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9. 一个不透明的盒子里放有3张除所标数字外完全相同的卡片，分别标有数字1,2,3.随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为
$\frac{1}{3}$
。答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题属于放回型等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确两次抽取卡片是独立的放回试验，所有结果出现的可能性相等，适合用列举法（列表或树状图）列出所有等可能的结果；其次筛选出“第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字”的符合条件的结果；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：因为是抽取后放回再抽取，所以两次抽取的所有等可能结果如下：
$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$，共9种。
其中满足“第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字”的结果有：$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,3)$，共3种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果总数}$，可得所求概率为：
$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率计算公式
3. 放回抽样试验
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对放回型随机试验的理解和等可能结果的列举能力，解题时要注意区分放回和不放回试验的结果差异，避免因误判试验类型导致结果错误，只要准确枚举所有等可能结果即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题属于放回型等可能事件的概率求解问题，解题思路如下：首先明确两次抽取卡片是独立的放回试验，所有结果出现的可能性相等，适合用列举法（列表或树状图）列出所有等可能的结果；其次筛选出“第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字”的符合条件的结果；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：因为是抽取后放回再抽取，所以两次抽取的所有等可能结果如下：
$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$，共9种。
其中满足“第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字”的结果有：$(1,2)$、$(1,3)$、$(2,3)$，共3种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果总数}$，可得所求概率为：
$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率计算公式
3. 放回抽样试验
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对放回型随机试验的理解和等可能结果的列举能力，解题时要注意区分放回和不放回试验的结果差异，避免因误判试验类型导致结果错误，只要准确枚举所有等可能结果即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10. “石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏.游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率$P=$
$\frac{1}{3}$
.答案
$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确该事件的所有结果是等可能的，我们可以通过枚举法、列表法或树状图法统计出所有等可能的总结果数；再统计出“双方出现相同手势”这一事件包含的结果数；最后代入等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{所求事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算即可。
【解析】
解：设游戏双方分别为甲和乙，枚举所有可能的手势组合：
（石头，石头）、（石头，剪刀）、（石头，布）、
（剪刀，石头）、（剪刀，剪刀）、（剪刀，布）、
（布，石头）、（布，剪刀）、（布，布），
可得一共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的结果有（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布），共3种。
根据等可能事件的概率公式，代入数据得：
$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法计数
【点评】
本题以生活中常见的游戏为背景考查概率基础计算，贴合实际，只要能准确列举出所有等可能的结果，结合概率公式即可快速求解，是概率部分的基础常考题。
【难度系数】
0.85
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：首先明确该事件的所有结果是等可能的，我们可以通过枚举法、列表法或树状图法统计出所有等可能的总结果数；再统计出“双方出现相同手势”这一事件包含的结果数；最后代入等可能事件的概率公式$P=\frac{\mathrm{所求事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$计算即可。
【解析】
解：设游戏双方分别为甲和乙，枚举所有可能的手势组合：
（石头，石头）、（石头，剪刀）、（石头，布）、
（剪刀，石头）、（剪刀，剪刀）、（剪刀，布）、
（布，石头）、（布，剪刀）、（布，布），
可得一共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的结果有（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布），共3种。
根据等可能事件的概率公式，代入数据得：
$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法计数
【点评】
本题以生活中常见的游戏为背景考查概率基础计算，贴合实际，只要能准确列举出所有等可能的结果，结合概率公式即可快速求解，是概率部分的基础常考题。
【难度系数】
0.85
11. 甲、乙、丙3位同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或画树状图的方法列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少。
答案
解:画树状图如图所示:
由图可得共有6种情形,其中甲、乙两人相邻的情形有4种,因此P(甲、乙两人相邻)=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确这是等可能条件下的概率计算问题，解题可按三步推进：第一步，用树状图法列举出3人排队的所有等可能结果，排列时先确定第一位人选，再依次确定剩余位置的人选，保证不重不漏；第二步，从所有结果中筛选出甲、乙两人相邻的结果，即甲乙位置挨在一起的情况；第三步，代入概率公式“P(事件)=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算所求概率。
【解析】
根据题意画出树状图，由树状图可知，3人排队的所有等可能情形共6种，分别为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲。
其中甲、乙两人相邻的情形有4种，分别为：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲。
代入概率公式计算：
$P(\mathrm{甲、乙两人相邻})=\frac{\mathrm{甲、乙相邻的结果数}}{\mathrm{总的等可能结果数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
解:画树状图如图所示:
由图可得共有6种情形,其中甲、乙两人相邻的情形有4种,因此P(甲、乙两人相邻)=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$.
