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【例】古代数学文化 “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何.”转化为现在的数学语言：如上图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$，垂足为$E$，$CE=1$寸，$AB=10$寸，则直径$CD$的长度为
【点拨】如右图，连接$OA$. $\because AB ⊥ CD$，$AB = 10$，$\therefore AE = BE = 5$.设$\odot O$的半径为$x$，则$OC = OA = x$，$OE = x - 1$.在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，根据勾股定理，得$x^2 - (x - 1)^2 = 5^2$，解得$x = 13$，$\therefore 2x = 26$，即直径$CD$的长度为26寸.
【解】26
26
寸(1尺=10寸).【点拨】如右图，连接$OA$. $\because AB ⊥ CD$，$AB = 10$，$\therefore AE = BE = 5$.设$\odot O$的半径为$x$，则$OC = OA = x$，$OE = x - 1$.在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，根据勾股定理，得$x^2 - (x - 1)^2 = 5^2$，解得$x = 13$，$\therefore 2x = 26$，即直径$CD$的长度为26寸.
【解】26
答案
26
解析
【分析】
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先由弦AB垂直于直径CD，根据垂径定理可得到AB的一半长度；接着连接半径OA构造直角三角形，设圆的半径为未知数，用含未知数的代数式表示出直角三角形的各边长度；最后利用勾股定理列方程求出半径，半径乘2即为直径长度。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴ 根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（寸）。
设$\odot O$的半径为$x$寸，则$OA=OC=x$寸，
∵ $CE=1$寸，
∴ $OE=OC-CE=x-1$（寸）。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$x^2=(x-1)^2+5^2$，
展开计算：$x^2=x^2-2x+1+25$，
化简得：$2x=26$，
解得：$x=13$，
∴ 直径$CD=2x=2×13=26$（寸）。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景，考查圆中线段长度的计算，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解，是圆类基础计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先由弦AB垂直于直径CD，根据垂径定理可得到AB的一半长度；接着连接半径OA构造直角三角形，设圆的半径为未知数，用含未知数的代数式表示出直角三角形的各边长度；最后利用勾股定理列方程求出半径，半径乘2即为直径长度。
【解析】
连接OA，
∵ CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴ 根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（寸）。
设$\odot O$的半径为$x$寸，则$OA=OC=x$寸，
∵ $CE=1$寸，
∴ $OE=OC-CE=x-1$（寸）。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入得：$x^2=(x-1)^2+5^2$，
展开计算：$x^2=x^2-2x+1+25$，
化简得：$2x=26$，
解得：$x=13$，
∴ 直径$CD=2x=2×13=26$（寸）。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题结合我国古代数学文化背景，考查圆中线段长度的计算，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解，是圆类基础计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
1.如图，若$\odot O$的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是（
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
B
）A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
答案
1.B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先提取已知条件：AB垂直平分半径OC，A、B、C均在⊙O上，因此⊙O的所有半径长度相等；2. 结合垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得点A、B到O、C的距离关系；3. 结合半径相等的结论，推导四边形各边的数量关系；4. 最后根据特殊四边形的判定定理，判断四边形的形状。
【解析】
∵AB垂直平分半径OC，
∴根据垂直平分线的性质，$AC=AO$，$BC=BO$，且$AB⊥OC$。
又
∵OA、OB均为⊙O的半径，
∴$OA=OB=OC$，
∴$AC=BC=OA=OB$，即四边形OACB的四条边长度相等。
根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可知四边形OACB是菱形。
题干无角为直角的相关条件，因此不是正方形、矩形；菱形是特殊的平行四边形，本题选最准确的选项即可。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础题型，综合了圆的基本性质与特殊四边形的判定，解题的核心是利用已知条件推导出四边形四边相等，熟练掌握相关性质和判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：1. 先提取已知条件：AB垂直平分半径OC，A、B、C均在⊙O上，因此⊙O的所有半径长度相等；2. 结合垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可得点A、B到O、C的距离关系；3. 结合半径相等的结论，推导四边形各边的数量关系；4. 最后根据特殊四边形的判定定理，判断四边形的形状。
【解析】
∵AB垂直平分半径OC，
∴根据垂直平分线的性质，$AC=AO$，$BC=BO$，且$AB⊥OC$。
又
∵OA、OB均为⊙O的半径，
∴$OA=OB=OC$，
∴$AC=BC=OA=OB$，即四边形OACB的四条边长度相等。
根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可知四边形OACB是菱形。
题干无角为直角的相关条件，因此不是正方形、矩形；菱形是特殊的平行四边形，本题选最准确的选项即可。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础题型，综合了圆的基本性质与特殊四边形的判定，解题的核心是利用已知条件推导出四边形四边相等，熟练掌握相关性质和判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$\odot O$中，弦$AB$的长为8，圆心$O$到$AB$的距离$OE=4$，则$\odot O$的半径长为（
