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1. 用反证法证明“在$△ ABC$中，若$∠ A＞∠ B＞∠ C$，则$∠ A＞60°$”时，应先假设（
A.$∠ A=60°$
B.$∠ A＜60°$
C.$∠ A≠60°$
D.$∠ A≤60°$
D
）A.$∠ A=60°$
B.$∠ A＜60°$
C.$∠ A≠60°$
D.$∠ A≤60°$
答案
1.D
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的基本步骤，反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是要找出原结论的反面表述。原命题的结论是“∠A＞60°”，我们需要推导这个结论的否定形式：“大于”的相反情况包含“小于”和“等于”两种，因此“∠A＞60°”的反面就是“∠A≤60°”，由此就能确定正确的假设内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先要假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题中原命题的结论为“∠A＞60°”，其反面为“∠A≤60°”，因此应先假设∠A≤60°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确对原结论进行否定，需注意“＞”的否定是“≤”，不要遗漏等于的情况，属于对反证法基本步骤的常规考查。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的基本步骤，反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是要找出原结论的反面表述。原命题的结论是“∠A＞60°”，我们需要推导这个结论的否定形式：“大于”的相反情况包含“小于”和“等于”两种，因此“∠A＞60°”的反面就是“∠A≤60°”，由此就能确定正确的假设内容。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先要假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题中原命题的结论为“∠A＞60°”，其反面为“∠A≤60°”，因此应先假设∠A≤60°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是准确对原结论进行否定，需注意“＞”的否定是“≤”，不要遗漏等于的情况，属于对反证法基本步骤的常规考查。
【难度系数】
0.8
2.如图,在正方形方格中,A,B,C,D,E,P均在格点处,则点P是 (
A.$△ ACE$ 的外心
B.$△ ABD$ 的外心
C.$△ ACD$ 的外心
D.$△ BCE$ 的外心
D
)A.$△ ACE$ 的外心
B.$△ ABD$ 的外心
C.$△ ACD$ 的外心
D.$△ BCE$ 的外心
答案
2.D
解析
【分析】
要判断点P是哪个三角形的外心，首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。因此我们可以设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算点P到各顶点的距离（通过比较距离的平方简化计算，无需开方），逐一验证点P到选项中三角形三个顶点的距离是否相等即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算点P到各相关顶点距离的平方：
计算得：$PC^2=1^2+3^2=10$，$PB^2=3^2+1^2=10$，$PE^2=3^2+1^2=10$，因此$PC=PB=PE$，即点P到$△ BCE$的三个顶点距离相等。
验证其余选项：点P到$△ ACE$的A点距离平方为$PA^2=2^2+1^2=5≠10$；到$△ ABD$的D点距离平方为$PD^2=1^2+1^2=2≠5$；到$△ ACD$的D点距离平方为$2≠10$，均不符合外心的性质。
因此点P是$△ BCE$的外心。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题结合方格背景考查三角形外心的判定，解题核心是利用外心到三角形三顶点距离相等的性质，结合勾股定理计算格点间的距离，难度不大，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要判断点P是哪个三角形的外心，首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。因此我们可以设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算点P到各顶点的距离（通过比较距离的平方简化计算，无需开方），逐一验证点P到选项中三角形三个顶点的距离是否相等即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算点P到各相关顶点距离的平方：
计算得：$PC^2=1^2+3^2=10$，$PB^2=3^2+1^2=10$，$PE^2=3^2+1^2=10$，因此$PC=PB=PE$，即点P到$△ BCE$的三个顶点距离相等。
验证其余选项：点P到$△ ACE$的A点距离平方为$PA^2=2^2+1^2=5≠10$；到$△ ABD$的D点距离平方为$PD^2=1^2+1^2=2≠5$；到$△ ACD$的D点距离平方为$2≠10$，均不符合外心的性质。
因此点P是$△ BCE$的外心。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题结合方格背景考查三角形外心的判定，解题核心是利用外心到三角形三顶点距离相等的性质，结合勾股定理计算格点间的距离，难度不大，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
3.如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$为$\odot O$的一条弦，直角边$AC$经过圆心$O$.已知$BC=3$，$AC=4$，则$OA$的长为（
A.$\dfrac{25}{8}$
B.$\dfrac{7}{2}$
C.$\dfrac{16}{5}$
D.$\dfrac{15}{4}$
A
）A.$\dfrac{25}{8}$
B.$\dfrac{7}{2}$
C.$\dfrac{16}{5}$
D.$\dfrac{15}{4}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：Rt△ABC中∠C为直角，BC=3，AC=4，OA是⊙O的半径，同圆半径相等可得OB=OA。我们可以设OA的长度为未知数，观察发现△OBC也是直角三角形，可利用勾股定理建立关于未知数的方程，求解方程即可得到OA的长度。
【解析】
解：设$OA=r$，
