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17. 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水(约10 L)，小敏每次用半盆水(约5 L).如果她们都用了5 g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5 g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2 g.
(1) 请求出小红、小敏各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x之间的函数解析式；
(2) 当洗衣粉的残留量降至0.5 g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
(1) 请求出小红、小敏各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x之间的函数解析式；
(2) 当洗衣粉的残留量降至0.5 g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
答案
17. (1) 设小红的函数的解析式为$y_1=\dfrac{k_1}{x}$,小敏的函数的解析式为$y_2=\dfrac{k_2}{x}$,把$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=1.5\end{cases}$和$\begin{cases}x_2=1,\\y_2=2\end{cases}$分别代入两个函数的解析式,得$1.5=\dfrac{k_1}{1}$,$2=\dfrac{k_2}{1}$,解得$k_1=1.5$,$k_2=2$.$\therefore$ 小红的函数的解析式为$y_1=\dfrac{1.5}{x}$($x$为正整数),小敏的函数的解析式为$y_2=\dfrac{2}{x}$($x$为正整数).
(2) 把$y=0.5$分别代入两个函数的解析式,得$\dfrac{3}{2x_1}=0.5$,$\dfrac{2}{x_2}=0.5$,解得$x_1=3$,$x_2=4$.$10×3=30(\mathrm{L})$,$5×4=20(\mathrm{L})$.$\therefore$ 小红共用水 30 L,小敏共用水 20 L,小敏的方法更值得提倡.
(2) 把$y=0.5$分别代入两个函数的解析式,得$\dfrac{3}{2x_1}=0.5$,$\dfrac{2}{x_2}=0.5$,解得$x_1=3$,$x_2=4$.$10×3=30(\mathrm{L})$,$5×4=20(\mathrm{L})$.$\therefore$ 小红共用水 30 L,小敏共用水 20 L,小敏的方法更值得提倡.
解析
【分析】
(1) 题目明确漂洗次数与洗衣粉残留量满足反比例函数关系，因此先设两人对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），再将第一次漂洗（$x=1$）时的残留量分别代入，求出对应的比例系数$k$，即可得到函数解析式，注意漂洗次数$x$为正整数。
(2) 要判断谁的漂洗方法更节水，先将$y=0.5$分别代入两人的函数解析式，求出各自需要的漂洗次数，再结合每次的用水量计算总用水量，比较总用水量的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数解析式为$y_1=\dfrac{k_1}{x}$（$k_1≠0$，$x$为正整数），小敏的函数解析式为$y_2=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x$为正整数）。
把$\begin{cases}x_1=1\\y_1=1.5\end{cases}$代入$y_1=\dfrac{k_1}{x}$，得$1.5=\dfrac{k_1}{1}$，解得$k_1=1.5$；
把$\begin{cases}x_2=1\\y_2=2\end{cases}$代入$y_2=\dfrac{k_2}{x}$，得$2=\dfrac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$。
∴ 小红的函数解析式为$y_1=\dfrac{1.5}{x}$（$x$为正整数），小敏的函数解析式为$y_2=\dfrac{2}{x}$（$x$为正整数）。
(2) 把$y=0.5$分别代入两个函数解析式：
对于小红：$\dfrac{1.5}{x_1}=0.5$，解得$x_1=3$，总用水量为$10×3=30(\mathrm{L})$；
对于小敏：$\dfrac{2}{x_2}=0.5$，解得$x_2=4$，总用水量为$5×4=20(\mathrm{L})$。
对比可知小敏的总用水量更少。
【答案】
(1) 小红：$y_1=\dfrac{1.5}{x}$（$x$为正整数）；小敏：$y_2=\dfrac{2}{x}$（$x$为正整数）
