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1. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1. C
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：第一步先确定甲、乙两名学生选择球类项目的所有等可能结果总数；第二步找出两人选择同种球类项目的结果数；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：每名学生都有4种球类项目可以选择，
则甲、乙两人选择项目的总等可能结果数为：$4 × 4 = 16$种；
其中甲、乙选择同种球类项目的情况有：都选篮球、都选足球、都选排球、都选羽毛球，共4种结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得两人参加同种球类运动项目的概率为：$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 列举法求概率
【点评】
本题考查等可能事件概率的求解，解题的核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数，属于概率部分的基础题型，掌握基础概率计算方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路如下：第一步先确定甲、乙两名学生选择球类项目的所有等可能结果总数；第二步找出两人选择同种球类项目的结果数；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：每名学生都有4种球类项目可以选择，
则甲、乙两人选择项目的总等可能结果数为：$4 × 4 = 16$种；
其中甲、乙选择同种球类项目的情况有：都选篮球、都选足球、都选排球、都选羽毛球，共4种结果。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得两人参加同种球类运动项目的概率为：$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 列举法求概率
【点评】
本题考查等可能事件概率的求解，解题的核心是准确统计总结果数和符合条件的结果数，属于概率部分的基础题型，掌握基础概率计算方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 在质数2,3,5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 （
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路分为三步：第一步，先用列举法找出从3个质数中随机选取两个不同数的所有等可能结果，列举时要做到不重不漏；第二步，根据奇偶性运算规律（奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数）判断每个结果的和是否为偶数，统计符合条件的结果数；第三步，利用古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
首先列出从2,3,5中随机选取两个不同数的所有等可能结果，共3种：
①选取2和3，和为$2+3=5$，是奇数；
②选取2和5，和为$2+5=7$，是奇数；
③选取3和5，和为$3+5=8$，是偶数。
其中和为偶数的结果有1种，根据等可能事件的概率公式可得：
$P(\mathrm{和是偶数})=\frac{\mathrm{和为偶数的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 质数的概念
3. 奇偶性运算规律
【点评】
本题以哥德巴赫猜想为背景，融合了数的性质与概率基础计算，重点考察学生用列举法求概率的掌握程度，解题的关键是准确列举所有可能的组合，避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路分为三步：第一步，先用列举法找出从3个质数中随机选取两个不同数的所有等可能结果，列举时要做到不重不漏；第二步，根据奇偶性运算规律（奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数）判断每个结果的和是否为偶数，统计符合条件的结果数；第三步，利用古典概型的概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算最终概率。
【解析】
首先列出从2,3,5中随机选取两个不同数的所有等可能结果，共3种：
①选取2和3，和为$2+3=5$，是奇数；
②选取2和5，和为$2+5=7$，是奇数；
③选取3和5，和为$3+5=8$，是偶数。
其中和为偶数的结果有1种，根据等可能事件的概率公式可得：
$P(\mathrm{和是偶数})=\frac{\mathrm{和为偶数的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 质数的概念
3. 奇偶性运算规律
【点评】
本题以哥德巴赫猜想为背景，融合了数的性质与概率基础计算，重点考察学生用列举法求概率的掌握程度，解题的关键是准确列举所有可能的组合，避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
3. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某3个小区中的1个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是 （
