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12.(1)已知 $10^m = 2$，$10^n = 3$，求 $10^{3m + 2n + 1}$ 的值；
(2)已知 $3m + 2n - 5 = 0$，求 $8^m × 4^n$ 的值。
(2)已知 $3m + 2n - 5 = 0$，求 $8^m × 4^n$ 的值。
答案
12.解:(1)因为 $10^m = 2,10^n = 3$,
所以 $10^{3m+2n+1} = 10^{3m} × 10^{2n} × 10 = (10^m)^3 × (10^n)^2 × 10 = 2^3 × 3^2 × 10 = 8×9×10=720$.
(2)因为 $3m+2n-5=0$,
所以 $3m+2n=5$,
所以 $8^m ×4^n=(2^3)^m ×(2^2)^n=2^{3m}×2^{2n}=2^{3m+2n}=2^5=32$.
所以 $10^{3m+2n+1} = 10^{3m} × 10^{2n} × 10 = (10^m)^3 × (10^n)^2 × 10 = 2^3 × 3^2 × 10 = 8×9×10=720$.
(2)因为 $3m+2n-5=0$,
所以 $3m+2n=5$,
所以 $8^m ×4^n=(2^3)^m ×(2^2)^n=2^{3m}×2^{2n}=2^{3m+2n}=2^5=32$.
解析
【分析】
(1) 求解本题需先回忆幂的相关运算法则，要求$10^{3m+2n+1}$的值，可利用同底数幂乘法的逆运算，将指数拆分为$3m$、$2n$、$1$三部分，把原式转化为$10^{3m}×10^{2n}×10^1$，再利用幂的乘方的逆运算，将$10^{3m}$变形为$(10^m)^3$，$10^{2n}$变形为$(10^n)^2$，最后代入已知的$10^m=2$、$10^n=3$计算即可。
(2) 先从已知等式$3m+2n-5=0$推导出$3m+2n=5$，再将所求式子中的底数8、4统一转化为以2为底的幂，即$8=2^3$、$4=2^2$，再利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，将$8^m×4^n$变形为$2^{3m+2n}$，最后整体代入$3m+2n=5$计算即可。
【解析】
(1) 已知$10^m=2$，$10^n=3$，
根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算可得：
$10^{3m+2n+1}=10^{3m}×10^{2n}×10=(10^m)^3×(10^n)^2×10$，
代入数值计算得：$2^3×3^2×10=8×9×10=720$。
(2) 已知$3m+2n-5=0$，移项可得$3m+2n=5$，
先统一底数为2：$8^m×4^n=(2^3)^m×(2^2)^n$，
根据幂的乘方法则计算得：$2^{3m}×2^{2n}$，
再根据同底数幂乘法法则得：$2^{3m+2n}$，
代入$3m+2n=5$得：$2^5=32$。
【答案】
(1)$720$；(2)$32$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，整体代入求值
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的灵活运用，解题的核心是熟练掌握幂的运算的正反变形，结合整体代入思想求解，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解本题需先回忆幂的相关运算法则，要求$10^{3m+2n+1}$的值，可利用同底数幂乘法的逆运算，将指数拆分为$3m$、$2n$、$1$三部分，把原式转化为$10^{3m}×10^{2n}×10^1$，再利用幂的乘方的逆运算，将$10^{3m}$变形为$(10^m)^3$，$10^{2n}$变形为$(10^n)^2$，最后代入已知的$10^m=2$、$10^n=3$计算即可。
(2) 先从已知等式$3m+2n-5=0$推导出$3m+2n=5$，再将所求式子中的底数8、4统一转化为以2为底的幂，即$8=2^3$、$4=2^2$，再利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，将$8^m×4^n$变形为$2^{3m+2n}$，最后整体代入$3m+2n=5$计算即可。
【解析】
(1) 已知$10^m=2$，$10^n=3$，
根据同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算可得：
$10^{3m+2n+1}=10^{3m}×10^{2n}×10=(10^m)^3×(10^n)^2×10$，
代入数值计算得：$2^3×3^2×10=8×9×10=720$。
(2) 已知$3m+2n-5=0$，移项可得$3m+2n=5$，
先统一底数为2：$8^m×4^n=(2^3)^m×(2^2)^n$，
根据幂的乘方法则计算得：$2^{3m}×2^{2n}$，
再根据同底数幂乘法法则得：$2^{3m+2n}$，
代入$3m+2n=5$得：$2^5=32$。
【答案】
(1)$720$；(2)$32$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，整体代入求值
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的灵活运用，解题的核心是熟练掌握幂的运算的正反变形，结合整体代入思想求解，是幂的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 上课时王老师给学生出了一道题“计算:$0.25^{21} × 4^{20}$”. 同学们看了题目后发表不同的看法. 小张说:“指数太大计算不了.”小李说:“逆用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题.”
(1)下面是小李尚未完整的解题过程,请你帮他补充完整.
【解】$0.25^{21} × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 0.25 × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 4^{20} ×$
$=(0.25 ×$
$=($
$=0.25.$
(2)请你利用小李的解题方法解答下面的问题.
计算:$(-0.125)^{15} × (2^{15})^{3} + (\dfrac{7}{13})^{2025} × (-1\dfrac{6}{7})^{2024}.$
(1)下面是小李尚未完整的解题过程,请你帮他补充完整.
【解】$0.25^{21} × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 0.25 × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 4^{20} ×$
0.25
$=(0.25 ×$
4
$)^{20} × 0.25$$=($
1
$)^{20} × 0.25$$=0.25.$
(2)请你利用小李的解题方法解答下面的问题.