∵$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=r$，
∵$AC=4$，
∴$OC=AC-OA=4-r$，
在$\mathrm{Rt}△OBC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$OB^2=OC^2+BC^2$
代入$BC=3$得：
$r^2=(4-r)^2+3^2$
展开得：$r^2=16-8r+r^2+9$
消去$r^2$整理得：$8r=25$
解得：$r=\dfrac{25}{8}$，即$OA$的长为$\dfrac{25}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径性质；勾股定理；方程法解几何题
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题突破口是利用同圆半径相等得到$OB=OA$，再结合勾股定理建立方程求解，熟练掌握方程思想在几何计算中的应用即可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：Rt△ABC中∠C为直角，BC=3，AC=4，OA是⊙O的半径，同圆半径相等可得OB=OA。我们可以设OA的长度为未知数，观察发现△OBC也是直角三角形，可利用勾股定理建立关于未知数的方程，求解方程即可得到OA的长度。
【解析】
解：设$OA=r$，
∵$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=r$，
∵$AC=4$，
∴$OC=AC-OA=4-r$，
在$\mathrm{Rt}△OBC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$OB^2=OC^2+BC^2$
代入$BC=3$得：
$r^2=(4-r)^2+3^2$
展开得：$r^2=16-8r+r^2+9$
消去$r^2$整理得：$8r=25$
解得：$r=\dfrac{25}{8}$，即$OA$的长为$\dfrac{25}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径性质；勾股定理；方程法解几何题
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题突破口是利用同圆半径相等得到$OB=OA$，再结合勾股定理建立方程求解，熟练掌握方程思想在几何计算中的应用即可快速解答此类题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D.已知CD＝4，OD＝3，则AB的长是
10
。答案
4.10
解析
【分析】
要求直径AB的长，需先求出圆的半径。首先连接OC，OC即为⊙O的半径。由CD⊥AB可知△ODC是直角三角形，已知直角边CD和OD的长度，可通过勾股定理求出斜边OC的长度，再根据直径是半径的2倍即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，CD=4，OD=3，
根据勾股定理得：$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵OC是⊙O的半径，AB是⊙O的直径，
∴AB=2OC=2×5=10。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；直径与半径的关系
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求解，属于基础常考题型，主要考查学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.9
要求直径AB的长，需先求出圆的半径。首先连接OC，OC即为⊙O的半径。由CD⊥AB可知△ODC是直角三角形，已知直角边CD和OD的长度，可通过勾股定理求出斜边OC的长度，再根据直径是半径的2倍即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°，
在Rt△ODC中，CD=4，OD=3，
根据勾股定理得：$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵OC是⊙O的半径，AB是⊙O的直径，
∴AB=2OC=2×5=10。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；直径与半径的关系
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题关键是通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求解，属于基础常考题型，主要考查学生对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.9
5.下列图所示的是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫作格点.请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)如图①,△ABC的三个顶点均在格点上,请画出△ABC的外心点O.
(2)如图②,请画出∠ACB的平分线CD,交⊙O于点D.
(1)如图①,△ABC的三个顶点均在格点上,请画出△ABC的外心点O.
(2)如图②,请画出∠ACB的平分线CD,交⊙O于点D.
答案
5.解:(1)如图①,点O即为所求.
(2)如图②,CD即为所求.
解析
【分析】
(1)要作△ABC的外心，首先回忆外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题思路为：找到△ABC任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求的外心O，在网格中可通过格点位置确定边的中点，结合网格线的垂直关系画出垂直平分线。
(2)要作∠ACB的平分线CD，根据圆周角定理：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，反过来，要使∠ACD=∠BCD，只需要让这两个角所对的弧AD和弧BD相等，即D是劣弧AB的中点，找到该中点后连接CD即可得到角平分线。
【解析】
(1)三角形外心为三边垂直平分线的交点，选取AB、BC两条边：先确定AB边的中点，结合网格特点画出AB的垂直平分线，再确定BC边的中点，画出BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O。
(2)根据圆周角定理，若CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD，二者对应的弧AD、弧BD相等，因此D是劣弧AB的中点。观察网格与圆的位置，找到劣弧AB的中点D，连接CD，CD即为∠ACB的平分线。
【答案】
(1)如图①,点O即为所求.