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道概率题，首先明确这是两步独立的等可能抽取事件，我们可以先计算所有等可能的总结果数，再统计“两个组抽到同一个小区”的符合条件的结果数，最后利用等可能事件的概率公式计算即可，也可通过列表法或画树状图的方式直观列举所有结果，避免计数错误。
【解析】
设3个小区分别为A、B、C：
1. 计算总等可能结果数：第一个检查组有3种抽取选择，第二个检查组同样有3种抽取选择，因此总共有 $3×3=9$ 种等可能的结果。
2. 统计符合条件的结果数：两个组恰好抽到同一个小区的情况有：（A,A）、（B,B）、（C,C），共3种。
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
所以本题选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确梳理抽取事件的所有可能性，既可以通过乘法原理快速计算总情况数，也可以用列举法逐一罗列验证，掌握概率的基本计算公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道概率题，首先明确这是两步独立的等可能抽取事件，我们可以先计算所有等可能的总结果数，再统计“两个组抽到同一个小区”的符合条件的结果数，最后利用等可能事件的概率公式计算即可，也可通过列表法或画树状图的方式直观列举所有结果，避免计数错误。
【解析】
设3个小区分别为A、B、C：
1. 计算总等可能结果数：第一个检查组有3种抽取选择，第二个检查组同样有3种抽取选择，因此总共有 $3×3=9$ 种等可能的结果。
2. 统计符合条件的结果数：两个组恰好抽到同一个小区的情况有：（A,A）、（B,B）、（C,C），共3种。
3. 代入概率公式计算：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
所以本题选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确梳理抽取事件的所有可能性，既可以通过乘法原理快速计算总情况数，也可以用列举法逐一罗列验证，掌握概率的基本计算公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 把一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，两次都正面朝上的概率是
$\frac{1}{4}$
.答案
4. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要计算连续抛两次硬币两次都正面朝上的概率，首先明确抛质地均匀的硬币时，每次出现正面、反面的结果是等可能的，我们可以先通过列举法（树状图或列表）列出连续抛两次硬币的所有等可能结果，再找出两次都正面朝上的结果数，最后根据“等可能事件的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们用列举法列出连续抛掷两次硬币的所有等可能结果：
第一次抛掷的结果有“正面朝上”“反面朝上”2种，对应每种第一次的结果，第二次抛掷也有“正面朝上”“反面朝上”2种，因此所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中满足“两次都正面朝上”的结果只有1种，
根据等可能事件的概率公式，可得概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过有序列举找出所有等可能的结果，避免漏数或重复计数，熟练掌握列举法是解决这类概率问题的基础。
【难度系数】
0.8
要计算连续抛两次硬币两次都正面朝上的概率，首先明确抛质地均匀的硬币时，每次出现正面、反面的结果是等可能的，我们可以先通过列举法（树状图或列表）列出连续抛两次硬币的所有等可能结果，再找出两次都正面朝上的结果数，最后根据“等可能事件的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们用列举法列出连续抛掷两次硬币的所有等可能结果：
第一次抛掷的结果有“正面朝上”“反面朝上”2种，对应每种第一次的结果，第二次抛掷也有“正面朝上”“反面朝上”2种，因此所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种。
其中满足“两次都正面朝上”的结果只有1种，
根据等可能事件的概率公式，可得概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列举法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是通过有序列举找出所有等可能的结果，避免漏数或重复计数，熟练掌握列举法是解决这类概率问题的基础。
【难度系数】
0.8
5. 已知a、b可以取－2，－1，1，2中任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率是
$\frac{1}{6}$
.答案
5. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
解决这道题需分三步思考：第一步先计算所有等可能的(a,b)取值组合的总个数，a、b从4个数中选取且a≠b，可通过乘法原理或列表、画树状图得出总情况数；第二步回忆一次函数y=ax+b的图像性质，明确直线不经过第四象限需要满足a＞0且b＞0的条件；第三步找出满足条件的(a,b)组合个数，最后用“符合条件的情况数÷总情况数”计算概率即可。
【解析】
1. 计算总等可能情况数：
