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6.(教材变式)如图,在$\odot O$中,D,E分别是弦AB,AC的中点,且$AB ⊥ AC$.若$AB = 16\ \mathrm{cm},AC=12\ \mathrm{cm}$,则$\odot O$的半径OA的长为 (
A.14 cm
B.12 cm
C.10 cm
D.8 cm
C
)A.14 cm
B.12 cm
C.10 cm
D.8 cm
答案
6.C
解析
【分析】
首先，已知圆心O以及弦AB、AC的中点D、E，可结合垂径定理得到OD⊥AB、OE⊥AC，同时能求出AD、AE的长度；再根据AB⊥AC的条件，可判断四边形OEAD是矩形，得到OD的长度；最后在直角三角形OAD中利用勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
∵D是弦AB的中点，O是圆心，根据垂径定理可得：
OD⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$
同理，E是弦AC的中点，可得：
OE⊥AC，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$
又
∵AB⊥AC，即∠EAD=90°，
∴四边形OEAD的三个角为直角，是矩形，
∴OD=AE=6 cm
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的常见题型，解题的关键是结合垂径定理得到垂直关系，进而判定矩形转化线段长度，再利用勾股定理计算半径，很好地融合了几何基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
首先，已知圆心O以及弦AB、AC的中点D、E，可结合垂径定理得到OD⊥AB、OE⊥AC，同时能求出AD、AE的长度；再根据AB⊥AC的条件，可判断四边形OEAD是矩形，得到OD的长度；最后在直角三角形OAD中利用勾股定理即可求出半径OA的长度。
【解析】
∵D是弦AB的中点，O是圆心，根据垂径定理可得：
OD⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$
同理，E是弦AC的中点，可得：
OE⊥AC，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$
又
∵AB⊥AC，即∠EAD=90°，
∴四边形OEAD的三个角为直角，是矩形，
∴OD=AE=6 cm
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的常见题型，解题的关键是结合垂径定理得到垂直关系，进而判定矩形转化线段长度，再利用勾股定理计算半径，很好地融合了几何基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
7.如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ A=42°$，D是弦AC的中点，则$∠ DOC$的度数为
48°
。答案
7.48°
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先根据圆的性质，同圆的半径相等，可得OA=OC，因此△OAC是等腰三角形，由等腰三角形两底角相等可求出∠OCA的度数；②已知D是弦AC的中点，结合垂径定理的推论或者等腰三角形三线合一的性质，可得OD⊥AC，即∠ODC=90°；③最后在Rt△ODC中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形
∴∠OCA=∠A=42°
∵D是弦AC的中点，O为圆心
根据垂径定理推论，可得OD⊥AC，即∠ODC=90°
在Rt△ODC中，∠DOC + ∠OCA = 90°
∴∠DOC=90° - 42°=48°
【答案】
48°
【知识点】
圆的半径相等，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与三角形性质的综合应用，解题的关键是利用弦中点与圆心的连线垂直于弦这一结论得到直角，进而求解角度。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①首先根据圆的性质，同圆的半径相等，可得OA=OC，因此△OAC是等腰三角形，由等腰三角形两底角相等可求出∠OCA的度数；②已知D是弦AC的中点，结合垂径定理的推论或者等腰三角形三线合一的性质，可得OD⊥AC，即∠ODC=90°；③最后在Rt△ODC中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形
∴∠OCA=∠A=42°
∵D是弦AC的中点，O为圆心
根据垂径定理推论，可得OD⊥AC，即∠ODC=90°
在Rt△ODC中，∠DOC + ∠OCA = 90°
∴∠DOC=90° - 42°=48°
【答案】
48°
【知识点】
圆的半径相等，垂径定理，直角三角形性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的基本性质与三角形性质的综合应用，解题的关键是利用弦中点与圆心的连线垂直于弦这一结论得到直角，进而求解角度。
【难度系数】
0.7
8. 如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心.若AB=1 m，CD=2.5 m，则拱门所在圆的半径为（
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
）A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
8.B 【解析】如图,连接 OA. 由题意,得
CD⊥AB,AD=BD=1/2 AB=0.5 m.
设拱门所在圆的半径为 r m,
∴OA=OC=r m.
∵CD=2.5 m,
∴OD=(2.5−r) m. 在 Rt△AOD 中,AO²=AD²+OD²,
∴r²=0.5²+(2.5−r)²,解得 r=1.3,
∴拱门所在圆的半径为 1.3 m.
