18种等可能的结果，其中获得奖金5元的结果有:(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),共8种，获得奖金15元的结果有:(白,5),(白,6),共2种，获得奖金20元的结果有:(红,5),(红,6),(红,5),(红,6),共4种，没有奖金的结果有:(白,1),(白,2),(白,3),(白,4),共4种，
∴ 获得奖金5元的概率为$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$，获得奖金15元的概率为$\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$，获得奖金20元的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，
∴ 选择1次方案A，1次方案B获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+15×\frac{1}{9}+20×\frac{2}{9}+0×\frac{2}{9}=\frac{75}{9}$(元)。
∵ $10＞\frac{75}{9}＞\frac{60}{9}$，
∴ 只选择方案B抽奖更合算。
【答案】
（1）$\frac{4}{9}$；
（2）建议只选择方案B抽奖更合算。
【知识点】
列表法求概率，加权平均数，概率的实际应用
【点评】
本题结合商场促销抽奖的生活场景，既考查了概率的基础计算方法，又要求学生通过计算平均收益做出最优决策，能够锻炼学生梳理方案、量化分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据抽奖规则，260元选择方案A抽奖时，每满100元可抽1次，因此可抽奖2次。要获得10元奖金，需两次摸出的球均为红球，我们可以通过列表法罗列出两次摸球的所有等可能结果，再统计两次均为红球的结果数，结合概率公式即可求出对应概率。
（2）首先梳理260元对应的所有可行抽奖方式：仅方案A抽2次、仅方案B抽2次、方案A和B各抽1次。分别计算三种方式下所获奖金的平均值（即每种奖金金额乘以对应概率的加权和），再比较三个平均值的大小，平均值最高的抽奖方式最合算。
【解析】
(1)
∵ 在该商场购买商品的金额为260元，弟弟只选择根据方案A进行抽奖，
∴ 可以抽奖2次。列表如下：
| | 红 | 红 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,白) |
| 白 | (白,红) | (白,红) | (白,白) |
共有9种等可能的结果，其中两次都摸出红球的结果有4种，
∴ 所获奖金为10元的概率为$\frac{4}{9}$。
(2) 只选择方案B抽奖更合算。理由:由(1)可知，只选择方案A，可抽奖2次，获得5元的概率为$\frac{4}{9}$，获得10元的概率为$\frac{4}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{1}{9}$，
∴ 只选择方案A获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+10×\frac{4}{9}+0×\frac{1}{9}=\frac{60}{9}$(元)。只选择方案B，可抽奖2次，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
共有36种等可能的结果，其中获得奖金15元的结果有:(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共16种，获得奖金30元的结果有:(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共4种，没有奖金的结果有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种，
∴ 获得奖金15元的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，获得奖金30元的概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$，
∴ 只选择方案B获得奖金的平均值为$15×\frac{4}{9}+30×\frac{1}{9}+0×\frac{4}{9}=10$(元)。选择1次方案A，1次方案B，列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 红 | (红,1) | (红,2) | (红,3) | (红,4) | (红,5) | (红,6) |
| 白 | (白,1) | (白,2) | (白,3) | (白,4) | (白,5) | (白,6) |
共有18种等可能的结果，其中获得奖金5元的结果有:(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),(红,1),(红,2),(红,3),(红,4),共8种，获得奖金15元的结果有:(白,5),(白,6),共2种，获得奖金20元的结果有:(红,5),(红,6),(红,5),(红,6),共4种，没有奖金的结果有:(白,1),(白,2),(白,3),(白,4),共4种，
∴ 获得奖金5元的概率为$\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$，获得奖金15元的概率为$\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$，获得奖金20元的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，没有奖金的概率为$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$，
∴ 选择1次方案A，1次方案B获得奖金的平均值为$5×\frac{4}{9}+15×\frac{1}{9}+20×\frac{2}{9}+0×\frac{2}{9}=\frac{75}{9}$(元)。
∵ $10＞\frac{75}{9}＞\frac{60}{9}$，
∴ 只选择方案B抽奖更合算。
【答案】
（1）$\frac{4}{9}$；
（2）建议只选择方案B抽奖更合算。
【知识点】
列表法求概率，加权平均数，概率的实际应用
【点评】
本题结合商场促销抽奖的生活场景，既考查了概率的基础计算方法，又要求学生通过计算平均收益做出最优决策，能够锻炼学生梳理方案、量化分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
