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13. 如图,函数 $y_1=x-1$ 和函数 $y_2=\frac{2}{x}$ 的图象相交于点 $M(2,m),N(-1,n)$,若 $y_1＞y_2$,则 $x$ 的取值范围是 （
A.$x＜-1$ 或 $0＜x＜2$
B.$x＜-1$ 或 $x＞2$
C.$-1＜x＜0$ 或 $0＜x＜2$
D.$-1＜x＜0$ 或 $x＞2$
D
）A.$x＜-1$ 或 $0＜x＜2$
B.$x＜-1$ 或 $x＞2$
C.$-1＜x＜0$ 或 $0＜x＜2$
D.$-1＜x＜0$ 或 $x＞2$
答案
13. D
解析
【分析】
要解决$y_1＞y_2$时$x$的取值范围问题，核心思路是利用函数图象的几何意义：同一$x$值下，位置更高的函数对应的函数值更大。首先确定两个函数的交点横坐标，交点处$y_1=y_2$，再以交点横坐标和反比例函数的间断点$x=0$为分界点，把$x$的取值范围分成几个区间，逐一判断每个区间内两个函数的上下位置关系，就能得到满足条件的$x$范围。
【解析】
已知两个函数图象的交点横坐标分别为$x=-1$和$x=2$，且反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$中$x≠0$，因此将$x$的取值分为4个区间逐一分析：
1. 当$x＜-1$时，观察图象可得反比例函数$y_2$的图象在一次函数$y_1$上方，此时$y_1＜y_2$，不满足条件；
2. 当$-1＜x＜0$时，一次函数$y_1$的图象在反比例函数$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$，满足条件；
3. 当$0＜x＜2$时，反比例函数$y_2$的图象在一次函数$y_1$上方，此时$y_1＜y_2$，不满足条件；
4. 当$x＞2$时，一次函数$y_1$的图象在反比例函数$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$，满足条件。
综上，满足$y_1＞y_2$的$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数性质、反比例函数性质、图象法解不等式
【点评】
本题解题的关键是结合函数图象的位置判断函数值的大小，需要注意反比例函数的定义域$x≠0$，需分$x＜0$和$x＞0$两部分分别讨论，避免遗漏负区间的情况。
【难度系数】
0.7
要解决$y_1＞y_2$时$x$的取值范围问题，核心思路是利用函数图象的几何意义：同一$x$值下，位置更高的函数对应的函数值更大。首先确定两个函数的交点横坐标，交点处$y_1=y_2$，再以交点横坐标和反比例函数的间断点$x=0$为分界点，把$x$的取值范围分成几个区间，逐一判断每个区间内两个函数的上下位置关系，就能得到满足条件的$x$范围。
【解析】
已知两个函数图象的交点横坐标分别为$x=-1$和$x=2$，且反比例函数$y_2=\frac{2}{x}$中$x≠0$，因此将$x$的取值分为4个区间逐一分析：
1. 当$x＜-1$时，观察图象可得反比例函数$y_2$的图象在一次函数$y_1$上方，此时$y_1＜y_2$，不满足条件；
2. 当$-1＜x＜0$时，一次函数$y_1$的图象在反比例函数$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$，满足条件；
3. 当$0＜x＜2$时，反比例函数$y_2$的图象在一次函数$y_1$上方，此时$y_1＜y_2$，不满足条件；
4. 当$x＞2$时，一次函数$y_1$的图象在反比例函数$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$，满足条件。
综上，满足$y_1＞y_2$的$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数性质、反比例函数性质、图象法解不等式
【点评】
本题解题的关键是结合函数图象的位置判断函数值的大小，需要注意反比例函数的定义域$x≠0$，需分$x＜0$和$x＞0$两部分分别讨论，避免遗漏负区间的情况。
【难度系数】
0.7
14. 如图，一次函数$y_1=k_1x+2$与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象交于点$A(4,m),B(-8,-2)$，与$y$轴交于点$C$.
(1) $k_1=$
(2) 根据函数图象可知，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是
(3) 过点$A$作$AD⊥ x$轴于点$D$，$P$是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线$OP$与线段$AD$交于点$E$，当$S_{\mathrm{梯形}ODAC}:S_{△ ODE}=3:1$时，求点$P$的坐标.
(1) $k_1=$
$\dfrac{1}{2}$
,$k_2=$$16$
;(2) 根据函数图象可知，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是
$-8＜x＜0$或$x＞4$
;(3) 过点$A$作$AD⊥ x$轴于点$D$，$P$是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线$OP$与线段$AD$交于点$E$，当$S_{\mathrm{梯形}ODAC}:S_{△ ODE}=3:1$时，求点$P$的坐标.
