变式题1 改变图形
如图,点A,B,C,D,E均在$\odot O$上,$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数为$30°$,则$∠ C+∠ E$的度数为.

变式题1 195° 【解析】如图,连接 BE.
∵$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数为 30°,
∴∠AEB=15°.
∵四边形 BCDE 为圆内接四边形,
∴∠C+∠BED=180°,
∴∠C+∠AED=180°+15°=195°.

【分析】
要求∠C+∠E（即∠C+∠AED）的度数，可通过添加辅助线转化角的关系：首先回忆圆内接四边形对角互补的性质，我们连接BE构造圆内接四边形BCDE，即可得到∠C与∠BED的和为180°；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，利用已知的$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角度数求出∠AEB的度数，最后将两部分角度相加即可得到最终结果。
【解析】
如图，连接BE。
∵$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角的度数为30°，
∴根据圆周角定理，$∠ AEB = \frac{1}{2} × 30° = 15°$。
∵四边形BCDE为$\odot O$的内接四边形，
∴根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ C + ∠ BED = 180°$。
又
∵$∠ AED = ∠ BED + ∠ AEB$，
∴$∠ C + ∠ AED = ∠ C + ∠ BED + ∠ AEB = 180° + 15° = 195°$。

【答案】
$195°$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题型，解题关键是通过添加辅助线构造圆内接四边形，将所求角的和拆分转化为已知的互补角与圆周角的和，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.7

变式题2 探索规律
如图,点A,B,C,D,E均在$\odot O$上,$∠ AOB=α$,则$∠ C+∠ E$的度数为。

变式题2 $180°-\dfrac{1}{2}α$ 【解析】如图,连接 AE.
∵∠AOB=α,
∴∠AEB=$\frac{1}{2}α$.
∵四边形 ACDE 为圆内接四边形,
∴∠C+∠AED=180°,
∴∠C+∠BED=180°−$\frac{1}{2}α$.

【分析】
要求∠C+∠E的度数，已知圆心角∠AOB=α，我们可以结合圆的相关性质求解：首先作辅助线连接AE，利用圆周角定理将圆心角∠AOB转化为同弧所对的圆周角∠AEB，再结合圆内接四边形对角互补的性质，把待求的∠C和∠E与已知角建立关联，通过代换即可求出结果。
【解析】
连接AE，
∵ ∠AOB=α，∠AOB与∠AEB同为弧AB所对的角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴ $∠ AEB=\frac{1}{2}α$，
∵ 四边形ACDE是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴ $∠ C + ∠ AED = 180°$，
又
∵ $∠ AED = ∠ AEB + ∠ BED$（∠BED即题中∠E），
代入得 $∠ C + ∠ AEB + ∠ E = 180°$，
将$∠ AEB=\frac{1}{2}α$代入移项可得：
$∠ C + ∠ E = 180° - \frac{1}{2}α$。

【答案】
$180°-\dfrac{1}{2}α$
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，核心是通过构造辅助线完成已知条件和待求量的关联，考查对圆周角定理、圆内接四边形性质的掌握程度和角度转化的能力，熟练掌握相关定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7

9.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2.以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积为（）


A.π－2
B.2π－2
C.2π－4
D.4π－4

9.C

【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形特征：阴影是圆心分别为A、B的两个扇形的重叠区域。我们可以利用“重叠部分面积=两个扇形面积之和 - 覆盖区域的总面积”的思路求解，这里两个扇形的覆盖区域刚好是等腰直角三角形ABC的面积，因此只需分别计算两个扇形的面积和、三角形ABC的面积，再作差即可得到阴影面积。首先根据等腰直角三角形的性质求出圆心角∠A、∠B的度数和三角形的面积，再利用扇形面积公式计算两个扇形的面积和，最后作差得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，
∴∠A=∠B=45°，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
单个扇形（以A为圆心为例）的面积：
$S_{\mathrm{扇形}} = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360} = \frac{45π × 8}{360} = π$，
两个扇形的面积和为：$2×π=2π$。
观察图形可得：两个扇形的面积之和 = $S_{△ ABC} + S_{\mathrm{阴影}}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}} = 2S_{\mathrm{扇形}} - S_{△ ABC} = 2π - 4$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则的扇形、三角形面积的和差运算，需要熟练掌握扇形面积公式和等腰直角三角形的基本性质，计算时注意半径的平方运算不要出错。
【难度系数】
0.6

10.将一个底面直径为6 cm、母线长为10 cm的圆锥沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为 cm².