解析
【分析】
本题属于圆中长度计算类问题，首先根据题目给出的“CD过圆心、D为AB中点”的条件，结合垂径定理的推论可得到CD⊥AB，且能算出AD的长度；要求圆的半径，我们可以连接半径OA构造直角三角形，设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，如图所示。
由题意得CD⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$。
∵CD=2.5 m，
∴$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在Rt△AOD中，根据勾股定理有$AO^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开计算：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
消去$r^2$后整理得：$5r=6.5$，
解得$r=1.3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆的计算类基础题，考查垂径定理的实际应用，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解是这类问题的通用解法，需熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
本题属于圆中长度计算类问题，首先根据题目给出的“CD过圆心、D为AB中点”的条件，结合垂径定理的推论可得到CD⊥AB，且能算出AD的长度；要求圆的半径，我们可以连接半径OA构造直角三角形，设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接OA，如图所示。
由题意得CD⊥AB，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5\ \mathrm{m}$。
设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OC=r\ \mathrm{m}$。
∵CD=2.5 m，
∴$OD=CD-OC=(2.5-r)\ \mathrm{m}$。
在Rt△AOD中，根据勾股定理有$AO^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=0.5^2+(2.5-r)^2$，
展开计算：$r^2=0.25+6.25-5r+r^2$，
消去$r^2$后整理得：$5r=6.5$，
解得$r=1.3$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆的计算类基础题，考查垂径定理的实际应用，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解是这类问题的通用解法，需熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
9. 几何直观 如图,秋千链子的长 OA 为 2.5 m.
秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离 AB 为 3 m,则秋千摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度差(CD 的长)为
秋千向两边摆动的角度相同,摆动的水平距离 AB 为 3 m,则秋千摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度差(CD 的长)为
0.5
m.答案
9.0.5
解析
【分析】
首先将实际问题转化为圆的几何问题：OA、OC都是圆O的半径，长度均为2.5m，OC垂直于弦AB，要求的CD是最高与最低位置的高度差。解题步骤可分为三步：第一步根据垂径定理求出AD的长度；第二步在直角三角形OAD中利用勾股定理求出OD的长度；第三步用OC的长度减去OD的长度即可得到CD的长度。
【解析】
解：由题意可知，OA=OC=2.5m，OC⊥AB。
根据垂径定理，D为AB中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5\mathrm{m}$。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}=\sqrt{6.25 - 2.25}=\sqrt{4}=2\mathrm{m}$。
因此高度差$CD=OC - OD=2.5 - 2=0.5\mathrm{m}$。
【答案】
0.5
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活中的秋千场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题抽象为圆与直角三角形的数学模型，熟练运用垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
首先将实际问题转化为圆的几何问题：OA、OC都是圆O的半径，长度均为2.5m，OC垂直于弦AB，要求的CD是最高与最低位置的高度差。解题步骤可分为三步：第一步根据垂径定理求出AD的长度；第二步在直角三角形OAD中利用勾股定理求出OD的长度；第三步用OC的长度减去OD的长度即可得到CD的长度。
【解析】
解：由题意可知，OA=OC=2.5m，OC⊥AB。
根据垂径定理，D为AB中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5\mathrm{m}$。
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}=\sqrt{6.25 - 2.25}=\sqrt{4}=2\mathrm{m}$。
因此高度差$CD=OC - OD=2.5 - 2=0.5\mathrm{m}$。
【答案】
0.5
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活中的秋千场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题抽象为圆与直角三角形的数学模型，熟练运用垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
10. 情境应用 景德镇是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.下图是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，$\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，碗深$CD=6\ \mathrm{cm}$，求OA的长.
答案
10.解:
∵ D 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,
∴OD⊥AB.
∴AC=BC=1/2 AB=1/2 ×18=9(cm).设 OA=r cm,则 OC=(r−6)cm. 在 Rt△OAC 中,由勾股定理,得 OC²+AC²=OA²,即(r−6)²+9²=r²,解得 r=39/4.
∴OA 的长为 39/4 cm.
∵ D 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,
∴OD⊥AB.
∴AC=BC=1/2 AB=1/2 ×18=9(cm).设 OA=r cm,则 OC=(r−6)cm. 在 Rt△OAC 中,由勾股定理,得 OC²+AC²=OA²,即(r−6)²+9²=r²,解得 r=39/4.
∴OA 的长为 39/4 cm.