(2)如图②,CD即为所求.
【知识点】
三角形外心定义；垂直平分线性质；圆周角定理
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图题，需要结合几何性质确定作图路径，要求学生熟练掌握相关几何概念与定理，能灵活运用性质解决作图问题，较好地考查了几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要作△ABC的外心，首先回忆外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题思路为：找到△ABC任意两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是所求的外心O，在网格中可通过格点位置确定边的中点，结合网格线的垂直关系画出垂直平分线。
(2)要作∠ACB的平分线CD，根据圆周角定理：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，反过来，要使∠ACD=∠BCD，只需要让这两个角所对的弧AD和弧BD相等，即D是劣弧AB的中点，找到该中点后连接CD即可得到角平分线。
【解析】
(1)三角形外心为三边垂直平分线的交点，选取AB、BC两条边：先确定AB边的中点，结合网格特点画出AB的垂直平分线，再确定BC边的中点，画出BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O。
(2)根据圆周角定理，若CD平分∠ACB，则∠ACD=∠BCD，二者对应的弧AD、弧BD相等，因此D是劣弧AB的中点。观察网格与圆的位置，找到劣弧AB的中点D，连接CD，CD即为∠ACB的平分线。
【答案】
(1)如图①,点O即为所求.
(2)如图②,CD即为所求.
【知识点】
三角形外心定义；垂直平分线性质；圆周角定理
【点评】
本题属于网格无刻度直尺作图题，需要结合几何性质确定作图路径，要求学生熟练掌握相关几何概念与定理，能灵活运用性质解决作图问题，较好地考查了几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6. 根据《尔雅·释器》中对玉环的解释，如图①所示的玉环示意图中中孔直径 $ d = 2h $，图②为这枚玉环的示意图，$\overset{\frown}{AB}$ 表示部分玉环的外围边缘. 设 $\overset{\frown}{AB}$ 所在圆的圆心为 $ O $，连接 $ AB $，$ C $ 为 $ \odot O $ 上一点，$ OC ⊥ AB $，垂足为 $ D $，测得弦 $ AB = 6 \ \mathrm{cm} $，$ CD = 1 \ \mathrm{cm} $，则中孔直径 $ d $ 的长为（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
C
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
6.C 【解析】如图,连接 OB.
∵OC⊥AB,
∴AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3(cm).
由题意,得 OB=OC=d cm,
∴OD=OC
−CD=(d−1)cm.
∵OB²=OD²+BD²,
∴d²=(d−1)²+3²,
∴d=5,即中孔直径 d 的长为 5 cm.
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，看到OC垂直于弦AB，首先想到运用垂径定理求出弦AB一半的长度；接着结合题干中d=2h的条件，明确外围大圆半径与d的关系，用含d的代数式表示出Rt△ODB中OD的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，求解即可得到d的取值。
【解析】
如图，连接OB。
∵ OC⊥AB，AB=6 cm，
∴ 由垂径定理可得，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
结合题干中孔直径d=2h的条件可知，$\overset{\frown}{AB}$所在大圆的半径为d，因此$OB=OC=d\ \mathrm{cm}$。
又
∵ CD=1 cm，
∴ $OD=OC-CD=(d-1)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ODB中，根据勾股定理有$OB^2=OD^2+BD^2$，代入数据得：
$d^2=(d-1)^2+3^2$
展开计算：$d^2=d^2-2d+1+9$
移项化简得：$2d=10$，解得$d=5$。
即中孔直径d的长为5 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以传统文化中的玉环为背景，考查圆中线段长度的计算，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征，看到OC垂直于弦AB，首先想到运用垂径定理求出弦AB一半的长度；接着结合题干中d=2h的条件，明确外围大圆半径与d的关系，用含d的代数式表示出Rt△ODB中OD的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，求解即可得到d的取值。
【解析】
如图，连接OB。
∵ OC⊥AB，AB=6 cm，
∴ 由垂径定理可得，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
结合题干中孔直径d=2h的条件可知，$\overset{\frown}{AB}$所在大圆的半径为d，因此$OB=OC=d\ \mathrm{cm}$。
又
∵ CD=1 cm，
∴ $OD=OC-CD=(d-1)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ODB中，根据勾股定理有$OB^2=OD^2+BD^2$，代入数据得：
$d^2=(d-1)^2+3^2$
展开计算：$d^2=d^2-2d+1+9$
移项化简得：$2d=10$，解得$d=5$。
即中孔直径d的长为5 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题以传统文化中的玉环为背景，考查圆中线段长度的计算，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用，是圆章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
7. 一题多解法 如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，点P在$\overset{\frown}{CD}$上. 若∠PCB=130°,则∠PBA等于（
A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
B
）A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
答案
7.B 【解析】如图,连接 OB,OC.