10. 30π

【分析】
要解决这道题，首先明确所求的侧面展开图的面积就是圆锥的侧面积，我们可以回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积$S=π rl$，其中$r$是圆锥底面圆的半径，$l$是圆锥的母线长。接下来只需要从题干中找到对应的数值，先根据底面直径算出底面半径，再代入公式计算即可。
【解析】
圆锥的侧面展开图为扇形，其面积就是圆锥的侧面积。
已知圆锥底面直径为6 cm，因此底面半径$r = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm}$，母线长$l = 10\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π rl$
将$r=3\ \mathrm{cm}$，$l=10\ \mathrm{cm}$代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×3×10=30π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
30π
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆锥侧面展开图的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题的关键是准确区分底面直径和半径，不要误将直径代入公式计算，熟记公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.(2026 宜宾)如图，$\odot O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆，连接 $OA$，$OC$.若 $△ AOC$ 为等边三角形，则 $∠ ABC$ 的度数是（）

A.$20°$
B.$30°$
C.$50°$
D.$60°$

第11题图 第13题图

11.B

【分析】
解题思路：首先观察图形，∠ABC是⊙O中弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，可结合圆周角定理求解。第一步先根据等边三角形的性质求出圆心角∠AOC的度数，第二步利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，计算出∠ABC的度数。
【解析】
∵△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵∠AOC和∠ABC分别是弧AC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆周角定理与等边三角形性质的结合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8

12.(2026遂宁)某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽(不考虑接缝处损耗).若
锥形帽底面圆的直径为32 cm，母线长为30 cm，则扇形纸片的圆心角为 （）

A.$86°$
B.$144°$
C.$150°$
D.$192°$

12.D

【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥各量的对应关系：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先根据底面直径求出底面圆的周长，再利用弧长公式建立等式，即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】
首先计算锥形帽底面圆的周长：
已知底面直径$d=32\,\mathrm{cm}$，所以底面周长$C=π d=32π\,\mathrm{cm}$。
设扇形纸片的圆心角为$n°$，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形半径等于母线长$30\,\mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$32π=\frac{nπ×30}{180}$
两边同时约去$π$，化简得：
$32=\frac{n}{6}$
解得$n=192$，即扇形纸片的圆心角为$192°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长计算公式
【点评】
本题是常见的几何实际应用题，侧重考查基础公式的应用，只要理清圆锥和展开扇形的量的对应关系，代入公式计算即可得到结果，易错点是混淆母线长和底面半径的对应关系、记错弧长公式。
【难度系数】
0.7

13.(2026河北)如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{ACB}$所对的圆心角为$150°$,点D在$\overset{\frown}{AC}$上.若$∠ CBO=n°$,则$∠ ADC=$（）

A.$90° +n°$
B.$180° -n°$
C.$195° -n°$
D.$2n°$

13.C 【解析】如图,连接 CO 并延长交$\odot O$于点 E,连接 AE.
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠CBO=n°,
∴∠BOC
=180°−∠B−∠OCB=180°−2n°,
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=150°
−(180°−2n°)=2n°−30°,
∴∠E=
$\frac{1}{2}$∠AOC=n°−15°,
∴∠ADC=
180°−∠E=180°−(n°−15°)=195°−n°.

【分析】
解题时先观察图形特征，已知圆的半径相等，可先在△OBC中利用等腰三角形性质求出∠BOC的度数；再结合已知的∠AOB=150°，计算出∠AOC的度数；接着通过作辅助线构造圆周角，利用圆周角定理求出∠AEC的度数；最后根据圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
如图，连接CO并延长交$\odot O$于点E，连接AE。
∵OB、OC均为$\odot O$的半径，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠CBO=n°，
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠BOC=180°−∠CBO−∠OCB=180°−n°−n°=180°−2n°，
已知$\overset{\frown}{ACB}$所对的圆心角∠AOB=150°，
∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=150°−(180°−2n°)=2n°−30°，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠AEC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×(2n°−30°)=n°−15°，
∵四边形ADCE是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°−∠AEC=180°−(n°−15°)=195°−n°。
【答案】C
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆的性质综合应用题，解题的关键是正确添加辅助线，将所求角与已知角通过等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形的性质建立关联，逐步推导得到结果，能有效考查对圆相关基础性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.6