【知识点】
树状图列举法，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查用列举法求概率的应用，解题核心是准确列出所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算，熟练掌握列举法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确这是等可能条件下的概率计算问题，解题可按三步推进：第一步，用树状图法列举出3人排队的所有等可能结果，排列时先确定第一位人选，再依次确定剩余位置的人选，保证不重不漏；第二步，从所有结果中筛选出甲、乙两人相邻的结果，即甲乙位置挨在一起的情况；第三步，代入概率公式“P(事件)=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算所求概率。
【解析】
根据题意画出树状图，由树状图可知，3人排队的所有等可能情形共6种，分别为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲。
其中甲、乙两人相邻的情形有4种，分别为：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲。
代入概率公式计算：
$P(\mathrm{甲、乙两人相邻})=\frac{\mathrm{甲、乙相邻的结果数}}{\mathrm{总的等可能结果数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
【答案】
解:画树状图如图所示:
由图可得共有6种情形,其中甲、乙两人相邻的情形有4种,因此P(甲、乙两人相邻)=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$.
【知识点】
树状图列举法，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查用列举法求概率的应用，解题核心是准确列出所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算，熟练掌握列举法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
12. 现有A,B,C三个不透明的盒子,A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个,B盒中装有红球、黄球各1个,C盒中装有红球、蓝球各1个,这些球除颜色外都相同.现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球.
(1) 从A盒中摸出红球的概率为
(2) 用画树状图或列表的方法,求摸出的3个球中至少有1个红球的概率.
(1) 从A盒中摸出红球的概率为
$\frac{1}{3}$
;(2) 用画树状图或列表的方法,求摸出的3个球中至少有1个红球的概率.
答案
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图所示:
共有12种等可能的结果,摸出的3个球中至少有1个红球的情况有10种,
∴ 摸出的3个球中至少有1个红球的概率为$\frac{10}{12}$=$\frac{5}{6}$.
解析
【分析】
(1) 第一问考查简单事件的概率计算，A盒共有3个等可能被摸到的球，摸出红球的符合条件的结果数为1，总结果数为3，直接套用概率公式即可求解。
(2) 第二问是三步试验的概率问题，适合用树状图法列举所有等可能结果：第一步先列从A盒摸球的3种可能，第二步对应每一种A盒的结果，列从B盒摸球的2种可能，第三步对应每一种前两步的结果，列从C盒摸球的2种可能，得到所有等可能结果后，既可以直接数出“至少有1个红球”的结果数，也可以用总结果数减去“3个球都不是红球”的结果数简化计算，再代入概率公式求解即可。
【解析】
(1) 解：A盒中有红球、黄球、蓝球共3个，每个球被摸出的可能性相等，其中摸出红球的结果有1种，因此从A盒中摸出红球的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 解：根据题意画树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共有$3×2×2=12$种。
其中摸出的3个球都不是红球的情况有2种，分别是(黄,黄,蓝)、(蓝,黄,蓝)，因此摸出的3个球中至少有1个红球的结果数为$12-2=10$种。
代入概率公式得：$P(\mathrm{至少有1个红球})=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图所示:
共有12种等可能的结果,摸出的3个球中至少有1个红球的情况有10种,
∴ 摸出的3个球中至少有1个红球的概率为$\frac{10}{12}$=$\frac{5}{6}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，至少型概率计算
【点评】
本题考查等可能条件下的概率计算，第一问为基础题，直接套用公式即可得分；第二问需要掌握树状图列举所有等可能结果的方法，求解“至少”类概率时，用总情况减去不符合条件的情况计算可降低出错概率，整体侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问考查简单事件的概率计算，A盒共有3个等可能被摸到的球，摸出红球的符合条件的结果数为1，总结果数为3，直接套用概率公式即可求解。
(2) 第二问是三步试验的概率问题，适合用树状图法列举所有等可能结果：第一步先列从A盒摸球的3种可能，第二步对应每一种A盒的结果，列从B盒摸球的2种可能，第三步对应每一种前两步的结果，列从C盒摸球的2种可能，得到所有等可能结果后，既可以直接数出“至少有1个红球”的结果数，也可以用总结果数减去“3个球都不是红球”的结果数简化计算，再代入概率公式求解即可。
【解析】
(1) 解：A盒中有红球、黄球、蓝球共3个，每个球被摸出的可能性相等，其中摸出红球的结果有1种，因此从A盒中摸出红球的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 解：根据题意画树状图：
由树状图可得，所有等可能的结果共有$3×2×2=12$种。
其中摸出的3个球都不是红球的情况有2种，分别是(黄,黄,蓝)、(蓝,黄,蓝)，因此摸出的3个球中至少有1个红球的结果数为$12-2=10$种。
代入概率公式得：$P(\mathrm{至少有1个红球})=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图所示:
共有12种等可能的结果,摸出的3个球中至少有1个红球的情况有10种,
∴ 摸出的3个球中至少有1个红球的概率为$\frac{10}{12}$=$\frac{5}{6}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，至少型概率计算
【点评】
本题考查等可能条件下的概率计算，第一问为基础题，直接套用公式即可得分；第二问需要掌握树状图列举所有等可能结果的方法，求解“至少”类概率时，用总情况减去不符合条件的情况计算可降低出错概率，整体侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
13. 经过某十字路口的汽车可能直行也可能左转或者右转.如果这三种可能性大小相同,求3辆汽车经过这个十字路口时,下列事件的概率.
