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14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB=BD=6,则菱形ABCD的面积是
$18\sqrt{3}$
.答案
14.$18\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分，面积等于两条对角线乘积的一半。已知AB=BD=6，结合菱形四边相等可得AB=AD=BD，因此△ABD是等边三角形；接下来利用对角线平分的性质求出OD的长度，再在直角三角形AOD中用勾股定理求出AO的长度，进而得到AC的长度，最后代入菱形面积公式计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OB=OD=½BD，OA=OC=½AC。
又
∵AB=BD=6，
∴AB=AD=BD=6，即△ABD是等边三角形，
∴OD=½BD=3。
在Rt△AOD中，AD=6，OD=3，由勾股定理得：
AO=√(AD² - OD²)=√(6² - 3²)=√27=3√3，
∴AC=2AO=6√3。
∴菱形ABCD的面积S=½×AC×BD=½×6√3×6=18√3。
【答案】
18√3
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题主要考查菱形性质的综合应用，解题的关键是先根据边长关系判断出等边三角形，再结合勾股定理求出另一条对角线的长度，熟练掌握菱形面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分，面积等于两条对角线乘积的一半。已知AB=BD=6，结合菱形四边相等可得AB=AD=BD，因此△ABD是等边三角形；接下来利用对角线平分的性质求出OD的长度，再在直角三角形AOD中用勾股定理求出AO的长度，进而得到AC的长度，最后代入菱形面积公式计算即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OB=OD=½BD，OA=OC=½AC。
又
∵AB=BD=6，
∴AB=AD=BD=6，即△ABD是等边三角形，
∴OD=½BD=3。
在Rt△AOD中，AD=6，OD=3，由勾股定理得：
AO=√(AD² - OD²)=√(6² - 3²)=√27=3√3，
∴AC=2AO=6√3。
∴菱形ABCD的面积S=½×AC×BD=½×6√3×6=18√3。
【答案】
18√3
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题主要考查菱形性质的综合应用，解题的关键是先根据边长关系判断出等边三角形，再结合勾股定理求出另一条对角线的长度，熟练掌握菱形面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
15.如图,已知四边形ABCD为正方形,边长为2,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.当点E从点A运动到点C时,DG的最小值为
$\sqrt{2}$
.答案
15.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
要找DG的最小值，首先分析图形关系：①先利用正方形ABCD的角平分线性质，结合DE⊥EF的条件，证明△DEM和△FEN全等，得到DE=EF，进而推出矩形DEFG是正方形，可得DG=DE；②将求DG最小值转化为求定点D到线段AC上动点E的最短距离，根据垂线段最短的性质，DE最短为点D到AC的垂线段长度，计算该长度即可。
【解析】
1. 证明矩形DEFG为正方形：
过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N。
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AC平分∠BCD，∠BCD=90°，
根据角平分线的性质，得EM=EN，且∠EMD=∠ENF=90°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEM + ∠MEF = 90°，又∠FEN + ∠MEF = 90°，
∴∠DEM=∠FEN。
在△DEM和△FEN中：
$\{\begin{array}{l}∠ EMD=∠ ENF\\ EM=EN\\ ∠ DEM=∠ FEN\end{array} $
∴△DEM≌△FEN（ASA），
∴DE=EF。
∵四边形DEFG是矩形，且邻边DE=EF，
∴矩形DEFG是正方形，故DG=DE。
2. 求DE的最小值：
点E在线段AC上运动，D为定点，根据“垂线段最短”，当DE⊥AC时，DE的长度最小。
已知正方形ABCD边长为2，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
△ADC的面积为$\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×2×2=2$，