答案
14. (1) $\dfrac{1}{2}$，16
(2) $-8＜x＜0$或$x＞4$
(3) 由(1)知$y_1=\dfrac{1}{2}x+2$,$y_2=\dfrac{16}{x}$,把$A(4,m)$代入$y=\dfrac{16}{x}$,得$m=4$,$\therefore$ 点$A$的坐标是$(4,4)$,点$C$的坐标是$(0,2)$.$\therefore CO=2$,$AD=OD=4$.$\therefore S_{\mathrm{梯形}ODAC}=\dfrac{CO+AD}{2}× OD=\dfrac{2+4}{2}×4=12$.$\because S_{\mathrm{梯形}ODAC}:S_{△ ODE}=3:1$,$\therefore S_{△ ODE}=\dfrac{1}{3}× S_{\mathrm{梯形}ODAC}=\dfrac{1}{3}×12=4$,即$\dfrac{1}{2}OD· DE=4$,$\therefore DE=2$.$\therefore$ 点$E$的坐标为$(4,2)$.又点$E$在直线$OP$上,$\therefore$ 直线$OP$对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$.联立,得$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x,\\y=\dfrac{16}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=4\sqrt{2},\\y=2\sqrt{2},\end{cases}$或$\begin{cases}x=-4\sqrt{2},\\y=-2\sqrt{2}.\end{cases}$(舍去).$\therefore$ 点$P$的坐标为$(4\sqrt{2},2\sqrt{2})$.
(2) $-8＜x＜0$或$x＞4$
(3) 由(1)知$y_1=\dfrac{1}{2}x+2$,$y_2=\dfrac{16}{x}$,把$A(4,m)$代入$y=\dfrac{16}{x}$,得$m=4$,$\therefore$ 点$A$的坐标是$(4,4)$,点$C$的坐标是$(0,2)$.$\therefore CO=2$,$AD=OD=4$.$\therefore S_{\mathrm{梯形}ODAC}=\dfrac{CO+AD}{2}× OD=\dfrac{2+4}{2}×4=12$.$\because S_{\mathrm{梯形}ODAC}:S_{△ ODE}=3:1$,$\therefore S_{△ ODE}=\dfrac{1}{3}× S_{\mathrm{梯形}ODAC}=\dfrac{1}{3}×12=4$,即$\dfrac{1}{2}OD· DE=4$,$\therefore DE=2$.$\therefore$ 点$E$的坐标为$(4,2)$.又点$E$在直线$OP$上,$\therefore$ 直线$OP$对应的函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$.联立,得$\begin{cases}y=\dfrac{1}{2}x,\\y=\dfrac{16}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=4\sqrt{2},\\y=2\sqrt{2},\end{cases}$或$\begin{cases}x=-4\sqrt{2},\\y=-2\sqrt{2}.\end{cases}$(舍去).$\therefore$ 点$P$的坐标为$(4\sqrt{2},2\sqrt{2})$.
解析
【分析】
(1) 求两个函数的系数，可直接将已知交点B的坐标分别代入对应函数解析式计算即可；
(2) 要确定$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，只需观察图像，找到一次函数图像位于反比例函数图像上方时对应的$x$区间，结合两个交点坐标和反比例函数$x≠0$的限制分段分析即可；
(3) 先借助(1)求得的函数解析式求出点A、C的坐标，计算梯形ODAC的面积，再根据面积比求出$△ ODE$的面积，进而得到点E的坐标，求出直线OP的解析式后与反比例函数解析式联立，取第一象限的解即为点P的坐标。
【解析】
(1) 将$B(-8,-2)$代入$y_1=k_1x+2$，得$-8k_1+2=-2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$；
将$B(-8,-2)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$，得$\frac{k_2}{-8}=-2$，解得$k_2=16$。
(2) 两个函数交点为$A(4,m)$、$B(-8,-2)$，观察图像可得：当$-8＜x＜0$时，一次函数图像在反比例函数图像上方；当$x＞4$时，一次函数图像也在反比例函数图像上方，因此$y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$-8＜x＜0$或$x＞4$。
(3) 由(1)知$y_1=\frac{1}{2}x+2$，$y_2=\frac{16}{x}$，把$A(4,m)$代入$y_2=\frac{16}{x}$，得$m=4$，$\therefore$点A坐标为$(4,4)$；
令$y_1=\frac{1}{2}x+2$中$x=0$，得$y=2$，$\therefore$点C坐标为$(0,2)$。
$\therefore CO=2$，$AD=OD=4$，$S_{\mathrm{梯形}ODAC}=\frac{CO+AD}{2}× OD=\frac{2+4}{2}×4=12$。
$\because S_{\mathrm{梯形}ODAC}:S_{△ ODE}=3:1$，$\therefore S_{△ ODE}=\frac{1}{3}×12=4$。
又$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}· OD· DE=\frac{1}{2}×4× DE=4$，解得$DE=2$，$\therefore$点E坐标为$(4,2)$。
