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14.已知$3^a = m$，$9^b = n$，$27^c = m^2 n$，$a,b,c$为正整数，求证：$2a + 2b = 3c$。
答案
14.证明:因为 $3^a = m,9^b = n,27^c = m^2 n$,
所以 $(3^a)^2 = 3^{2a} = m^2,(3^2)^b = 3^{2b} = n,(3^3)^c = 3^{3c} = m^2 n$,
所以 $3^{2a} × 3^{2b} = m^2 n = 3^{3c}$,所以 $3^{2a+2b}=3^{3c}$,
所以 $2a+2b=3c$.
所以 $(3^a)^2 = 3^{2a} = m^2,(3^2)^b = 3^{2b} = n,(3^3)^c = 3^{3c} = m^2 n$,
所以 $3^{2a} × 3^{2b} = m^2 n = 3^{3c}$,所以 $3^{2a+2b}=3^{3c}$,
所以 $2a+2b=3c$.
解析
【分析】
本题属于幂运算类证明题，解题思路可按三步展开：第一步统一底数，观察已知中3、9、27均为3的整数次幂，因此先把所有涉及的幂都转化为底数为3的形式；第二步代换计算，将$m^2n$用含3的幂的式子表示，利用同底数幂的乘法法则合并指数；第三步对比推导，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可得到a、b、c的数量关系。
【解析】
证明：
∵ $3^a = m$，$9^b = n$，$27^c = m^2 n$，
∴ 由幂的乘方法则可得：$(3^a)^2 = 3^{2a} = m^2$，$(3^2)^b = 3^{2b} = n$，$(3^3)^c = 3^{3c} = m^2 n$，
∴ 由同底数幂的乘法法则可得：$3^{2a} × 3^{2b} = 3^{2a+2b} = m^2 n$，
∴ $3^{2a+2b} = 3^{3c}$，
∵ 底数3不为0且不等于1，相等的同底数幂指数相等，
∴ $2a + 2b = 3c$，得证。
【答案】
$2a + 2b = 3c$，证明成立
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的性质
【点评】
本题是幂运算章节的常规题型，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合幂的运算法则建立指数之间的等量关系，侧重考查对幂运算公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
本题属于幂运算类证明题，解题思路可按三步展开：第一步统一底数，观察已知中3、9、27均为3的整数次幂，因此先把所有涉及的幂都转化为底数为3的形式；第二步代换计算，将$m^2n$用含3的幂的式子表示，利用同底数幂的乘法法则合并指数；第三步对比推导，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可得到a、b、c的数量关系。
【解析】
证明：
∵ $3^a = m$，$9^b = n$，$27^c = m^2 n$，
∴ 由幂的乘方法则可得：$(3^a)^2 = 3^{2a} = m^2$，$(3^2)^b = 3^{2b} = n$，$(3^3)^c = 3^{3c} = m^2 n$，
∴ 由同底数幂的乘法法则可得：$3^{2a} × 3^{2b} = 3^{2a+2b} = m^2 n$，
∴ $3^{2a+2b} = 3^{3c}$，
∵ 底数3不为0且不等于1，相等的同底数幂指数相等，
∴ $2a + 2b = 3c$，得证。
【答案】
$2a + 2b = 3c$，证明成立
【知识点】
幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的性质
【点评】
本题是幂运算章节的常规题型，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合幂的运算法则建立指数之间的等量关系，侧重考查对幂运算公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
15.【规定】
记$M_{(1)}=-2$，$M_{(2)}=(-2)×(-2)$，
$M_{(3)}=(-2)×(-2)×(-2)$，…，$M_{(n)}$
$=(-2)×(-2)×···×(-2)$.
【应用】
解答下列各题：
(1)计算$M_{(5)}+M_{(6)}$；
(2)求$2M_{(2025)}+M_{(2026)}$的值.
【探究】
若$m$为正整数，代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值之间有什么关系？
记$M_{(1)}=-2$，$M_{(2)}=(-2)×(-2)$，
$M_{(3)}=(-2)×(-2)×(-2)$，…，$M_{(n)}$
$=(-2)×(-2)×···×(-2)$.
【应用】
解答下列各题：
(1)计算$M_{(5)}+M_{(6)}$；
(2)求$2M_{(2025)}+M_{(2026)}$的值.
【探究】
若$m$为正整数，代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值之间有什么关系？
答案
15.解:【应用】
(1)$M_{(5)} + M_{(6)} = (-2)^5 + (-2)^6 = -2^5 + 2^6 = -2^5 + 2^5 ×2 = (-1+2)×2^5 = 2^5$.
(2)$2M_{(2025)} + M_{(2026)} = 2×(-2)^{2025} + (-2)^{2026} = 2×(-2^{2025}) + 2^{2026} = -2^{2026} + 2^{2026} = 0$.
【探究】
当$m$为偶数时，
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×2^m=2^{m+1}$,
$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=-2^{m+1}$.