设DE的最小值为h，由△ADC面积也可表示为$\frac{1}{2}× AC× h$，得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}× h=2$，解得$h=\sqrt{2}$。
即DE的最小值为$\sqrt{2}$，因此DG的最小值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题属于几何综合类填空题，解题的核心是通过全等三角形证明将未知的DG最值转化为易求的DE最值，再利用垂线段最短的性质求解，很好地考查了几何转化思想和基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要找DG的最小值，首先分析图形关系：①先利用正方形ABCD的角平分线性质，结合DE⊥EF的条件，证明△DEM和△FEN全等，得到DE=EF，进而推出矩形DEFG是正方形，可得DG=DE；②将求DG最小值转化为求定点D到线段AC上动点E的最短距离，根据垂线段最短的性质，DE最短为点D到AC的垂线段长度，计算该长度即可。
【解析】
1. 证明矩形DEFG为正方形：
过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N。
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AC平分∠BCD，∠BCD=90°，
根据角平分线的性质，得EM=EN，且∠EMD=∠ENF=90°。
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEM + ∠MEF = 90°，又∠FEN + ∠MEF = 90°，
∴∠DEM=∠FEN。
在△DEM和△FEN中：
$\{\begin{array}{l}∠ EMD=∠ ENF\\ EM=EN\\ ∠ DEM=∠ FEN\end{array} $
∴△DEM≌△FEN（ASA），
∴DE=EF。
∵四边形DEFG是矩形，且邻边DE=EF，
∴矩形DEFG是正方形，故DG=DE。
2. 求DE的最小值：
点E在线段AC上运动，D为定点，根据“垂线段最短”，当DE⊥AC时，DE的长度最小。
已知正方形ABCD边长为2，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
△ADC的面积为$\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×2×2=2$，
设DE的最小值为h，由△ADC面积也可表示为$\frac{1}{2}× AC× h$，得：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}× h=2$，解得$h=\sqrt{2}$。
即DE的最小值为$\sqrt{2}$，因此DG的最小值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题属于几何综合类填空题，解题的核心是通过全等三角形证明将未知的DG最值转化为易求的DE最值，再利用垂线段最短的性质求解，很好地考查了几何转化思想和基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
16.小云从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一小段时间后又走到文具店买了些学习用品，在文具店停留了一小段时间后散步走回家.小云离家的距离y(单位:km)与她所用的时间x(单位:min)的关系如图所示，解答下列问题：
(1)小云家离体育场的距离为
(2)请求出小云在第35 min时离家的距离.
(1)小云家离体育场的距离为
2.5
km；(2)请求出小云在第35 min时离家的距离.
答案
16.[解](1)2.5
(2)设从第30 min到第45 min这段时间,小云离家的距离y与她所用时间x的解析式为$y=kx+b(k≠0)$,
则有$\begin{cases}30k+b=2.5,\\45k+b=1.5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{15},\\b=\dfrac{9}{2},\end{cases}$
所以解析式为$y=-\dfrac{1}{15}x+\dfrac{9}{2}$.
当$x=35$时,$y=\dfrac{13}{6}$.
所以小云在第35 min时离家的距离是$\dfrac{13}{6}$km.
(2)设从第30 min到第45 min这段时间,小云离家的距离y与她所用时间x的解析式为$y=kx+b(k≠0)$,
则有$\begin{cases}30k+b=2.5,\\45k+b=1.5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{15},\\b=\dfrac{9}{2},\end{cases}$
所以解析式为$y=-\dfrac{1}{15}x+\dfrac{9}{2}$.
当$x=35$时,$y=\dfrac{13}{6}$.
所以小云在第35 min时离家的距离是$\dfrac{13}{6}$km.
