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8. 如图，直线$l$与双曲线交于$A$，$C$两点，将直线$l$绕点$O$顺时针旋转$α$角$(0°＜α≤45°)$，与双曲线交于$B$，$D$两点，则四边形$ABCD$两条对角线的特征是
互相平分
.答案
8. 互相平分
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。由此可知，任意一条过原点的直线与双曲线的两个交点都关于原点对称。本题中直线l和旋转后的直线都过原点，所以它们与双曲线的交点A和C、B和D分别关于原点对称，进而可以得到两条对角线AC、BD的交点O平分两条对角线，即可得出对角线的特征。
【解析】
∵ 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为坐标原点O，
∴ 过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。
∵ 直线l过原点，与双曲线交于A、C两点，
∴ 点A和点C关于原点O对称，即$OA=OC$。
同理，旋转后的直线过原点，与双曲线交于B、D两点，
∴ 点B和点D关于原点O对称，即$OB=OD$。
四边形ABCD的对角线为AC和BD，二者交于点O，且O分别平分AC、BD，因此两条对角线互相平分。
【答案】
互相平分
【知识点】
反比例函数的对称性；中心对称的性质
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数的中心对称性，通过交点关于原点对称推导得到对角线的关系，属于基础类题型，灵活运用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点。由此可知，任意一条过原点的直线与双曲线的两个交点都关于原点对称。本题中直线l和旋转后的直线都过原点，所以它们与双曲线的交点A和C、B和D分别关于原点对称，进而可以得到两条对角线AC、BD的交点O平分两条对角线，即可得出对角线的特征。
【解析】
∵ 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为坐标原点O，
∴ 过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。
∵ 直线l过原点，与双曲线交于A、C两点，
∴ 点A和点C关于原点O对称，即$OA=OC$。
同理，旋转后的直线过原点，与双曲线交于B、D两点，
∴ 点B和点D关于原点O对称，即$OB=OD$。
四边形ABCD的对角线为AC和BD，二者交于点O，且O分别平分AC、BD，因此两条对角线互相平分。
【答案】
互相平分
【知识点】
反比例函数的对称性；中心对称的性质
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题关键是熟练掌握反比例函数的中心对称性，通过交点关于原点对称推导得到对角线的关系，属于基础类题型，灵活运用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图,双曲线$y=\frac{k}{x}$与直线$y=mx$相交于A,B两点,点B的坐标为$(-2,-3)$,则点A的坐标为
$(2,3)$
.答案
9. $(2,3)$
解析
【分析】
解题可以从两种思路入手：1. 利用函数对称性：反比例函数$y=\frac{k}{x}$和正比例函数$y=mx$的图像都关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知点B坐标即可直接推导点A坐标；2. 代入求解法：先将点B坐标分别代入两个函数解析式，求出k和m的值，再联立两个函数解析式解方程，即可得到点A坐标，其中利用对称性解题更快捷。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像、正比例函数$y=mx$的图像均关于原点成中心对称，
∴ 两个函数的交点A、B关于原点对称。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，已知点B坐标为$(-2,-3)$，
∴ 点A的坐标为$(2,3)$。
方法二（代入解析式求解）：
将$B(-2,-3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-3=\frac{k}{-2}$，解得$k=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$；
将$B(-2,-3)$代入$y=mx$，得$-3=-2m$，解得$m=\frac{3}{2}$，即直线解析式为$y=\frac{3}{2}x$；
联立两个解析式得$\begin{cases}y=\frac{6}{x}\\y=\frac{3}{2}x\end{cases}$，消去y得$\frac{6}{x}=\frac{3}{2}x$，整理得$x^2=4$，解得$x=\pm2$，
当$x=2$时，$y=\frac{3}{2}×2=3$，即点A坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，两种解题方法都符合要求，利用函数的中心对称性解题更加简便，属于基础类考题，掌握函数对称性可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题可以从两种思路入手：1. 利用函数对称性：反比例函数$y=\frac{k}{x}$和正比例函数$y=mx$的图像都关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知点B坐标即可直接推导点A坐标；2. 代入求解法：先将点B坐标分别代入两个函数解析式，求出k和m的值，再联立两个函数解析式解方程，即可得到点A坐标，其中利用对称性解题更快捷。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像、正比例函数$y=mx$的图像均关于原点成中心对称，
∴ 两个函数的交点A、B关于原点对称。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，已知点B坐标为$(-2,-3)$，