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
B
）A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
答案
2.B
解析
【分析】
要求圆的半径，已知弦长和圆心到弦的距离，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。首先由OE垂直AB，可推出E是AB的中点，先求出AE的长度；此时△OAE是直角三角形，两条直角边OE、AE的长度已知，再利用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，且OE过圆心O
∴根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB$
∵AB=8
∴$AE=\frac{1}{2}×8=4$
在Rt△OAE中，OE=4，AE=4，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
即⊙O的半径长为$4\sqrt{2}$，故选B。
【答案】B
【知识点】垂径定理；勾股定理
【点评】本题是圆中基础计算类题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求解半径，属于圆相关计算的常规考法。
【难度系数】0.8
要求圆的半径，已知弦长和圆心到弦的距离，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。首先由OE垂直AB，可推出E是AB的中点，先求出AE的长度；此时△OAE是直角三角形，两条直角边OE、AE的长度已知，再利用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，且OE过圆心O
∴根据垂径定理可得：$AE=\frac{1}{2}AB$
∵AB=8
∴$AE=\frac{1}{2}×8=4$
在Rt△OAE中，OE=4，AE=4，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
即⊙O的半径长为$4\sqrt{2}$，故选B。
【答案】B
【知识点】垂径定理；勾股定理
【点评】本题是圆中基础计算类题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求解半径，属于圆相关计算的常规考法。
【难度系数】0.8
变式题 求半径→求圆心到弦的距离
如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$于点D.若$AB=8$，$OC=5$，则$OD$的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$于点D.若$AB=8$，$OC=5$，则$OD$的长是（
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
变式题 A
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，已知半径OC垂直于弦AB，首先想到运用垂径定理得到AB被平分，从而求出弦长的一半AD的长度；其次圆的半径处处相等，可得OA=OC=5；最后△OAD是直角三角形，已知斜边OA和直角边AD的长度，运用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ OC是⊙O的半径，OC⊥AB，AB=8，
∴ 根据垂径定理，$AD = \frac{1}{2} AB = 4$，
又
∵ OA=OC=5，$∠ ODA=90°$，
∴ 在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边长，结合勾股定理计算未知线段，掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察图形，已知半径OC垂直于弦AB，首先想到运用垂径定理得到AB被平分，从而求出弦长的一半AD的长度；其次圆的半径处处相等，可得OA=OC=5；最后△OAD是直角三角形，已知斜边OA和直角边AD的长度，运用勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ OC是⊙O的半径，OC⊥AB，AB=8，
∴ 根据垂径定理，$AD = \frac{1}{2} AB = 4$，
又
∵ OA=OC=5，$∠ ODA=90°$，
∴ 在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理将已知弦长转化为直角三角形的直角边长，结合勾股定理计算未知线段，掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.(教材变式)如图，$\odot O$的直径$CD=20$，AB是$\odot O$的弦，$AB ⊥ CD$，垂足为M，$OM:OC=3:5$，则AB的长为（
A.8
B.12
C.16
D.$2\sqrt{91}$
C
）A.8
B.12
C.16
D.$2\sqrt{91}$
答案
3.C 【解析】如图,连接OA.
∵ ⊙O 的直径 CD = 20,OM : OC = 3 : 5,
∴OA=OC=10,
∴OM=6.
∵AB⊥CD,垂足为M,
∴AM=√(OA²−OM²)=√(10²−6²)=8,
∴AB=2AM=16.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：直径CD垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可知CD平分AB，因此要求AB的长度，只需要先求出AB的一半AM的长度即可。接下来先根据直径长度求出圆的半径，再结合OM与OC的比例求出OM的长度；连接OA构造直角三角形OAM，利用勾股定理即可求出AM的长度，最后乘2得到AB的全长。
【解析】
如图，连接OA。
∵$\odot O$的直径$CD=20$，
∴$OA=OC=10$（同圆的半径相等），
又
∵$OM:OC=3:5$，
∴$OM=10×\frac{3}{5}=6$。
∵$AB⊥ CD$，垂足为M，
∴根据垂径定理可得$AM=BM$，即$AB=2AM$。
在$Rt△ OAM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$AB=2AM=2×8=16$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的关键是掌握“遇弦作半径”的常用辅助线做法，结合垂径定理将所求弦长转化为直角三角形的边长问题，再利用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：直径CD垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可知CD平分AB，因此要求AB的长度，只需要先求出AB的一半AM的长度即可。接下来先根据直径长度求出圆的半径，再结合OM与OC的比例求出OM的长度；连接OA构造直角三角形OAM，利用勾股定理即可求出AM的长度，最后乘2得到AB的全长。
【解析】
如图，连接OA。
∵$\odot O$的直径$CD=20$，
∴$OA=OC=10$（同圆的半径相等），
又
∵$OM:OC=3:5$，
∴$OM=10×\frac{3}{5}=6$。
∵$AB⊥ CD$，垂足为M，
∴根据垂径定理可得$AM=BM$，即$AB=2AM$。