解析
【分析】
（1）对于第一问，观察函数图像可知，小云从家跑步到体育场时，离家距离达到最大值，图像最高点对应的纵坐标即为小云家到体育场的距离，直接读取数值即可。
（2）对于第二问，首先判断第35min所处的时间段：由图像可知，30min到45min是小云从体育场前往文具店的阶段，该阶段y与x满足一次函数关系。我们可以先设该段的一次函数解析式为$y=kx+b$，代入该段的两个端点坐标$(30,2.5)$和$(45,1.5)$，通过解方程组求出k和b的值，得到解析式后，再将$x=35$代入解析式，计算得到的y值就是第35min时小云离家的距离。
【解析】
(1) 由图像可知，小云跑到体育场时离家距离为2.5km，因此小云家离体育场的距离为2.5km。
(2) 设30min到45min时间段内，y与x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(30,2.5)$和$(45,1.5)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}30k+b=2.5\\45k+b=1.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$15k=-1$，解得$k=-\dfrac{1}{15}$，
将$k=-\dfrac{1}{15}$代入$30k+b=2.5$，得$30×(-\dfrac{1}{15})+b=2.5$，即$-2+b=2.5$，解得$b=\dfrac{9}{2}$，
因此该段解析式为$y=-\dfrac{1}{15}x+\dfrac{9}{2}$（$30≤ x≤45$）。
当$x=35$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{15}×35+\dfrac{9}{2}=-\dfrac{7}{3}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{-14+27}{6}=\dfrac{13}{6}$
即小云在第35min时离家的距离为$\dfrac{13}{6}$km。
【答案】
(1) $\boxed{2.5}$；(2) $\boxed{\dfrac{13}{6}\mathrm{km}}$
【知识点】
函数图像识别，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查一次函数的应用，解题的关键是读懂分段函数图像每一段对应的实际意义，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式的方法，侧重对基础知识和基本技能的考查。
【难度系数】
0.7
（1）对于第一问，观察函数图像可知，小云从家跑步到体育场时，离家距离达到最大值，图像最高点对应的纵坐标即为小云家到体育场的距离，直接读取数值即可。
（2）对于第二问，首先判断第35min所处的时间段：由图像可知，30min到45min是小云从体育场前往文具店的阶段，该阶段y与x满足一次函数关系。我们可以先设该段的一次函数解析式为$y=kx+b$，代入该段的两个端点坐标$(30,2.5)$和$(45,1.5)$，通过解方程组求出k和b的值，得到解析式后，再将$x=35$代入解析式，计算得到的y值就是第35min时小云离家的距离。
【解析】
(1) 由图像可知，小云跑到体育场时离家距离为2.5km，因此小云家离体育场的距离为2.5km。
(2) 设30min到45min时间段内，y与x的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$(30,2.5)$和$(45,1.5)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases}30k+b=2.5\\45k+b=1.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$15k=-1$，解得$k=-\dfrac{1}{15}$，
将$k=-\dfrac{1}{15}$代入$30k+b=2.5$，得$30×(-\dfrac{1}{15})+b=2.5$，即$-2+b=2.5$，解得$b=\dfrac{9}{2}$，
因此该段解析式为$y=-\dfrac{1}{15}x+\dfrac{9}{2}$（$30≤ x≤45$）。
当$x=35$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{15}×35+\dfrac{9}{2}=-\dfrac{7}{3}+\dfrac{9}{2}=\dfrac{-14+27}{6}=\dfrac{13}{6}$
即小云在第35min时离家的距离为$\dfrac{13}{6}$km。
【答案】
(1) $\boxed{2.5}$；(2) $\boxed{\dfrac{13}{6}\mathrm{km}}$
【知识点】
函数图像识别，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查一次函数的应用，解题的关键是读懂分段函数图像每一段对应的实际意义，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式的方法，侧重对基础知识和基本技能的考查。
【难度系数】
0.7
17.在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$($k,b$都是常数，且$k≠0$)的图象经过点$A(1,0)$和$B(2,-2)$.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)当$-1＜x≤3$时，求$y$的取值范围；
(3)点$P(m,n)$在该函数的图象上，且$m-n=3$，求点$P$的坐标.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)当$-1＜x≤3$时，求$y$的取值范围；
(3)点$P(m,n)$在该函数的图象上，且$m-n=3$，求点$P$的坐标.
答案
17.[解](1)将$(1,0)$和$(2,-2)$代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases}k+b=0,\\2k+b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=2,\end{cases}$
所以该一次函数的解析式为$y=-2x+2$.
(2)把$x=-1$代入$y=-2x+2$,得$y=4$,
把$x=3$代入$y=-2x+2$,得$y=-4$,
所以$y$的取值范围是$-4≤ y＜4$.