(1) 2辆车向左转,1辆车向右转;
(2) 至少有2辆车向右转.
(1) 2辆车向左转,1辆车向右转;
(2) 至少有2辆车向右转.
答案
解:根据题意,可以画树状图如图所示:
共有27个等可能的结果,2辆车向左转,1辆车向右转的结果有3种,至少有2辆车向右转的结果有7种.
(1) 2辆车向左转,1辆车向右转的概率是$\frac{3}{27}$=$\frac{1}{9}$;
(2) 至少有2辆车向右转的概率是$\frac{7}{27}$.
解析
【分析】
本题属于等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定总等可能结果数：每辆车有直行、左转、右转3种等可能选择，3辆车的选择相互独立，因此总结果数为$3×3×3=27$种；第二步分别找出两个问题对应的符合条件的结果数：对于(1)，2辆左转1辆右转，只需确定3辆车中哪一辆右转，其余两辆左转即可；对于(2)，“至少2辆右转”包含“恰好2辆右转”和“3辆都右转”两类情况，分别计数后相加；第三步根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$计算概率，也可结合给出的树状图直接数出对应结果数计算。
【解析】
解：每辆汽车经过十字路口时，都有直行、左转、右转3种等可能的选择，因此3辆汽车的行驶方向共有$3×3×3=27$种等可能的结果。
（1）2辆车向左转、1辆车向右转的情况：右转的车可以是3辆中的任意1辆，其余2辆均左转，对应的结果有3种，因此：
$P(\mathrm{2辆左转，1辆右转})=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$；
（2）“至少有2辆车向右转”分两类计数：
①恰好2辆右转，剩余1辆直行或左转：右转的2辆可以是3辆中的任意2辆，剩余1辆有2种行驶选择，共$3×2=6$种结果；
②3辆全部右转：仅1种结果。
符合条件的结果共有$6+1=7$种，因此：
$P(\mathrm{至少2辆右转})=\frac{7}{27}$。
【答案】
根据题意,可以画树状图如图所示:
共有27个等可能的结果,2辆车向左转,1辆车向右转的结果有3种,至少有2辆车向右转的结果有7种.
(1) 2辆车向左转,1辆车向右转的概率是$\frac{3}{27}$=$\frac{1}{9}$;
(2) 至少有2辆车向右转的概率是$\frac{7}{27}$.
【知识点】
等可能事件概率，树状图枚举，分类计数
【点评】
本题重点考查等可能事件概率的求解，通过树状图或分类计数可以清晰梳理所有结果，解题时要注意“至少”类问题需分情况讨论，避免漏算或多算结果，掌握列举法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
本题属于等可能条件下的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定总等可能结果数：每辆车有直行、左转、右转3种等可能选择，3辆车的选择相互独立，因此总结果数为$3×3×3=27$种；第二步分别找出两个问题对应的符合条件的结果数：对于(1)，2辆左转1辆右转，只需确定3辆车中哪一辆右转，其余两辆左转即可；对于(2)，“至少2辆右转”包含“恰好2辆右转”和“3辆都右转”两类情况，分别计数后相加；第三步根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$计算概率，也可结合给出的树状图直接数出对应结果数计算。
【解析】
解：每辆汽车经过十字路口时，都有直行、左转、右转3种等可能的选择，因此3辆汽车的行驶方向共有$3×3×3=27$种等可能的结果。
（1）2辆车向左转、1辆车向右转的情况：右转的车可以是3辆中的任意1辆，其余2辆均左转，对应的结果有3种，因此：
$P(\mathrm{2辆左转，1辆右转})=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$；
（2）“至少有2辆车向右转”分两类计数：
①恰好2辆右转，剩余1辆直行或左转：右转的2辆可以是3辆中的任意2辆，剩余1辆有2种行驶选择，共$3×2=6$种结果；
②3辆全部右转：仅1种结果。
符合条件的结果共有$6+1=7$种，因此：
$P(\mathrm{至少2辆右转})=\frac{7}{27}$。
【答案】
根据题意,可以画树状图如图所示:
共有27个等可能的结果,2辆车向左转,1辆车向右转的结果有3种,至少有2辆车向右转的结果有7种.
(1) 2辆车向左转,1辆车向右转的概率是$\frac{3}{27}$=$\frac{1}{9}$;
(2) 至少有2辆车向右转的概率是$\frac{7}{27}$.
【知识点】
等可能事件概率，树状图枚举，分类计数
【点评】
本题重点考查等可能事件概率的求解，通过树状图或分类计数可以清晰梳理所有结果，解题时要注意“至少”类问题需分情况讨论，避免漏算或多算结果，掌握列举法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