∵AD是半圆O的直径,
∴∠AOD=180°.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠AOB=
∠BOC=∠COD=60°.
∵OA=OB=OC,
∴△AOB 和△BOC 均是等边三角形,
∴∠ABO=∠CBO=∠BCO=60°,
∴∠ABC=
∠ABO+∠CBO=120°.
∵∠BPC 是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,∠BOC 是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角,
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°.
∵∠PCB=130°,
∴∠PBC=180°−∠BPC−∠PCB
=180°−30°−130°=20°,
∴∠PBA=∠ABC−∠PBC=120°−20°=100°.
一题多解法 如图,连接 OP.
∵OC=OP,
∴△COP 是等腰三角形.
∵∠PCB=130°,
∴∠OPC=∠OCP=
∠PCB−∠BCO=130°−60°=70°,
∴∠COP=
180°−∠OPC−∠OCP=180°−70°−70°=40°,
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠COP=$\frac{1}{2}$×40°=20°,
∴∠PBA
=∠ABC−∠PBC=120°−20°=100°.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的等弧、直径条件分析：第一步利用直径对应平角180°，结合三等分弧的条件得到三个相等的圆心角均为60°，进而推出△AOB、△BOC是等边三角形，得到∠ABC的度数。接下来求∠PBC即可算出∠PBA，有两种常见思路：思路1：利用同弧所对圆周角是圆心角的一半，先得到$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角∠BPC=30°，再结合△PBC内角和为180°算出∠PBC；思路2：连接OP，利用等腰三角形性质先求出∠COP的度数，再通过圆周角定理得到∠PBC的度数，最后用∠ABC减去∠PBC即可得到所求角度。
【解析】
方法一：连接OB、OC。
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AOD=180°。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{180°}{3}=60°$。
∵OA=OB=OC，
∴△AOB和△BOC均为等边三角形，
∴$∠ ABO=∠ CBO=∠ BCO=60°$，即$∠ ABC=∠ ABO+∠ CBO=120°$。
∵∠BPC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°$。
在△PBC中，∠PCB=130°，
∴$∠ PBC=180°-∠ BPC-∠ PCB=180°-30°-130°=20°$，
∴$∠ PBA=∠ ABC-∠ PBC=120°-20°=100°$。
方法二：连接OB、OC、OP。
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AOD=180°。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60°$。
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴$∠ BCO=60°$，同理可得$∠ ABC=120°$。
∵OC=OP，
∴△COP是等腰三角形，
∵∠PCB=130°，
∴$∠ OCP=∠ PCB-∠ BCO=130°-60°=70°$，
∴$∠ OPC=∠ OCP=70°$，即$∠ COP=180°-70°-70°=40°$。
∵∠PBC是$\overset{\frown}{PC}$所对的圆周角，∠COP是$\overset{\frown}{PC}$所对的圆心角，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ COP=20°$，
∴$∠ PBA=∠ ABC-∠ PBC=120°-20°=100°$。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题核心是利用等弧的性质推出特殊圆心角，结合圆周角定理与三角形内角和即可求解，一题多解的设计能帮助大家从不同角度理解圆的相关性质，拓展解题思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知的等弧、直径条件分析：第一步利用直径对应平角180°，结合三等分弧的条件得到三个相等的圆心角均为60°，进而推出△AOB、△BOC是等边三角形，得到∠ABC的度数。接下来求∠PBC即可算出∠PBA，有两种常见思路：思路1：利用同弧所对圆周角是圆心角的一半，先得到$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角∠BPC=30°，再结合△PBC内角和为180°算出∠PBC；思路2：连接OP，利用等腰三角形性质先求出∠COP的度数，再通过圆周角定理得到∠PBC的度数，最后用∠ABC减去∠PBC即可得到所求角度。
【解析】
方法一：连接OB、OC。
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AOD=180°。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{180°}{3}=60°$。
∵OA=OB=OC，
∴△AOB和△BOC均为等边三角形，
∴$∠ ABO=∠ CBO=∠ BCO=60°$，即$∠ ABC=∠ ABO+∠ CBO=120°$。
∵∠BPC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=30°$。