∴ 点A的坐标为$(2,3)$。
方法二（代入解析式求解）：
将$B(-2,-3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$-3=\frac{k}{-2}$，解得$k=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$；
将$B(-2,-3)$代入$y=mx$，得$-3=-2m$，解得$m=\frac{3}{2}$，即直线解析式为$y=\frac{3}{2}x$；
联立两个解析式得$\begin{cases}y=\frac{6}{x}\\y=\frac{3}{2}x\end{cases}$，消去y得$\frac{6}{x}=\frac{3}{2}x$，整理得$x^2=4$，解得$x=\pm2$，
当$x=2$时，$y=\frac{3}{2}×2=3$，即点A坐标为$(2,3)$。
【答案】
$(2,3)$
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，两种解题方法都符合要求，利用函数的中心对称性解题更加简便，属于基础类考题，掌握函数对称性可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
10. 如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$和$y=\dfrac{2}{x}$的图象交于点A和点B，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则$△ ABC$的面积为（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
10. A
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AB平行于x轴，因此A、B两点纵坐标相同，我们可以先设出P点的纵坐标，代入两个反比例函数解析式分别求出A、B的横坐标，进而得到AB的长度；再根据AB平行x轴的特点，可知△ABC的AB边上的高等于AB到x轴的距离（即P点纵坐标），最后代入三角形面积公式计算即可，计算过程中设的参数会消去，得到固定的面积值。
【解析】
解：设点P的坐标为$(0,b)$（$b＞0$），
∵直线AB平行于x轴，
∴点A和点B的纵坐标都为$b$。
将$y=b$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$x=-\dfrac{4}{b}$，即$A(-\dfrac{4}{b},b)$；
将$y=b$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$x=\dfrac{2}{b}$，即$B(\dfrac{2}{b},b)$。
∴$AB=\dfrac{2}{b}-(-\dfrac{4}{b})=\dfrac{6}{b}$。
∵点C在x轴上，AB平行于x轴，
∴△ABC中AB边上的高等于AB到x轴的距离，即$h=b$。
∴$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB × h=\dfrac{1}{2}×\dfrac{6}{b}× b=3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的核心是抓住平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特点，通过设参数表示点坐标求线段长度，计算时参数会自动抵消得到定值，属于基础类的反比例函数应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：AB平行于x轴，因此A、B两点纵坐标相同，我们可以先设出P点的纵坐标，代入两个反比例函数解析式分别求出A、B的横坐标，进而得到AB的长度；再根据AB平行x轴的特点，可知△ABC的AB边上的高等于AB到x轴的距离（即P点纵坐标），最后代入三角形面积公式计算即可，计算过程中设的参数会消去，得到固定的面积值。
【解析】
解：设点P的坐标为$(0,b)$（$b＞0$），
∵直线AB平行于x轴，
∴点A和点B的纵坐标都为$b$。
将$y=b$代入$y=-\dfrac{4}{x}$，得$x=-\dfrac{4}{b}$，即$A(-\dfrac{4}{b},b)$；
将$y=b$代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$x=\dfrac{2}{b}$，即$B(\dfrac{2}{b},b)$。
∴$AB=\dfrac{2}{b}-(-\dfrac{4}{b})=\dfrac{6}{b}$。
∵点C在x轴上，AB平行于x轴，
∴△ABC中AB边上的高等于AB到x轴的距离，即$h=b$。
∴$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× AB × h=\dfrac{1}{2}×\dfrac{6}{b}× b=3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题解题的核心是抓住平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的特点，通过设参数表示点坐标求线段长度，计算时参数会自动抵消得到定值，属于基础类的反比例函数应用题型。
【难度系数】
0.7
11. 如图,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象交于$A(2,-1),B(\frac{1}{2},n)$两点,直线$y=2$与$y$轴交于点$C$.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式;
(2) 求$△ ABC$的面积.
(1) 求一次函数与反比例函数的解析式;
(2) 求$△ ABC$的面积.
答案
11. 一次函数的解析式为$y=2x-5$,反比例函数的解析式为$y=\dfrac{-2}{x}$.
