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1.（2025·河南）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 （
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路为：首先明确所有等可能的抽取结果总数，再找出满足“两张卡片恰好是‘丽’和‘山’”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。解题时可通过列举法罗列出所有抽取两张卡片的组合，避免出现结果重复或遗漏的问题。
【解析】
解：将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从四张背面朝上洗匀的卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好抽到“丽”和“山”的结果只有BC这1种。
根据概率计算公式可得：$P(抽到丽和山)=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型、列举法求概率
【点评】
本题以中华传统文化甲骨文为载体考查概率计算，情境新颖，核心考查点是古典概型的计算方法，解题时只要正确列举出所有等可能的事件结果，就能快速求解。
【难度系数】
0.75
这是一道古典概型的概率求解问题，解题思路为：首先明确所有等可能的抽取结果总数，再找出满足“两张卡片恰好是‘丽’和‘山’”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。解题时可通过列举法罗列出所有抽取两张卡片的组合，避免出现结果重复或遗漏的问题。
【解析】
解：将四张卡片分别标记为：A（美）、B（丽）、C（山）、D（河）。
从四张背面朝上洗匀的卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
其中恰好抽到“丽”和“山”的结果只有BC这1种。
根据概率计算公式可得：$P(抽到丽和山)=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型、列举法求概率
【点评】
本题以中华传统文化甲骨文为载体考查概率计算，情境新颖，核心考查点是古典概型的计算方法，解题时只要正确列举出所有等可能的事件结果，就能快速求解。
【难度系数】
0.75
2. 数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率.当他把一枚硬币抛掷24 000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是 （
A.11 011
B.12 012
C.13 013
D.14 014
B
）A.11 011
B.12 012
C.13 013
D.14 014
答案
2. B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确：抛掷一枚均匀硬币，正面朝上的理论概率是$\frac{1}{2}$；根据用频率估计概率的知识，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此正面朝上的次数应接近总抛掷次数乘正面朝上的概率，我们只需计算理论次数后，找选项中最接近该数值的即可。
【解析】
解：抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
根据用频率估计概率的规律，当试验次数很大时，正面朝上的频率会接近其概率$\frac{1}{2}$，因此抛掷24000次时，正面朝上的次数大约为：
$24000 × \frac{1}{2} = 12000$（次）
对比四个选项，12012最接近12000，因此符合实验结果的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的意义
3. 频率与概率的关系
【点评】
本题结合著名的皮尔逊抛硬币试验考查概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题思路清晰，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确：抛掷一枚均匀硬币，正面朝上的理论概率是$\frac{1}{2}$；根据用频率估计概率的知识，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应的概率附近，因此正面朝上的次数应接近总抛掷次数乘正面朝上的概率，我们只需计算理论次数后，找选项中最接近该数值的即可。
【解析】
解：抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$。
根据用频率估计概率的规律，当试验次数很大时，正面朝上的频率会接近其概率$\frac{1}{2}$，因此抛掷24000次时，正面朝上的次数大约为：
$24000 × \frac{1}{2} = 12000$（次）
对比四个选项，12012最接近12000，因此符合实验结果的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率的意义
3. 频率与概率的关系
【点评】
本题结合著名的皮尔逊抛硬币试验考查概率的实际应用，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题思路清晰，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.9
3.(2025·内蒙古)在单词class(班级)中随机选择一个字母,则选中字母“s”的概率是
$\frac{2}{5}$
。答案
3. $\frac{2}{5}$
解析
【分析】
要计算随机选中字母“s”的概率，首先明确这是等可能事件的概率计算问题，解题步骤为：第一步统计单词“class”的总字母数，得到所有等可能的结果总数；第二步统计单词中字母“s”的个数，得到选中“s”的可能结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用选中“s”的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：单词“class”的字母依次为c、l、a、s、s，总共有5个字母，随机选一个字母时每个字母被选中的可能性相等，即总共有5种等可能的结果。
其中字母“s”共有2个，即选中“s”的可能结果有2种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{事件发生的可能结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得：
$P(选中字母“s”)=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查对简单随机事件概率的计算能力，解题核心是准确统计总情况数和符合条件的情况数，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
要计算随机选中字母“s”的概率，首先明确这是等可能事件的概率计算问题，解题步骤为：第一步统计单词“class”的总字母数，得到所有等可能的结果总数；第二步统计单词中字母“s”的个数，得到选中“s”的可能结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用选中“s”的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：单词“class”的字母依次为c、l、a、s、s，总共有5个字母，随机选一个字母时每个字母被选中的可能性相等，即总共有5种等可能的结果。
其中字母“s”共有2个，即选中“s”的可能结果有2种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{事件发生的可能结果数}{所有等可能的结果总数}$，可得：
$P(选中字母“s”)=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 概率公式
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查对简单随机事件概率的计算能力，解题核心是准确统计总情况数和符合条件的情况数，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
4.（2025·盐城）在学习频率与概率的相关知识时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表.