(2) 小敏的漂洗方法值得提倡，因为漂洗干净时小敏共用水20L，比小红的30L更节约用水。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的洗衣场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合实际需求计算比较，很好地体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确漂洗次数与洗衣粉残留量满足反比例函数关系，因此先设两人对应的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），再将第一次漂洗（$x=1$）时的残留量分别代入，求出对应的比例系数$k$，即可得到函数解析式，注意漂洗次数$x$为正整数。
(2) 要判断谁的漂洗方法更节水，先将$y=0.5$分别代入两人的函数解析式，求出各自需要的漂洗次数，再结合每次的用水量计算总用水量，比较总用水量的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数解析式为$y_1=\dfrac{k_1}{x}$（$k_1≠0$，$x$为正整数），小敏的函数解析式为$y_2=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$，$x$为正整数）。
把$\begin{cases}x_1=1\\y_1=1.5\end{cases}$代入$y_1=\dfrac{k_1}{x}$，得$1.5=\dfrac{k_1}{1}$，解得$k_1=1.5$；
把$\begin{cases}x_2=1\\y_2=2\end{cases}$代入$y_2=\dfrac{k_2}{x}$，得$2=\dfrac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$。
∴ 小红的函数解析式为$y_1=\dfrac{1.5}{x}$（$x$为正整数），小敏的函数解析式为$y_2=\dfrac{2}{x}$（$x$为正整数）。
(2) 把$y=0.5$分别代入两个函数解析式：
对于小红：$\dfrac{1.5}{x_1}=0.5$，解得$x_1=3$，总用水量为$10×3=30(\mathrm{L})$；
对于小敏：$\dfrac{2}{x_2}=0.5$，解得$x_2=4$，总用水量为$5×4=20(\mathrm{L})$。
对比可知小敏的总用水量更少。
【答案】
(1) 小红：$y_1=\dfrac{1.5}{x}$（$x$为正整数）；小敏：$y_2=\dfrac{2}{x}$（$x$为正整数）
(2) 小敏的漂洗方法值得提倡，因为漂洗干净时小敏共用水20L，比小红的30L更节约用水。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的洗衣场景考查反比例函数的相关知识，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合实际需求计算比较，很好地体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
18. 正在新建中的某会议大厅的地面约$500\ \mathrm{m}^2$，现要铺地板砖.
（1）所需地板砖的块数$n$与每块地板砖的面积$S$有怎样的函数关系？
（2）为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种地板砖组合成蓝白相间的图案，每块地板砖的规格为$80\ \mathrm{cm}×80\ \mathrm{cm}$，若蓝、白两种地板砖数相等，则需这种地板砖各多少块？
（1）所需地板砖的块数$n$与每块地板砖的面积$S$有怎样的函数关系？
（2）为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种地板砖组合成蓝白相间的图案，每块地板砖的规格为$80\ \mathrm{cm}×80\ \mathrm{cm}$，若蓝、白两种地板砖数相等，则需这种地板砖各多少块？
答案
18. (1) $\because nS=500$,$\therefore n=\dfrac{500}{S}$,$\therefore n$是$S$的反比例函数.
(2) $80×80=6\ 400(\mathrm{cm}^2)$,$6\ 400\ \mathrm{cm}^2=0.64\ \mathrm{m}^2$. 当$S=0.64$时,$n=\dfrac{500}{S}=\dfrac{500}{0.64}=781.25\approx782$.$\because$ 蓝、白两种地板砖数相等,$\therefore$ 需蓝色和白色地砖各 391 块.
(2) $80×80=6\ 400(\mathrm{cm}^2)$,$6\ 400\ \mathrm{cm}^2=0.64\ \mathrm{m}^2$. 当$S=0.64$时,$n=\dfrac{500}{S}=\dfrac{500}{0.64}=781.25\approx782$.$\because$ 蓝、白两种地板砖数相等,$\therefore$ 需蓝色和白色地砖各 391 块.