(2) $\dfrac{21}{4}$
(2) $\dfrac{21}{4}$
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式优先使用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数表达式，求出参数m的值，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例解析式，求出纵坐标n，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到k、b的值，求出一次函数解析式。
(2) 求坐标系中三角形面积可使用割补法：首先确定点C的坐标，再求出一次函数与直线y=2的交点坐标，将△ABC的面积转化为两个同底三角形的面积差，结合水平线段长度和点到直线的竖直距离计算即可。
【解析】
(1) 求两个函数的解析式：
将$A(2,-1)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$-1=\frac{m}{2}$，解得$m=-2$
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}\ (x＞0)$
将$B(\frac{1}{2},n)$代入$y=-\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$，即$B(\frac{1}{2},-4)$
将$A(2,-1)$、$B(\frac{1}{2},-4)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=-1\\\frac{1}{2}k+b=-4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$\frac{3}{2}k=3$，解得$k=2$
将$k=2$代入$2k+b=-1$，得$4+b=-1$，解得$b=-5$
∴ 一次函数的解析式为$y=2x-5$
(2) 求$△ ABC$的面积：
∵ 直线$y=2$与$y$轴交于点$C$，
∴ $C$点坐标为$(0,2)$
求直线$y=2x-5$与直线$y=2$的交点$D$：令$y=2$，得$2=2x-5$，解得$x=\frac{7}{2}$，即$D(\frac{7}{2},2)$
∴ 线段$CD$的长度为$\frac{7}{2}-0=\frac{7}{2}$
点$A$到直线$y=2$的距离为$|2-(-1)|=3$，点$B$到直线$y=2$的距离为$|2-(-4)|=6$
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}× CD × 6 - \frac{1}{2}× CD × 3\\&=\frac{1}{2}×\frac{7}{2}×(6-3)\\&=\frac{21}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) 一次函数解析式为$\boldsymbol{y=2x-5}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{x}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{21}{4}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与反比例函数综合；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考查待定系数法的应用和坐标系内图形面积的计算方法，解题时要注意函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，计算面积时灵活使用割补法可简化运算。
【难度系数】
0.6
(1) 求解函数解析式优先使用待定系数法：先将已知点A的坐标代入反比例函数表达式，求出参数m的值，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例解析式，求出纵坐标n，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到k、b的值，求出一次函数解析式。
(2) 求坐标系中三角形面积可使用割补法：首先确定点C的坐标，再求出一次函数与直线y=2的交点坐标，将△ABC的面积转化为两个同底三角形的面积差，结合水平线段长度和点到直线的竖直距离计算即可。
【解析】
(1) 求两个函数的解析式：
将$A(2,-1)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$-1=\frac{m}{2}$，解得$m=-2$
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}\ (x＞0)$
将$B(\frac{1}{2},n)$代入$y=-\frac{2}{x}$，得：
$n=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$，即$B(\frac{1}{2},-4)$
将$A(2,-1)$、$B(\frac{1}{2},-4)$代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=-1\\\frac{1}{2}k+b=-4\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$\frac{3}{2}k=3$，解得$k=2$
将$k=2$代入$2k+b=-1$，得$4+b=-1$，解得$b=-5$
∴ 一次函数的解析式为$y=2x-5$
(2) 求$△ ABC$的面积：
∵ 直线$y=2$与$y$轴交于点$C$，
∴ $C$点坐标为$(0,2)$
求直线$y=2x-5$与直线$y=2$的交点$D$：令$y=2$，得$2=2x-5$，解得$x=\frac{7}{2}$，即$D(\frac{7}{2},2)$
∴ 线段$CD$的长度为$\frac{7}{2}-0=\frac{7}{2}$
点$A$到直线$y=2$的距离为$|2-(-1)|=3$，点$B$到直线$y=2$的距离为$|2-(-4)|=6$
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ BCD}-S_{△ ACD}\\&=\frac{1}{2}× CD × 6 - \frac{1}{2}× CD × 3\\&=\frac{1}{2}×\frac{7}{2}×(6-3)\\&=\frac{21}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) 一次函数解析式为$\boldsymbol{y=2x-5}$，反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{x}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{21}{4}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与反比例函数综合；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心考查待定系数法的应用和坐标系内图形面积的计算方法，解题时要注意函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，计算面积时灵活使用割补法可简化运算。
【难度系数】
0.6
12. 如图，直线$y=2x+3$与$y$轴交于点$A$，与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k＞0$）的图象交于点$B$，过点$B$作$BC⊥ x$轴于点$C$，且点$C$的坐标为$(1,0)$。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）$D(a,1)$是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k＞0$）图象上的点，在$x$轴上是否存在点$P$，使得$PB+PD$的值最小？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）$D(a,1)$是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k＞0$）图象上的点，在$x$轴上是否存在点$P$，使得$PB+PD$的值最小？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
12. (1) $y=\dfrac{5}{x}$
(2) 存在,点$P$的坐标为$(\dfrac{13}{3},0)$.
(2) 存在,点$P$的坐标为$(\dfrac{13}{3},0)$.