（1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是
（2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论.
（1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是
0.25
.（精确到0.01）（2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论.
答案
4. (1) 0.25
(2) 画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果，所以2枚硬币正面都朝上的概率为$\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
（1）第一问利用频率估计概率的原理求解：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，观察表格中频率的波动规律即可估计概率。
（2）第二问用树状图列举所有等可能的结果，再根据等可能事件概率的计算方法，用符合条件的结果数除以总结果数得到理论概率，即可验证（1）的结论。
【解析】
（1）观察表格中的频率数据，随着抛掷次数不断增大，“2枚正面都朝上”的频率在0.25附近波动，根据频率估计概率的知识，可估计“2枚硬币正面都朝上”的概率为0.25。
（2）通过树状图分析同时抛掷2枚硬币的所有情况：第一枚硬币有正、反2种等可能结果，对应每种结果，第二枚硬币也有正、反2种等可能结果，因此总共有4种等可能的结果，其中2枚都正面朝上的结果只有1种，因此该事件的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，与（1）中估计的概率一致。
【答案】
(1) 0.25
(2) 画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果，所以2枚硬币正面都朝上的概率为$\frac{1}{4}$。
【知识点】
频率估计概率；树状图求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题结合试验统计和理论推导，考查了频率与概率的关系以及列举法求概率的方法，能够帮助理解大量重复试验下频率和概率的联系，是概率部分的典型基础题。
【难度系数】
0.75
（1）第一问利用频率估计概率的原理求解：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在对应概率附近，观察表格中频率的波动规律即可估计概率。
（2）第二问用树状图列举所有等可能的结果，再根据等可能事件概率的计算方法，用符合条件的结果数除以总结果数得到理论概率，即可验证（1）的结论。
【解析】
（1）观察表格中的频率数据，随着抛掷次数不断增大，“2枚正面都朝上”的频率在0.25附近波动，根据频率估计概率的知识，可估计“2枚硬币正面都朝上”的概率为0.25。
（2）通过树状图分析同时抛掷2枚硬币的所有情况：第一枚硬币有正、反2种等可能结果，对应每种结果，第二枚硬币也有正、反2种等可能结果，因此总共有4种等可能的结果，其中2枚都正面朝上的结果只有1种，因此该事件的概率为$\frac{1}{4}=0.25$，与（1）中估计的概率一致。
【答案】
(1) 0.25
(2) 画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果，所以2枚硬币正面都朝上的概率为$\frac{1}{4}$。
【知识点】
频率估计概率；树状图求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题结合试验统计和理论推导，考查了频率与概率的关系以及列举法求概率的方法，能够帮助理解大量重复试验下频率和概率的联系，是概率部分的典型基础题。
【难度系数】
0.75
5. (2025·苏州)为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看.
（1）甲同学选择A电影的概率为
（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）.
（1）甲同学选择A电影的概率为
$\frac{1}{3}$
；（2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）.
答案
5. (1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图:
共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，
∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
（1）甲同学从3部电影中任选1部，每部电影被选中的可能性相等，属于单步等可能事件概率问题，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可求解。
（2）甲、乙两位同学各选1部电影是两步独立的等可能事件，可通过画树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再找出两人选择不同电影的结果数，最后根据概率公式计算对应概率。
【解析】
（1）甲同学选择电影时，共有A、B、C3种等可能的结果，其中选择A电影的结果有1种，因此甲同学选择A电影的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）画树状图分析所有可能的选择情况：
由树状图可知，共有9种等可能的结果。其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，共6种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，因此甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图:
共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，
∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【知识点】
简单概率计算；树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，第一问考查单步等可能事件的概率计算，难度较低；第二问考查两步概率问题的求解，核心是掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果，再结合概率公式计算，是概率章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
（1）甲同学从3部电影中任选1部，每部电影被选中的可能性相等，属于单步等可能事件概率问题，直接用符合条件的结果数除以总结果数即可求解。
（2）甲、乙两位同学各选1部电影是两步独立的等可能事件，可通过画树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再找出两人选择不同电影的结果数，最后根据概率公式计算对应概率。
【解析】
（1）甲同学选择电影时，共有A、B、C3种等可能的结果，其中选择A电影的结果有1种，因此甲同学选择A电影的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）画树状图分析所有可能的选择情况：
由树状图可知，共有9种等可能的结果。其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有：(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,C)、(C,A)、(C,B)，共6种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，因此甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图:
共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，
∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【知识点】
简单概率计算；树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，第一问考查单步等可能事件的概率计算，难度较低；第二问考查两步概率问题的求解，核心是掌握用树状图或列表法不重不漏地列举所有等可能结果，再结合概率公式计算，是概率章节的常规考法。
【难度系数】
0.8