此时,代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数；
当$m$为奇数时，
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×(-2^m)=-2^{m+1}$,
$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=2^{m+1}$,
此时,代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数.
综上所述,若$m$为正整数,代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数.
(1)$M_{(5)} + M_{(6)} = (-2)^5 + (-2)^6 = -2^5 + 2^6 = -2^5 + 2^5 ×2 = (-1+2)×2^5 = 2^5$.
(2)$2M_{(2025)} + M_{(2026)} = 2×(-2)^{2025} + (-2)^{2026} = 2×(-2^{2025}) + 2^{2026} = -2^{2026} + 2^{2026} = 0$.
【探究】
当$m$为偶数时，
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×2^m=2^{m+1}$,
$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=-2^{m+1}$.
此时,代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数；
当$m$为奇数时，
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×(-2^m)=-2^{m+1}$,
$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=2^{m+1}$,
此时,代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数.
综上所述,若$m$为正整数,代数式$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数.
解析
【分析】
首先明确题目新定义$M_{(n)}$的含义：它表示n个$(-2)$相乘，本质就是乘方运算，即$M_{(n)}=(-2)^n$。解题时先将所有含$M$的表达式转化为乘方形式，再利用乘方的性质（负数的奇次幂为负、偶次幂为正）、提取公因式的方法计算；探究两个代数式的关系时，可分$m$为奇数、偶数两种情况讨论二者的数值关系，最终总结结论即可。
【解析】
【应用】
(1) 根据定义得$M_{(5)}=(-2)^5$，$M_{(6)}=(-2)^6$，代入计算：
$\begin{aligned}M_{(5)} + M_{(6)}&= (-2)^5 + (-2)^6\\&= -2^5 + 2^6\\&= -2^5 + 2×2^5\\&= (-1+2)×2^5\\&=2^5=32\end{aligned}$
(2) 同理代入表达式计算：
$\begin{aligned}2M_{(2025)} + M_{(2026)} &= 2×(-2)^{2025} + (-2)^{2026}\\&=2×(-2^{2025}) + 2^{2026}\\&=-2^{2026} + 2^{2026}\\&=0\end{aligned}$
【探究】
分两种情况讨论：
① 当$m$为偶数时：
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×2^m=2^{m+1}$，$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=-2^{m+1}$，二者互为相反数；
② 当$m$为奇数时：
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×(-2^m)=-2^{m+1}$，$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=2^{m+1}$，二者互为相反数。
综上，$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数。
【答案】
(1) $\boxed{32}$
(2) $\boxed{0}$
【探究】$\boxed{2M_{(m)}}$与$\boxed{M_{(m+1)}}$互为相反数
【知识点】
乘方的意义，有理数混合运算，新定义运算
【点评】
本题以新定义为载体考查乘方相关运算，解题核心是准确理解新定义的本质，将陌生运算转化为已学的乘方运算，通过化简、分类讨论即可求解，能有效考查学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
首先明确题目新定义$M_{(n)}$的含义：它表示n个$(-2)$相乘，本质就是乘方运算，即$M_{(n)}=(-2)^n$。解题时先将所有含$M$的表达式转化为乘方形式，再利用乘方的性质（负数的奇次幂为负、偶次幂为正）、提取公因式的方法计算；探究两个代数式的关系时，可分$m$为奇数、偶数两种情况讨论二者的数值关系，最终总结结论即可。
【解析】
【应用】
(1) 根据定义得$M_{(5)}=(-2)^5$，$M_{(6)}=(-2)^6$，代入计算：
$\begin{aligned}M_{(5)} + M_{(6)}&= (-2)^5 + (-2)^6\\&= -2^5 + 2^6\\&= -2^5 + 2×2^5\\&= (-1+2)×2^5\\&=2^5=32\end{aligned}$
(2) 同理代入表达式计算：
$\begin{aligned}2M_{(2025)} + M_{(2026)} &= 2×(-2)^{2025} + (-2)^{2026}\\&=2×(-2^{2025}) + 2^{2026}\\&=-2^{2026} + 2^{2026}\\&=0\end{aligned}$
【探究】
分两种情况讨论：
① 当$m$为偶数时：
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×2^m=2^{m+1}$，$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=-2^{m+1}$，二者互为相反数；
② 当$m$为奇数时：
$2M_{(m)}=2×(-2)^m=2×(-2^m)=-2^{m+1}$，$M_{(m+1)}=(-2)^{m+1}=2^{m+1}$，二者互为相反数。
综上，$2M_{(m)}$与$M_{(m+1)}$的值互为相反数。
【答案】
(1) $\boxed{32}$
(2) $\boxed{0}$
【探究】$\boxed{2M_{(m)}}$与$\boxed{M_{(m+1)}}$互为相反数
【知识点】
乘方的意义，有理数混合运算，新定义运算
【点评】
本题以新定义为载体考查乘方相关运算，解题核心是准确理解新定义的本质，将陌生运算转化为已学的乘方运算，通过化简、分类讨论即可求解，能有效考查学生的知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