解析
【分析】
（1）要确定所需地板砖块数$n$与每块地板砖面积$S$的函数关系，首先抓住核心等量关系：每块砖面积×总块数=地面总面积，已知地面总面积固定为$500\mathrm{m}^2$，将等量关系变形即可得到$n$关于$S$的表达式，再判断函数类型。
（2）先根据地砖规格计算单块砖的面积，注意统一单位为平方米，再将单块面积代入第一问得到的函数式求出总块数；实际生活中地砖数量必须为正整数，需用进一法取近似值，最后结合蓝、白地砖数量相等的条件，将总块数平分即可得到两种地砖各自的数量。
【解析】
（1）由题意得，地面总面积等于所有地砖的面积和，即$nS=500$，变形可得$n=\dfrac{500}{S}(S＞0)$，符合反比例函数的形式，因此$n$是$S$的反比例函数。
（2）首先计算单块地砖的面积：
$80×80=6400(\mathrm{cm}^2)$
单位换算得：$6400\mathrm{cm}^2=0.64\mathrm{m}^2$
将$S=0.64$代入$n=\dfrac{500}{S}$得：
$n=\dfrac{500}{0.64}=781.25$
因地砖数量为正整数，少一块无法铺满地面，故取$n\approx782$块。
已知蓝、白地砖数量相等，因此每种地砖的数量为$782÷2=391$块。
【答案】
（1）$n=\dfrac{500}{S}$，$n$是$S$的反比例函数；
（2）需蓝色、白色地板砖各391块。
【知识点】
反比例函数的应用，面积单位换算，实际问题取整
【点评】
本题结合生活中的装修场景考查反比例函数的实际应用，解题时要注意先统一单位，再结合函数关系式计算，同时要结合实际情况对结果取合理的近似值，避免出现不符合实际的结论。
【难度系数】
0.8
（1）要确定所需地板砖块数$n$与每块地板砖面积$S$的函数关系，首先抓住核心等量关系：每块砖面积×总块数=地面总面积，已知地面总面积固定为$500\mathrm{m}^2$，将等量关系变形即可得到$n$关于$S$的表达式，再判断函数类型。
（2）先根据地砖规格计算单块砖的面积，注意统一单位为平方米，再将单块面积代入第一问得到的函数式求出总块数；实际生活中地砖数量必须为正整数，需用进一法取近似值，最后结合蓝、白地砖数量相等的条件，将总块数平分即可得到两种地砖各自的数量。
【解析】
（1）由题意得，地面总面积等于所有地砖的面积和，即$nS=500$，变形可得$n=\dfrac{500}{S}(S＞0)$，符合反比例函数的形式，因此$n$是$S$的反比例函数。
（2）首先计算单块地砖的面积：
$80×80=6400(\mathrm{cm}^2)$
单位换算得：$6400\mathrm{cm}^2=0.64\mathrm{m}^2$
将$S=0.64$代入$n=\dfrac{500}{S}$得：
$n=\dfrac{500}{0.64}=781.25$
因地砖数量为正整数，少一块无法铺满地面，故取$n\approx782$块。
已知蓝、白地砖数量相等，因此每种地砖的数量为$782÷2=391$块。
【答案】
（1）$n=\dfrac{500}{S}$，$n$是$S$的反比例函数；
（2）需蓝色、白色地板砖各391块。
【知识点】
反比例函数的应用，面积单位换算，实际问题取整
【点评】
本题结合生活中的装修场景考查反比例函数的实际应用，解题时要注意先统一单位，再结合函数关系式计算，同时要结合实际情况对结果取合理的近似值，避免出现不符合实际的结论。
【难度系数】
0.8
19. 为预防手足口病，某校对教室进行药熏消毒.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量$y$(单位：mg)与燃烧时间$x$(单位：min)成正比例；燃烧后，$y$与$x$成反比例，如图所示.现测得药物10 min燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.据以上信息解答下列问题：
(1) 求药物燃烧时$y$与$x$之间的函数的解析式；
(2) 求药物燃烧后$y$与$x$之间的函数的解析式；
(3) 当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
(1) 求药物燃烧时$y$与$x$之间的函数的解析式；
(2) 求药物燃烧后$y$与$x$之间的函数的解析式；
(3) 当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
答案
19. (1) 设药物燃烧阶段的函数的解析式为$y=k_1x$（$k_1≠0$）,由题意,得$8=10k_1$,解得$k_1=\dfrac{4}{5}$.$\therefore$ 此阶段的函数的解析式为$y=\dfrac{4}{5}x(0≤ x≤10)$.
(2) 设药物燃烧后的函数的解析式为$y=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）,由题意得$8=\dfrac{k_2}{10}$,解得$k_2=80$.$\therefore$ 此阶段函数的解析式为$y=\dfrac{80}{x}(x＞10)$.
(3) 由题意,得$\dfrac{80}{x}＜1.6$,解得$x＞50$.$\therefore$ 从消毒开始,经过 50 min 后学生才可回教室.