在△PBC中，∠PCB=130°，
∴$∠ PBC=180°-∠ BPC-∠ PCB=180°-30°-130°=20°$，
∴$∠ PBA=∠ ABC-∠ PBC=120°-20°=100°$。
方法二：连接OB、OC、OP。
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AOD=180°。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60°$。
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴$∠ BCO=60°$，同理可得$∠ ABC=120°$。
∵OC=OP，
∴△COP是等腰三角形，
∵∠PCB=130°，
∴$∠ OCP=∠ PCB-∠ BCO=130°-60°=70°$，
∴$∠ OPC=∠ OCP=70°$，即$∠ COP=180°-70°-70°=40°$。
∵∠PBC是$\overset{\frown}{PC}$所对的圆周角，∠COP是$\overset{\frown}{PC}$所对的圆心角，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ COP=20°$，
∴$∠ PBA=∠ ABC-∠ PBC=120°-20°=100°$。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题核心是利用等弧的性质推出特殊圆心角，结合圆周角定理与三角形内角和即可求解，一题多解的设计能帮助大家从不同角度理解圆的相关性质，拓展解题思维。
【难度系数】
0.7
8.如图，点A，B，C，D，E均在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数为$30°$，则$∠ C + ∠ E$的度数为
165°
。答案
8. 165° 【解析】如图,连接 AE.
∵$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数为 30°,
∴∠AEB=15°.
∵四边形 ACDE 为$\odot O$的内接四边形,
∴∠C+∠AED=180°,
∴∠C+∠BED
+∠AEB=180°,
∴∠C+∠BED=180°−15°=165°.
解析
【分析】
要求∠C+∠E的度数，首先观察图形，二者没有直接的数量关系，因此考虑添加辅助线建立联系。已知$\overset{\frown}{AB}$的圆心角度数，可连接AE，先利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角∠AEB的度数；再根据圆内接四边形的对角互补性质，得到∠C与∠AED的和为180°，而∠AED是∠AEB与∠E（即∠BED）的和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
如图，连接AE.
∵$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数为$30°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ AEB=\frac{1}{2}×30°=15°$.
∵四边形ACDE为$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，
∴$∠ C+∠ AED=180°$,
又
∵$∠ AED=∠ BED+∠ AEB$，其中$∠ BED$即为题目中的$∠ E$，
∴$∠ C+∠ BED+∠ AEB=180°$,
∴$∠ C+∠ E=∠ C+∠ BED=180°−15°=165°$.
【答案】
$165°$
【知识点】
1. 圆周角定理；2. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础计算题型，解题的核心是合理添加辅助线，将所求角与已知条件通过圆周角定理、圆内接四边形的性质建立关联，熟练掌握圆的相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求∠C+∠E的度数，首先观察图形，二者没有直接的数量关系，因此考虑添加辅助线建立联系。已知$\overset{\frown}{AB}$的圆心角度数，可连接AE，先利用圆周角定理求出$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角∠AEB的度数；再根据圆内接四边形的对角互补性质，得到∠C与∠AED的和为180°，而∠AED是∠AEB与∠E（即∠BED）的和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
如图，连接AE.
∵$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数为$30°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ AEB=\frac{1}{2}×30°=15°$.
∵四边形ACDE为$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，
∴$∠ C+∠ AED=180°$,
又
∵$∠ AED=∠ BED+∠ AEB$，其中$∠ BED$即为题目中的$∠ E$，
∴$∠ C+∠ BED+∠ AEB=180°$,
∴$∠ C+∠ E=∠ C+∠ BED=180°−15°=165°$.
【答案】
$165°$
【知识点】
1. 圆周角定理；2. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础计算题型，解题的核心是合理添加辅助线，将所求角与已知条件通过圆周角定理、圆内接四边形的性质建立关联，熟练掌握圆的相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