计算:$(-0.125)^{15} × (2^{15})^{3} + (\dfrac{7}{13})^{2025} × (-1\dfrac{6}{7})^{2024}.$
答案
13.解:(1)$0.25^{21} × 4^{20} = 0.25^{20} × 0.25 × 4^{20} = 0.25^{20} × 4^{20} × 0.25 = (0.25 × 4)^{20} × 0.25 = 1^{20} × 0.25 = 0.25$.
故答案为 0.25,4,1.
(2)$(-0.125)^{15} × (2^{15})^3 + (\dfrac{7}{13})^{2025} × (-1\dfrac{6}{7})^{2024} = (-0.125)^{15} × (2^3)^{15} + (\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13} × (-\dfrac{13}{7})^{2024} = (-0.125×8)^{15} + (-\dfrac{13}{7}×\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13} = (-1)^{15} + (-1)^{2024} × \dfrac{7}{13} = -1 + \dfrac{7}{13} = -\dfrac{6}{13}.$
故答案为 0.25,4,1.
(2)$(-0.125)^{15} × (2^{15})^3 + (\dfrac{7}{13})^{2025} × (-1\dfrac{6}{7})^{2024} = (-0.125)^{15} × (2^3)^{15} + (\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13} × (-\dfrac{13}{7})^{2024} = (-0.125×8)^{15} + (-\dfrac{13}{7}×\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13} = (-1)^{15} + (-1)^{2024} × \dfrac{7}{13} = -1 + \dfrac{7}{13} = -\dfrac{6}{13}.$
解析
【分析】
(1) 本题可逆用幂的运算性质简化计算：首先将$0.25^{21}$拆分为$0.25^{20} × 0.25$，再利用乘法交换律将同指数的$0.25^{20}$和$4^{20}$放在一起，逆用积的乘方公式$a^n × b^n=(a× b)^n$，先算底数的乘积$0.25×4=1$，再计算1的20次方即可简化得到结果。
(2) 延续(1)的解题思路：先利用幂的乘方性质将$(2^{15})^3$转化为$(2^3)^{15}=8^{15}$，和前项$(-0.125)^{15}$凑成同指数幂，逆用积的乘方计算；再将$(\frac{7}{13})^{2025}$拆分为$(\frac{7}{13})^{2024} × \frac{7}{13}$，和后项$(-1\frac{6}{7})^{2024}=(-\frac{13}{7})^{2024}$凑成同指数幂，逆用积的乘方计算，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
(1) 补充步骤如下：
$0.25^{21} × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 0.25 × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 4^{20} × \boldsymbol{0.25}$
$=(0.25 × \boldsymbol{4})^{20} × 0.25$
$=(\boldsymbol{1})^{20} × 0.25$
$=0.25$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}&(-0.125)^{15} × (2^{15})^{3} + (\dfrac{7}{13})^{2025} × (-1\dfrac{6}{7})^{2024}\\=&(-0.125)^{15} × (2^3)^{15} + (\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13} × (-\dfrac{13}{7})^{2024}\\=&(-0.125×8)^{15} + (-\dfrac{13}{7}×\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13}\\=&(-1)^{15} + (-1)^{2024} × \dfrac{7}{13}\\=&-1 + 1×\dfrac{7}{13}\\=&-\dfrac{6}{13}\end{aligned}$
【答案】
(1) $0.25$，$4$，$1$；
(2) $-\dfrac{6}{13}$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题核心是考查幂的运算性质的灵活逆用，解题时不需要直接计算高次幂的结果，通过将指数相同的幂配对，先计算底数的乘积可以大幅简化运算，熟练掌握幂的运算性质的正反应用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可逆用幂的运算性质简化计算：首先将$0.25^{21}$拆分为$0.25^{20} × 0.25$，再利用乘法交换律将同指数的$0.25^{20}$和$4^{20}$放在一起，逆用积的乘方公式$a^n × b^n=(a× b)^n$，先算底数的乘积$0.25×4=1$，再计算1的20次方即可简化得到结果。
(2) 延续(1)的解题思路：先利用幂的乘方性质将$(2^{15})^3$转化为$(2^3)^{15}=8^{15}$，和前项$(-0.125)^{15}$凑成同指数幂，逆用积的乘方计算；再将$(\frac{7}{13})^{2025}$拆分为$(\frac{7}{13})^{2024} × \frac{7}{13}$，和后项$(-1\frac{6}{7})^{2024}=(-\frac{13}{7})^{2024}$凑成同指数幂，逆用积的乘方计算，最后将两部分结果相加即可。
【解析】
(1) 补充步骤如下：
$0.25^{21} × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 0.25 × 4^{20}$
$=0.25^{20} × 4^{20} × \boldsymbol{0.25}$
$=(0.25 × \boldsymbol{4})^{20} × 0.25$
$=(\boldsymbol{1})^{20} × 0.25$
$=0.25$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}&(-0.125)^{15} × (2^{15})^{3} + (\dfrac{7}{13})^{2025} × (-1\dfrac{6}{7})^{2024}\\=&(-0.125)^{15} × (2^3)^{15} + (\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13} × (-\dfrac{13}{7})^{2024}\\=&(-0.125×8)^{15} + (-\dfrac{13}{7}×\dfrac{7}{13})^{2024} × \dfrac{7}{13}\\=&(-1)^{15} + (-1)^{2024} × \dfrac{7}{13}\\=&-1 + 1×\dfrac{7}{13}\\=&-\dfrac{6}{13}\end{aligned}$
【答案】
(1) $0.25$，$4$，$1$；
(2) $-\dfrac{6}{13}$
【知识点】
积的乘方逆运算，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题核心是考查幂的运算性质的灵活逆用，解题时不需要直接计算高次幂的结果，通过将指数相同的幂配对，先计算底数的乘积可以大幅简化运算，熟练掌握幂的运算性质的正反应用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