a可从-2、-1、1、2中任选1个，共4种选法，由于a≠b，b可从剩余3个数中任选1个，共3种选法，因此总共有$4×3=12$种等可能的(a,b)组合，也可通过列表法或画树状图得到相同结果。
2. 确定直线不经过第四象限的条件：
根据一次函数的图像性质，当$a＞0$（直线呈上升趋势）且$b＞0$（直线与y轴交于正半轴）时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
3. 统计符合条件的情况数：
满足a＞0、b＞0且a≠b的组合只有$(a=1,b=2)$和$(a=2,b=1)$，共2种。
4. 计算概率：
根据概率公式，$P(\mathrm{直线不经过第四象限})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 一次函数图像性质
2. 等可能概率计算
3. 简单计数
【点评】
本题结合了一次函数性质与概率计算两个考点，解题的关键是准确掌握一次函数图像经过的象限和系数a、b的对应关系，计数时注意题目中a≠b的限制条件，避免漏算或多算情况。
【难度系数】
0.6
解决这道题需分三步思考：第一步先计算所有等可能的(a,b)取值组合的总个数，a、b从4个数中选取且a≠b，可通过乘法原理或列表、画树状图得出总情况数；第二步回忆一次函数y=ax+b的图像性质，明确直线不经过第四象限需要满足a＞0且b＞0的条件；第三步找出满足条件的(a,b)组合个数，最后用“符合条件的情况数÷总情况数”计算概率即可。
【解析】
1. 计算总等可能情况数：
a可从-2、-1、1、2中任选1个，共4种选法，由于a≠b，b可从剩余3个数中任选1个，共3种选法，因此总共有$4×3=12$种等可能的(a,b)组合，也可通过列表法或画树状图得到相同结果。
2. 确定直线不经过第四象限的条件：
根据一次函数的图像性质，当$a＞0$（直线呈上升趋势）且$b＞0$（直线与y轴交于正半轴）时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
3. 统计符合条件的情况数：
满足a＞0、b＞0且a≠b的组合只有$(a=1,b=2)$和$(a=2,b=1)$，共2种。
4. 计算概率：
根据概率公式，$P(\mathrm{直线不经过第四象限})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 一次函数图像性质
2. 等可能概率计算
3. 简单计数
【点评】
本题结合了一次函数性质与概率计算两个考点，解题的关键是准确掌握一次函数图像经过的象限和系数a、b的对应关系，计数时注意题目中a≠b的限制条件，避免漏算或多算情况。
【难度系数】
0.6
6. 在一个不透明的袋子中装有1个黑球a和2个白球b、c(除颜色外其他均相同),用画树状图的方法(或列表法)解答下列问题:
(1) 小丽第一次从袋子中摸出1个球不放回,第二次又从袋子中摸出1个球,则小丽两次都摸到白球的概率是多少?
(2) 小强第一次从袋子中摸出1个球,摸到黑球不放回,摸到白球放回,第二次又从袋子中摸出1个球,则小强两次都摸到白球的概率是多少?
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★≡
(1) 小丽第一次从袋子中摸出1个球不放回,第二次又从袋子中摸出1个球,则小丽两次都摸到白球的概率是多少?
(2) 小强第一次从袋子中摸出1个球,摸到黑球不放回,摸到白球放回,第二次又从袋子中摸出1个球,则小强两次都摸到白球的概率是多少?
课后作业 KEHOUZUOYE ★★★★★≡
答案
6. 解：
(1) 画树状图如图①所示：
由树状图可知,共有 6 种等可能的结果,其中小丽两次都摸到白球的情况有 2 种,
∴ P(小丽两次都摸到白球)=$\frac{1}{3}$；
(2) 画树状图如图②所示：
由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中小强两次都摸到白球的情况有 4 种,
∴ P(小强两次都摸到白球)=$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解决这类概率问题首先要明确试验规则，再通过树状图枚举所有等可能结果，最后用符合条件的结果数除以总等可能结果数计算概率：
(1) 第一问为不放回摸球试验，第一次摸出的球不会放回袋子，因此第一次摸球有3种等可能结果，第二次摸球仅剩2种等可能结果，通过树状图列出所有结果后，筛选出两次都摸到白球的结果，代入概率公式即可求解。
(2) 第二问为特殊规则摸球试验：摸到黑球不放回，摸到白球放回，因此若第一次摸到黑球，第二次仅剩2个白球；若第一次摸到白球，第二次仍有3个球，按规则绘制树状图列出所有结果后，筛选出两次都摸到白球的结果代入概率公式即可求解。
【解析】
(1) 按照不放回摸球规则绘制树状图如图①所示：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小丽两次都摸到白球的结果有2种，
因此$P(小丽两次都摸到白球)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 按照“摸到黑球不放回、摸到白球放回”的规则绘制树状图如图②所示：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中小强两次都摸到白球的结果有4种，
因此$P(小强两次都摸到白球)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
树状图求概率；概率公式；放回与不放回试验
【点评】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题核心是准确理解摸球规则，正确绘制树状图枚举所有等可能结果，审题时注意区分放回、不放回两类试验的差异，避免因规则理解错误算错结果。