解析
【分析】
本题是圆中求半径的实际应用问题，解题时首先结合弧中点的条件，联想到垂径定理，可得OD垂直平分AB，从而求出AC的长度；接着设OA的长为半径r，结合碗深CD的长度表示出OC的长度，此时△OAC是直角三角形，利用勾股定理列出关于r的一元一次方程，解方程即可求出OA的长度。
【解析】
解：
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴$OD⊥ AB$，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
设$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OD-CD=(r-6)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OC^2+AC^2=OA^2$，
即$(r-6)^2+9^2=r^2$，
展开得$r^2-12r+36+81=r^2$，
移项化简得$12r=117$，
解得$r=\frac{39}{4}$。
【答案】
$\frac{39}{4}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题结合生活中的瓷碗情境考查圆的相关计算，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，是圆中线段计算的常见题型，能有效考查对垂径定理的理解和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是圆中求半径的实际应用问题，解题时首先结合弧中点的条件，联想到垂径定理，可得OD垂直平分AB，从而求出AC的长度；接着设OA的长为半径r，结合碗深CD的长度表示出OC的长度，此时△OAC是直角三角形，利用勾股定理列出关于r的一元一次方程，解方程即可求出OA的长度。
【解析】
解：
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴$OD⊥ AB$，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
设$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OD-CD=(r-6)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OC^2+AC^2=OA^2$，
即$(r-6)^2+9^2=r^2$，
展开得$r^2-12r+36+81=r^2$，
移项化简得$12r=117$，
解得$r=\frac{39}{4}$。
【答案】
$\frac{39}{4}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题结合生活中的瓷碗情境考查圆的相关计算，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，是圆中线段计算的常见题型，能有效考查对垂径定理的理解和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
11.在$\odot O$中，C为弦AB的中点，过点C的直径交$\odot O$于点D，E。如果$AB=8\ \mathrm{cm}$，$OD=5\ \mathrm{cm}$，那么CD的长为
（
A.2 cm
B.3 cm
C.2 cm或8 cm
D.3 cm或8 cm
（
C
）A.2 cm
B.3 cm
C.2 cm或8 cm
D.3 cm或8 cm
答案
11.C 【解析】当点 D 在优弧 $\overset{\frown}{AB}$ 上时,如图①,连接 OB.
∵C 为弦 AB 的中点,DE 是⊙O 的直径,AB=8 cm,
∴DE⊥AB,BC=1/2 AB=4 cm.
又
∵ OB = OD = 5 cm,
∴ OC = √(OB²−BC²) = √(5²−4²)=3(cm),
∴CD=OD+OC=5+3=8(cm).
当点 D 在劣弧 $\overset{\frown}{AB}$ 上时,如图②,同理,CD=OD−OC=5−3=2(cm).综上,CD 的长为 2 cm 或 8 cm.
解析
【分析】
解题时首先由“过弦中点的直径”这一条件联想到垂径定理，可得到直径垂直于弦且平分弦，先求出半弦长；再连接半径构造直角三角形，利用勾股定理计算出圆心到弦的距离OC；由于直径的两个端点位置未明确，点D既可以在AB对应的优弧侧，也可以在劣弧侧，因此需要分两种情况分别计算CD的长度，即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在优弧$\overset{\frown}{AB}$上时，如图①，连接OB：
∵C为弦AB的中点，DE是$\odot O$的直径，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴根据垂径定理得$DE⊥ AB$，$BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
又
∵OB是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OD=5\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=OD+OC=5+3=8\ \mathrm{cm}$。
2. 当点D在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，如图②，同理可得$OC=3\ \mathrm{cm}$，
此时$CD=OD-OC=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
综上，CD的长为2 cm或8 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题是圆性质应用的常见题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合，易错点是容易忽略点D的位置有两种可能，只计算其中一种结果，解题时要注意结合图形全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先由“过弦中点的直径”这一条件联想到垂径定理，可得到直径垂直于弦且平分弦，先求出半弦长；再连接半径构造直角三角形，利用勾股定理计算出圆心到弦的距离OC；由于直径的两个端点位置未明确，点D既可以在AB对应的优弧侧，也可以在劣弧侧，因此需要分两种情况分别计算CD的长度，即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点D在优弧$\overset{\frown}{AB}$上时，如图①，连接OB：
∵C为弦AB的中点，DE是$\odot O$的直径，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴根据垂径定理得$DE⊥ AB$，$BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
又
∵OB是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OD=5\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理可得：
$OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CD=OD+OC=5+3=8\ \mathrm{cm}$。
2. 当点D在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，如图②，同理可得$OC=3\ \mathrm{cm}$，
此时$CD=OD-OC=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
综上，CD的长为2 cm或8 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题是圆性质应用的常见题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合，易错点是容易忽略点D的位置有两种可能，只计算其中一种结果，解题时要注意结合图形全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