14.(2026湖南)如图，$\odot O$的半径为6.若它的周长等于弧AB的长的6倍，则阴影部分的面积为。

14. 6π

【分析】
解题时先明确阴影部分为扇形OAB，OA、OB均为⊙O的半径，长度为6。首先根据圆的周长公式计算出⊙O的周长，再结合“圆周长是弧AB长的6倍”求出弧AB的长度，最后代入扇形面积公式计算即可得到阴影部分的面积；也可先根据弧长和圆周长的比例求出扇形的圆心角，再用圆心角求扇形面积。
【解析】
解：已知⊙O的半径$r=6$，
1. 计算⊙O的周长：
$C_{\odot O}=2π r=2π×6=12π$
2. 求弧AB的长度：
由题意得圆周长是弧AB长的6倍，因此弧AB的长$l_{AB}=\frac{12π}{6}=2π$
3. 计算阴影扇形的面积，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}× l_{AB}× r=\frac{1}{2}×2π×6=6π$
（也可通过圆心角计算：弧长是圆周长的$\frac{1}{6}$，则对应圆心角为$360°×\frac{1}{6}=60°$，代入公式$S=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×6^2}{360}=6π$，结果一致）
【答案】
$6π$
【知识点】
圆的周长计算、弧长计算、扇形面积计算
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心是熟练掌握圆的周长、弧长、扇形面积的相关公式，解题时只要理清已知条件和所求量的对应关系，代入公式计算即可得分。
【难度系数】
0.75

15.(2026苏州改编)苏州园林中的月洞门(如图①),形如满月,通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融,核心寓意是“圆满”“圆融”与“天人合一”.某月洞门示意图如图②所示,其内廓由$\overset{\frown}{ABC}$,线段CD,DE,EA四部分构成,AE,CD分别垂直于地面$l$.经测量,该月洞门的最高点B到地面的距离为21 dm,$AE=CD=3\ \mathrm{dm}$,$DE=12\ \mathrm{dm}$.求$\overset{\frown}{ABC}$所在圆的半径.

15.解:如图,连接 AC,过点 B 作 BH⊥DE 于点 H,交 AC 于点 F,设$\overset{\frown}{ABC}$所在圆的圆心为点 O,连接 CO.
由题意可得 BH=21,四边形 AC-
DE,CDHF 都是矩形,
∴FH=CD
=3,AC=DE=12,BF⊥AC.
设$\odot O$的半径为 r,则 CO=BO=
r,
∴OF=BH−BO−FH=21−r
−3=18−r.
∵BF 过圆心 O,且 BF⊥AC,
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12
=6.
∵在 Rt△COF 中,CF²+OF²=CO²,
∴6²+
(18−r)²=r²,解得 r=10.
故$\overset{\frown}{ABC}$所在圆的半径为 10 dm.

【分析】
本题是求圆弧所在圆半径的实际应用问题，解题思路如下：首先，利用题目中AE、CD都垂直于地面的条件，可判定四边形ACDE是矩形，得到弦AC的长度；其次，过最高点B作地面的垂线，结合圆心、垂径定理可知该垂线过圆心且垂直平分弦AC；最后设圆的半径为r，用含r的式子表示出圆心到弦AC的距离，在直角三角形中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
如图，连接AC，过点B作BH⊥DE于点H，交AC于点F，设$\overset{\frown}{ABC}$所在圆的圆心为点O，连接CO。
由题意可得BH=21dm，因为AE、CD都垂直于地面$l$，所以四边形ACDE、CDHF都是矩形，
$\therefore FH=CD=3\mathrm{dm}$，$AC=DE=12\mathrm{dm}$，且$BF⊥ AC$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{dm}$，则$CO=BO=r\ \mathrm{dm}$，
$\therefore OF=BH-BO-FH=21-r-3=(18-r)\mathrm{dm}$。
$\because BF$过圆心$O$，且$BF⊥ AC$，根据垂径定理，
$\therefore CF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ COF$中，由勾股定理得$CF^2+OF^2=CO^2$，
$\therefore 6^2+(18-r)^2=r^2$，
展开计算得$36+324-36r+r^2=r^2$，
整理得$360-36r=0$，解得$r=10$。
【答案】
$\overset{\frown}{ABC}$所在圆的半径为10 dm。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、矩形的性质
【点评】
本题以苏州园林月洞门为背景，结合生活实际考查了几何知识的综合应用，解题关键是构造直角三角形，利用方程思想求解，能很好地考查学生的几何建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7