在$Rt△ OAM$中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$AB=2AM=2×8=16$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的关键是掌握“遇弦作半径”的常用辅助线做法，结合垂径定理将所求弦长转化为直角三角形的边长问题，再利用勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.8
4.如图，A，B，C是$\odot O$上的点，$OC ⊥ AB$，垂足为D，且D为OC的中点.若$OA=7$，则BC的长为
7
.答案
4.7
解析
【分析】
解题思路：首先明确圆的半径都相等，可得OC=OA=7，结合D是OC中点得到OD=CD；再根据OC⊥AB，利用垂径定理可得AD=BD；最后通过证明△OAD和△CBD全等，利用全等三角形对应边相等即可求出BC的长度，也可通过勾股定理分步计算得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，$OA=7$
∴$OC=OA=OB=7$
∵D为OC的中点
∴$OD=CD=\frac{1}{2}OC=3.5$
∵$OC⊥AB$，根据垂径定理可得：$AD=BD$
在$△ OAD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}AD=BD \\∠ ADO=∠ BDC=90° \\OD=CD\end{cases}$
∴$△ OAD≌△ CBD$（SAS）
∴$BC=OA=7$
【答案】
7
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题考查圆的相关性质与全等三角形的结合应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理得到相等线段，再结合全等关系快速求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确圆的半径都相等，可得OC=OA=7，结合D是OC中点得到OD=CD；再根据OC⊥AB，利用垂径定理可得AD=BD；最后通过证明△OAD和△CBD全等，利用全等三角形对应边相等即可求出BC的长度，也可通过勾股定理分步计算得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，$OA=7$
∴$OC=OA=OB=7$
∵D为OC的中点
∴$OD=CD=\frac{1}{2}OC=3.5$
∵$OC⊥AB$，根据垂径定理可得：$AD=BD$
在$△ OAD$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}AD=BD \\∠ ADO=∠ BDC=90° \\OD=CD\end{cases}$
∴$△ OAD≌△ CBD$（SAS）
∴$BC=OA=7$
【答案】
7
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；圆的基本性质
【点评】
本题考查圆的相关性质与全等三角形的结合应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理得到相等线段，再结合全等关系快速求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
5.如下图，AB是$\odot O$的直径，P是AB上一点，且P是弦CD的中点.
(1)依题意作出弦CD，并说明作图的依据(不写作法，保留作图痕迹).
(2)若$AP=2,CD=8$，求$\odot O$的半径.
(1)依题意作出弦CD，并说明作图的依据(不写作法，保留作图痕迹).
(2)若$AP=2,CD=8$，求$\odot O$的半径.
答案
5.解:(1)如图,弦 CD 即为所求.依据:垂直于弦的直径平分弦.
(2)如图,连接 OD.
∵OA⊥CD 于点 P,AB 是⊙O 的直径,
∴∠OPD=90°,PD=1/2 CD=4.
设⊙O 的半径为 r,则 OD=r,OP=OA−AP=r−2.
在 Rt△ODP 中,OD²=OP²+PD²,
即 r²=(r−2)²+4²,解得 r=5.
故⊙O 的半径为 5.
解析
【分析】
(1) 作图思路：要使P为弦CD的中点，根据垂径定理的相关结论，垂直于直径的弦会被直径平分，因此只需过点P作AB的垂线，垂线与⊙O的两个交点即为C、D，所得CD即可满足要求。
(2) 求半径思路：已知CD的长度，结合垂径定理可先求出CD一半PD的长度，连接OD构造直角三角形，设⊙O半径为r，将OD、OP的长度用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
(1) 过点P作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，弦CD即为所求。
作图依据：垂直于弦的直径平分弦。
(2) 连接OD：
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点P，P是CD中点，
∴∠OPD=90°，$PD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
设⊙O的半径为r，则$OD=r$，$OP=OA-AP=r-2$。
在Rt△ODP中，由勾股定理得$OD^2=OP^2+PD^2$，
代入数值可得：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开整理得：$r^2=r^2-4r+20$，
解得$r=5$。
【答案】
(1) 弦CD如图所示，依据：垂直于弦的直径平分弦；
(2) ⊙O的半径为$\boxed{5}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节的基础典型题，既考查了垂径定理的作图应用，又结合勾股定理考查了方程思想在几何计算中的运用，熟练掌握垂径定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：要使P为弦CD的中点，根据垂径定理的相关结论，垂直于直径的弦会被直径平分，因此只需过点P作AB的垂线，垂线与⊙O的两个交点即为C、D，所得CD即可满足要求。
(2) 求半径思路：已知CD的长度，结合垂径定理可先求出CD一半PD的长度，连接OD构造直角三角形，设⊙O半径为r，将OD、OP的长度用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
(1) 过点P作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，弦CD即为所求。
作图依据：垂直于弦的直径平分弦。
(2) 连接OD：
∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD于点P，P是CD中点，
∴∠OPD=90°，$PD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
设⊙O的半径为r，则$OD=r$，$OP=OA-AP=r-2$。
在Rt△ODP中，由勾股定理得$OD^2=OP^2+PD^2$，
代入数值可得：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开整理得：$r^2=r^2-4r+20$，
解得$r=5$。
【答案】
(1) 弦CD如图
所示，依据：垂直于弦的直径平分弦；(2) ⊙O的半径为$\boxed{5}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆章节的基础典型题，既考查了垂径定理的作图应用，又结合勾股定理考查了方程思想在几何计算中的运用，熟练掌握垂径定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