(3)因为点$P(m,n)$在该函数的图象上,
所以$n=-2m+2$,
又因为$m-n=3$,
所以$m-(-2m+2)=3$,
解得$m=\dfrac{5}{3}$,所以$n=-\dfrac{4}{3}$,
所以点$P$的坐标为$(\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3})$.
得$\begin{cases}k+b=0,\\2k+b=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=2,\end{cases}$
所以该一次函数的解析式为$y=-2x+2$.
(2)把$x=-1$代入$y=-2x+2$,得$y=4$,
把$x=3$代入$y=-2x+2$,得$y=-4$,
所以$y$的取值范围是$-4≤ y＜4$.
(3)因为点$P(m,n)$在该函数的图象上,
所以$n=-2m+2$,
又因为$m-n=3$,
所以$m-(-2m+2)=3$,
解得$m=\dfrac{5}{3}$,所以$n=-\dfrac{4}{3}$,
所以点$P$的坐标为$(\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3})$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法：已知函数图象经过两个定点，将两点坐标代入$y=kx+b$，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到解析式。
(2) 先判断函数增减性：此函数$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，所以给定x的范围时，代入x的两个端点值就能得到y的最值，再结合x的取值边界判断y的取值边界即可。
(3) 点在函数图象上则坐标满足函数解析式，可得到m和n的第一个关系式，再结合已知$m-n=3$，联立两个式子求解就能得到m、n的值，即点P的坐标。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$和$(2,-2)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k+b=0\\2k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$
所以该一次函数的解析式为$y=-2x+2$。
(2) 把$x=-1$代入$y=-2x+2$，得$y=4$；
把$x=3$代入$y=-2x+2$，得$y=-4$。
因为函数$y=-2x+2$中y随x的增大而减小，且$-1＜x≤3$，
所以y的取值范围是$-4≤ y＜4$。
(3) 因为点$P(m,n)$在该函数的图象上，所以$n=-2m+2$，
又因为$m-n=3$，将$n=-2m+2$代入得：
$m-(-2m+2)=3$
解得$m=\dfrac{5}{3}$，代入$n=-2m+2$得$n=-\dfrac{4}{3}$，
所以点$P$的坐标为$(\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3})$。
【答案】
(1) $y=-2x+2$
(2) $-4≤ y＜4$
(3) $(\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3})$
【知识点】
待定系数法求解析式、一次函数的性质、点与函数图象的关系
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察一次函数核心的基础知识点，解题逻辑清晰，是帮助学生夯实一次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法：已知函数图象经过两个定点，将两点坐标代入$y=kx+b$，就能得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到解析式。
(2) 先判断函数增减性：此函数$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，所以给定x的范围时，代入x的两个端点值就能得到y的最值，再结合x的取值边界判断y的取值边界即可。
(3) 点在函数图象上则坐标满足函数解析式，可得到m和n的第一个关系式，再结合已知$m-n=3$，联立两个式子求解就能得到m、n的值，即点P的坐标。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$和$(2,-2)$代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k+b=0\\2k+b=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$
所以该一次函数的解析式为$y=-2x+2$。
(2) 把$x=-1$代入$y=-2x+2$，得$y=4$；
把$x=3$代入$y=-2x+2$，得$y=-4$。
因为函数$y=-2x+2$中y随x的增大而减小，且$-1＜x≤3$，
所以y的取值范围是$-4≤ y＜4$。
(3) 因为点$P(m,n)$在该函数的图象上，所以$n=-2m+2$，
又因为$m-n=3$，将$n=-2m+2$代入得：
$m-(-2m+2)=3$
解得$m=\dfrac{5}{3}$，代入$n=-2m+2$得$n=-\dfrac{4}{3}$，
所以点$P$的坐标为$(\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3})$。
【答案】
(1) $y=-2x+2$
(2) $-4≤ y＜4$
(3) $(\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3})$
【知识点】
待定系数法求解析式、一次函数的性质、点与函数图象的关系
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察一次函数核心的基础知识点，解题逻辑清晰，是帮助学生夯实一次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