设直线OP解析式为$y=ax$，代入$E(4,2)$得$4a=2$，$a=\frac{1}{2}$，即直线OP解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{16}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\sqrt{2}\\y=2\sqrt{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-4\sqrt{2}\\y=-2\sqrt{2}\end{cases}$，
$\because$P在第一象限，故舍去负解，得点P坐标为$(4\sqrt{2},2\sqrt{2})$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$，$16$
(2) $-8＜x＜0$或$x＞4$
(3) $(4\sqrt{2},2\sqrt{2})$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数值大小比较，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也考查了结合图像分析不等式、利用面积关系求点坐标、联立方程求交点的综合运用能力，解题时要注意结合图像限制对所求的解进行合理取舍。
【难度系数】
0.6
(1) 求两个函数的系数，可直接将已知交点B的坐标分别代入对应函数解析式计算即可；
(2) 要确定$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，只需观察图像，找到一次函数图像位于反比例函数图像上方时对应的$x$区间，结合两个交点坐标和反比例函数$x≠0$的限制分段分析即可；
(3) 先借助(1)求得的函数解析式求出点A、C的坐标，计算梯形ODAC的面积，再根据面积比求出$△ ODE$的面积，进而得到点E的坐标，求出直线OP的解析式后与反比例函数解析式联立，取第一象限的解即为点P的坐标。
【解析】
(1) 将$B(-8,-2)$代入$y_1=k_1x+2$，得$-8k_1+2=-2$，解得$k_1=\frac{1}{2}$；
将$B(-8,-2)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$，得$\frac{k_2}{-8}=-2$，解得$k_2=16$。
(2) 两个函数交点为$A(4,m)$、$B(-8,-2)$，观察图像可得：当$-8＜x＜0$时，一次函数图像在反比例函数图像上方；当$x＞4$时，一次函数图像也在反比例函数图像上方，因此$y_1＞y_2$时$x$的取值范围是$-8＜x＜0$或$x＞4$。
(3) 由(1)知$y_1=\frac{1}{2}x+2$，$y_2=\frac{16}{x}$，把$A(4,m)$代入$y_2=\frac{16}{x}$，得$m=4$，$\therefore$点A坐标为$(4,4)$；
令$y_1=\frac{1}{2}x+2$中$x=0$，得$y=2$，$\therefore$点C坐标为$(0,2)$。
$\therefore CO=2$，$AD=OD=4$，$S_{\mathrm{梯形}ODAC}=\frac{CO+AD}{2}× OD=\frac{2+4}{2}×4=12$。
$\because S_{\mathrm{梯形}ODAC}:S_{△ ODE}=3:1$，$\therefore S_{△ ODE}=\frac{1}{3}×12=4$。
又$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}· OD· DE=\frac{1}{2}×4× DE=4$，解得$DE=2$，$\therefore$点E坐标为$(4,2)$。
设直线OP解析式为$y=ax$，代入$E(4,2)$得$4a=2$，$a=\frac{1}{2}$，即直线OP解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{16}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\sqrt{2}\\y=2\sqrt{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-4\sqrt{2}\\y=-2\sqrt{2}\end{cases}$，
$\because$P在第一象限，故舍去负解，得点P坐标为$(4\sqrt{2},2\sqrt{2})$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$，$16$
(2) $-8＜x＜0$或$x＞4$
(3) $(4\sqrt{2},2\sqrt{2})$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，函数值大小比较，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了待定系数法求函数解析式的基础能力，也考查了结合图像分析不等式、利用面积关系求点坐标、联立方程求交点的综合运用能力，解题时要注意结合图像限制对所求的解进行合理取舍。
【难度系数】
0.6
15. 如图，在平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k=
（第15题）
6
。（第15题）答案
15. 6
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形对角线互相平分的性质，确定E是AB的中点；再利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的特征，设出相关点的坐标，通过E在双曲线上建立方程推导线段关系；最后结合平行四边形面积公式计算k的值。
步骤梳理：1. 设A、B点坐标，用中点坐标公式表示E点坐标；2. 将E点坐标代入反比例函数解析式，求出OB长度和A点横坐标的关系；3. 代入平行四边形面积公式求解k。
【解析】
设点$A$的坐标为$(x,\frac{k}{x})$，点$B$的坐标为$(m,0)$。
∵四边形$AOBC$是平行四边形，对角线交于点$E$，
∴$E$是$AB$的中点，根据中点坐标公式可得$E$的坐标为$(\frac{x+m}{2},\frac{k}{2x})$。
∵点$E$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，
∴点$E$的横纵坐标乘积为$k$，即：
$\frac{x+m}{2} × \frac{k}{2x} =k$
∵$k＞0$，两边同时除以$k$得：$\frac{x+m}{4x}=1$，