【难度系数】
0.7
解决这类概率问题首先要明确试验规则，再通过树状图枚举所有等可能结果，最后用符合条件的结果数除以总等可能结果数计算概率：
(1) 第一问为不放回摸球试验，第一次摸出的球不会放回袋子，因此第一次摸球有3种等可能结果，第二次摸球仅剩2种等可能结果，通过树状图列出所有结果后，筛选出两次都摸到白球的结果，代入概率公式即可求解。
(2) 第二问为特殊规则摸球试验：摸到黑球不放回，摸到白球放回，因此若第一次摸到黑球，第二次仅剩2个白球；若第一次摸到白球，第二次仍有3个球，按规则绘制树状图列出所有结果后，筛选出两次都摸到白球的结果代入概率公式即可求解。
【解析】
(1) 按照不放回摸球规则绘制树状图如图①所示：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中小丽两次都摸到白球的结果有2种，
因此$P(小丽两次都摸到白球)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 按照“摸到黑球不放回、摸到白球放回”的规则绘制树状图如图②所示：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中小强两次都摸到白球的结果有4种，
因此$P(小强两次都摸到白球)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
树状图求概率；概率公式；放回与不放回试验
【点评】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题核心是准确理解摸球规则，正确绘制树状图枚举所有等可能结果，审题时注意区分放回、不放回两类试验的差异，避免因规则理解错误算错结果。
【难度系数】
0.7
7. 袋内装有标号分别为1,2,3,4的4个小球,从袋内随机取出1个小球,让其标号作为一个两位数的十位数字,放回搅匀后,再随机取出1个小球,让其标号作为这个两位数的个位数字,则组成的两位数是3的倍数的概率为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{5}{16}$
C.$\frac{7}{16}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{5}{16}$
C.$\frac{7}{16}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
7. B
解析
【分析】
这是有放回抽取的概率计算问题，解题思路为：首先明确两次抽取互不影响，先计算所有等可能的两位数的总个数；再回忆3的倍数的判断规则：一个数各数位数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数，据此列举出所有符合条件的两位数；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
解：由题意可知两次抽取为有放回抽取：
1. 计算总等可能结果数：第一次抽取十位数字有4种可能，放回后第二次抽取个位数字也有4种可能，因此组成的两位数总共有$4×4=16$种等可能的结果。
2. 列举符合条件的结果：根据3的倍数的特征，需满足十位数字加个位数字的和是3的倍数，符合要求的两位数有：12（1+2=3）、21（2+1=3）、24（2+4=6）、33（3+3=6）、42（4+2=6），共5种结果。
3. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得所求概率为$\frac{5}{16}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 3的倍数特征
3. 有放回抽取概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题关键是准确统计所有等可能结果和符合条件的结果，要注意避免漏数、多数3的倍数，熟练掌握概率基本公式即可完成求解。
【难度系数】
0.7
这是有放回抽取的概率计算问题，解题思路为：首先明确两次抽取互不影响，先计算所有等可能的两位数的总个数；再回忆3的倍数的判断规则：一个数各数位数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数，据此列举出所有符合条件的两位数；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
解：由题意可知两次抽取为有放回抽取：
1. 计算总等可能结果数：第一次抽取十位数字有4种可能，放回后第二次抽取个位数字也有4种可能，因此组成的两位数总共有$4×4=16$种等可能的结果。
2. 列举符合条件的结果：根据3的倍数的特征，需满足十位数字加个位数字的和是3的倍数，符合要求的两位数有：12（1+2=3）、21（2+1=3）、24（2+4=6）、33（3+3=6）、42（4+2=6），共5种结果。
3. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，可得所求概率为$\frac{5}{16}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 3的倍数特征
3. 有放回抽取概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，解题关键是准确统计所有等可能结果和符合条件的结果，要注意避免漏数、多数3的倍数，熟练掌握概率基本公式即可完成求解。
【难度系数】
0.7