(2) 设药物燃烧后的函数的解析式为$y=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）,由题意得$8=\dfrac{k_2}{10}$,解得$k_2=80$.$\therefore$ 此阶段函数的解析式为$y=\dfrac{80}{x}(x＞10)$.
(3) 由题意,得$\dfrac{80}{x}＜1.6$,解得$x＞50$.$\therefore$ 从消毒开始,经过 50 min 后学生才可回教室.
解析
【分析】
本题为分阶段的函数实际应用问题，解题思路如下：
(1) 药物燃烧阶段y与x成正比例，因此设正比例函数解析式，已知该函数过点(10,8)，将点代入即可求出比例系数，同时注明自变量x的取值范围为燃烧时间段$0≤ x≤10$。
(2) 燃烧结束后y与x成反比例，设反比例函数解析式，同样代入点(10,8)求出反比例系数，自变量x的取值范围为$x＞10$。
(3) 含药量低于1.6mg属于燃烧结束后的下降阶段，因此代入第二问得到的反比例函数解析式列不等式求解，得到的最小x值就是学生可回教室的时间。
【解析】
(1) 设药物燃烧时y与x的函数解析式为$y=k_1x$（$k_1≠0$），
将$x=10,y=8$代入解析式，得$8=10k_1$，解得$k_1=\frac{4}{5}$，
因此药物燃烧时的函数解析式为$y=\frac{4}{5}x(0≤ x≤10)$。
(2) 设药物燃烧后y与x的函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
将$x=10,y=8$代入解析式，得$8=\frac{k_2}{10}$，解得$k_2=80$，
因此药物燃烧后的函数解析式为$y=\frac{80}{x}(x＞10)$。
(3) 含药量低于1.6mg时处于燃烧后的下降阶段，令$\frac{80}{x}＜1.6$，
解不等式：两边同乘正数x得$80＜1.6x$，解得$x＞50$。
即经过50min后空气中含药量低于1.6mg，学生可以回教室。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{5}x(0≤ x≤ 10)$
(2) $y=\dfrac{80}{x}(x＞10)$
(3) $\boldsymbol{50\ \mathrm{min}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数应用，反比例函数应用
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题关键是准确区分不同阶段对应的函数类型，利用已知点求出对应解析式，解决实际问题时要注意对应正确的函数区间，避免错用解析式。
【难度系数】
0.7
本题为分阶段的函数实际应用问题，解题思路如下：
(1) 药物燃烧阶段y与x成正比例，因此设正比例函数解析式，已知该函数过点(10,8)，将点代入即可求出比例系数，同时注明自变量x的取值范围为燃烧时间段$0≤ x≤10$。
(2) 燃烧结束后y与x成反比例，设反比例函数解析式，同样代入点(10,8)求出反比例系数，自变量x的取值范围为$x＞10$。
(3) 含药量低于1.6mg属于燃烧结束后的下降阶段，因此代入第二问得到的反比例函数解析式列不等式求解，得到的最小x值就是学生可回教室的时间。
【解析】
(1) 设药物燃烧时y与x的函数解析式为$y=k_1x$（$k_1≠0$），
将$x=10,y=8$代入解析式，得$8=10k_1$，解得$k_1=\frac{4}{5}$，
因此药物燃烧时的函数解析式为$y=\frac{4}{5}x(0≤ x≤10)$。
(2) 设药物燃烧后y与x的函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
将$x=10,y=8$代入解析式，得$8=\frac{k_2}{10}$，解得$k_2=80$，
因此药物燃烧后的函数解析式为$y=\frac{80}{x}(x＞10)$。
(3) 含药量低于1.6mg时处于燃烧后的下降阶段，令$\frac{80}{x}＜1.6$，
解不等式：两边同乘正数x得$80＜1.6x$，解得$x＞50$。
即经过50min后空气中含药量低于1.6mg，学生可以回教室。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{5}x(0≤ x≤ 10)$
(2) $y=\dfrac{80}{x}(x＞10)$
(3) $\boldsymbol{50\ \mathrm{min}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数应用，反比例函数应用
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题关键是准确区分不同阶段对应的函数类型，利用已知点求出对应解析式，解决实际问题时要注意对应正确的函数区间，避免错用解析式。
【难度系数】
0.7