解析
【分析】
（1）求反比例函数解析式需要确定k值，因此需先求出反比例函数图象上点B的坐标：已知BC垂直x轴且C点坐标为(1,0)，可得点B的横坐标为1，将x=1代入一次函数解析式即可求出点B的纵坐标，再将B点坐标代入反比例函数即可求出k值，得到反比例函数解析式。
（2）要在x轴上找P使PB+PD最小，属于轴对称最短路径问题：作点D关于x轴的对称点D'，根据轴对称性质可得PD=PD'，则PB+PD=PB+PD'，当B、P、D'三点共线时和最小。先根据D点在反比例函数图象上求出D点坐标，再得到D'坐标，用待定系数法求直线BD'的解析式，令y=0即可求出P点横坐标。
【解析】
(1) 因为$BC⊥ x$轴，点$C$的坐标为$(1,0)$，所以点$B$的横坐标为1。
将$x=1$代入$y=2x+3$，得$y=2×1+3=5$，即点$B$的坐标为$(1,5)$。
将$B(1,5)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$5=\dfrac{k}{1}$，解得$k=5$。
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{5}{x}$。
(2) 存在符合条件的点$P$，求解过程如下：
将$D(a,1)$代入$y=\dfrac{5}{x}$，得$1=\dfrac{5}{a}$，解得$a=5$，即点$D$的坐标为$(5,1)$。
作点$D$关于$x$轴的对称点$D'$，则$D'$的坐标为$(5,-1)$，由轴对称性质可知$PD=PD'$，因此$PB+PD=PB+PD'$，当$B$、$P$、$D'$三点共线时，$PB+PD'$的值最小，即$PB+PD$最小。
设直线$BD'$的解析式为$y=mx+b$，将$B(1,5)$、$D'(5,-1)$代入得方程组：
$\begin{cases}m+b=5\\5m+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$4m=-6$，解得$m=-\dfrac{3}{2}$，将$m=-\dfrac{3}{2}$代入$m+b=5$，得$b=\dfrac{13}{2}$。
因此直线$BD'$的解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}$。
令$y=0$，得$0=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}$，解得$x=\dfrac{13}{3}$，即点$P$的坐标为$(\dfrac{13}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{5}{x}$
(2) 存在,点$P$的坐标为$(\dfrac{13}{3},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数性质；轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，第一问考查函数图象上点的坐标特征，属于基础考点；第二问结合轴对称最短路径模型，考查学生对几何最值问题的转化能力，是函数结合几何的典型考题，对学生的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）求反比例函数解析式需要确定k值，因此需先求出反比例函数图象上点B的坐标：已知BC垂直x轴且C点坐标为(1,0)，可得点B的横坐标为1，将x=1代入一次函数解析式即可求出点B的纵坐标，再将B点坐标代入反比例函数即可求出k值，得到反比例函数解析式。
（2）要在x轴上找P使PB+PD最小，属于轴对称最短路径问题：作点D关于x轴的对称点D'，根据轴对称性质可得PD=PD'，则PB+PD=PB+PD'，当B、P、D'三点共线时和最小。先根据D点在反比例函数图象上求出D点坐标，再得到D'坐标，用待定系数法求直线BD'的解析式，令y=0即可求出P点横坐标。
【解析】
(1) 因为$BC⊥ x$轴，点$C$的坐标为$(1,0)$，所以点$B$的横坐标为1。
将$x=1$代入$y=2x+3$，得$y=2×1+3=5$，即点$B$的坐标为$(1,5)$。
将$B(1,5)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$5=\dfrac{k}{1}$，解得$k=5$。
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{5}{x}$。
(2) 存在符合条件的点$P$，求解过程如下：
将$D(a,1)$代入$y=\dfrac{5}{x}$，得$1=\dfrac{5}{a}$，解得$a=5$，即点$D$的坐标为$(5,1)$。
作点$D$关于$x$轴的对称点$D'$，则$D'$的坐标为$(5,-1)$，由轴对称性质可知$PD=PD'$，因此$PB+PD=PB+PD'$，当$B$、$P$、$D'$三点共线时，$PB+PD'$的值最小，即$PB+PD$最小。
设直线$BD'$的解析式为$y=mx+b$，将$B(1,5)$、$D'(5,-1)$代入得方程组：
$\begin{cases}m+b=5\\5m+b=-1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$4m=-6$，解得$m=-\dfrac{3}{2}$，将$m=-\dfrac{3}{2}$代入$m+b=5$，得$b=\dfrac{13}{2}$。
因此直线$BD'$的解析式为$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}$。
令$y=0$，得$0=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}$，解得$x=\dfrac{13}{3}$，即点$P$的坐标为$(\dfrac{13}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{5}{x}$
(2) 存在,点$P$的坐标为$(\dfrac{13}{3},0)$
【知识点】
待定系数法求解析式；反比例函数性质；轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题型，第一问考查函数图象上点的坐标特征，属于基础考点；第二问结合轴对称最短路径模型，考查学生对几何最值问题的转化能力，是函数结合几何的典型考题，对学生的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