整理得$m=3x$，即$OB$的长度为$3x$。
平行四边形$AOBC$的面积=底$OB$×高（点$A$的纵坐标），已知面积为18：
$S=3x × \frac{k}{x}=3k=18$
解得$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，核心是利用平行四边形的中点性质结合反比例函数点的坐标特征建立等量关系，再结合面积公式求解，很好地考查了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
解题时先结合平行四边形对角线互相平分的性质，确定E是AB的中点；再利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的特征，设出相关点的坐标，通过E在双曲线上建立方程推导线段关系；最后结合平行四边形面积公式计算k的值。
步骤梳理：1. 设A、B点坐标，用中点坐标公式表示E点坐标；2. 将E点坐标代入反比例函数解析式，求出OB长度和A点横坐标的关系；3. 代入平行四边形面积公式求解k。
【解析】
设点$A$的坐标为$(x,\frac{k}{x})$，点$B$的坐标为$(m,0)$。
∵四边形$AOBC$是平行四边形，对角线交于点$E$，
∴$E$是$AB$的中点，根据中点坐标公式可得$E$的坐标为$(\frac{x+m}{2},\frac{k}{2x})$。
∵点$E$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，
∴点$E$的横纵坐标乘积为$k$，即：
$\frac{x+m}{2} × \frac{k}{2x} =k$
∵$k＞0$，两边同时除以$k$得：$\frac{x+m}{4x}=1$，
整理得$m=3x$，即$OB$的长度为$3x$。
平行四边形$AOBC$的面积=底$OB$×高（点$A$的纵坐标），已知面积为18：
$S=3x × \frac{k}{x}=3k=18$
解得$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，核心是利用平行四边形的中点性质结合反比例函数点的坐标特征建立等量关系，再结合面积公式求解，很好地考查了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
16. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=4 cm，BC=1 cm，E是边CD上一动点，AE，BC的延长线交于点F，$\frac{EC}{AB}=\frac{CF}{BF}$。设DE=x cm，BF=y cm，则y与x之间的函数解析式为
$y=\dfrac{4}{x}$
，自变量x的取值范围为$0＜x＜4$
。答案
16. $y=\dfrac{4}{x}$，$0＜x＜4$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，用含x的代数式表示出EC的长度，用含y的代数式表示出CF的长度，再将各线段长度代入题目给出的比例关系式，通过代数化简即可得到y与x的函数解析式；最后结合点E在CD上的实际位置，确定自变量x的取值范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，
∴ CD=AB=4cm，
∵ DE=x cm，
∴ EC=CD - DE=(4 - x)cm，
又
∵ BF=y cm，BC=1cm，
∴ CF=BF - BC=(y - 1)cm，
根据题意$\frac{EC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，代入各线段长度得：
$\frac{4 - x}{4}=\frac{y - 1}{y}$，
交叉相乘得：$y(4 - x)=4(y - 1)$，
展开整理：$4y - xy = 4y - 4$，
消去同类项4y，得：$-xy=-4$，即$xy=4$，
∴ 函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵ 点E是CD上的动点，DE的长度大于0且小于CD的长度4cm，
∴ 自变量x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
$y=\dfrac{4}{x}$；$0＜x＜4$
【知识点】
平行四边形的性质；函数解析式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是结合图形特征用含未知数的代数式表示对应线段长度，代入已知等量关系化简即可，求解自变量范围时要注意结合图形实际意义，避免出现不符合实际的取值。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形对边相等的性质，用含x的代数式表示出EC的长度，用含y的代数式表示出CF的长度，再将各线段长度代入题目给出的比例关系式，通过代数化简即可得到y与x的函数解析式；最后结合点E在CD上的实际位置，确定自变量x的取值范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，
∴ CD=AB=4cm，
∵ DE=x cm，
∴ EC=CD - DE=(4 - x)cm，
又
∵ BF=y cm，BC=1cm，
∴ CF=BF - BC=(y - 1)cm，
根据题意$\frac{EC}{AB}=\frac{CF}{BF}$，代入各线段长度得：
$\frac{4 - x}{4}=\frac{y - 1}{y}$，
交叉相乘得：$y(4 - x)=4(y - 1)$，
展开整理：$4y - xy = 4y - 4$，
消去同类项4y，得：$-xy=-4$，即$xy=4$，
∴ 函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵ 点E是CD上的动点，DE的长度大于0且小于CD的长度4cm，
∴ 自变量x的取值范围是$0＜x＜4$。
【答案】
$y=\dfrac{4}{x}$；$0＜x＜4$
【知识点】
平行四边形的性质；函数解析式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是结合图形特征用含未知数的代数式表示对应线段长度，代入已知等量关系化简即可，求解自变量范围时要注意结合图形实际意义，避免出现不符合实际的取值。
【难度系数】
0.7
