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18.如图,直线$l_1:y=\frac{1}{2}x$与直线$l_2$交于点$A(2,a)$,直线$l_2$与$y$轴交于点$B(0,3)$,与$x$轴交于点$C$.
(1)求直线$l_2$的函数解析式;
(2)点$M$在直线$l_2$上,当$△ OAM$的面积为$△ BOC$面积的$\frac{4}{9}$时,求点$M$的坐标.
(1)求直线$l_2$的函数解析式;
(2)点$M$在直线$l_2$上,当$△ OAM$的面积为$△ BOC$面积的$\frac{4}{9}$时,求点$M$的坐标.
答案
18.[解](1)因为直线$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$与直线$l_2$交于点$A(2,a)$,
所以$a=\dfrac{1}{2}×2=1$,
所以$A(2,1)$.
设直线$l_2$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$.
因为直线$l_2$与$y$轴交于点$B(0,3)$,与直线$l_1$交于点$A(2,1)$,
所以$\begin{cases}2k+b=1,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$
所以直线$l_2$的函数解析式为$y=-x+3$.
(2)因为直线$l_2$的解析式为$y=-x+3$,
令$y=0$,则$0=-x+3$,解得$x=3$,
所以$C(3,0)$.
因为$B(0,3)$,
所以$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}$,
所以$S_{△ OAM}=\dfrac{4}{9}×\dfrac{9}{2}=2$.
设$M(x,-x+3)$,
①点$M$在$OA$上方时,
,因为$S_{△ BOA}=\dfrac{1}{2}×3×2=3＞2$,所以点$M$在$y$轴右侧,
所以$S_{△ OAM}=S_{△ BOA}-S_{△ BOM}=3-\dfrac{1}{2}×3x=2$,解得$x=\dfrac{2}{3}$,
所以点$M$的坐标为$(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$;
②点$M$在$OA$下方时,
,因为$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}＜2$,所以点$M$在$x$轴下方即$-x+3＜0$,
所以$S_{△ OAM}=S_{△ OAC}+S_{△ OCM}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}×3|-x+3|=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}(x-3)=2$,解得$x=\dfrac{10}{3}$,
所以点$M$的坐标为$(\dfrac{10}{3},-\dfrac{1}{3})$.
综上,点$M$的坐标为$(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$或$(\dfrac{10}{3},-\dfrac{1}{3})$.
解析
【分析】
(1) 求直线$l_2$的解析式需要两个点的坐标：已知$B(0,3)$，另一个点$A(2,a)$在$l_1$上，先将$x=2$代入$l_1$的解析式求出$a$得到$A$点坐标，再用待定系数法设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，代入两个点的坐标解方程组即可。
(2) 先求出$l_2$与$x$轴交点$C$的坐标，计算$△ BOC$的面积，进而得到$△ OAM$的面积；设$M(x,-x+3)$，分两种情况讨论：①$M$在$A$点上方，②$M$在$A$点下方，分别用割补法表示$△ OAM$的面积列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为直线$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$与直线$l_2$交于点$A(2,a)$，
所以$a=\dfrac{1}{2}×2=1$，即$A(2,1)$。
设直线$l_2$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
已知直线$l_2$过点$B(0,3)$和$A(2,1)$，代入得：
$\begin{cases}2k+b=1\\b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$
所以直线$l_2$的函数解析式为$y=-x+3$。
(2) 对于直线$l_2:y=-x+3$，令$y=0$，得$0=-x+3$，解得$x=3$，所以$C(3,0)$。
已知$B(0,3)$，则$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×OB×OC=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}$，
由题意得$S_{△ OAM}=\dfrac{4}{9}S_{△ BOC}=\dfrac{4}{9}×\dfrac{9}{2}=2$。
设点$M$的坐标为$(x,-x+3)$，分两种情况讨论：
①点$M$在$OA$上方时，，
因为$S_{△ BOA}=\dfrac{1}{2}×3×2=3＞2$，可知点$M$在$y$轴右侧，
此时$S_{△ OAM}=S_{△ BOA}-S_{△ BOM}=3-\dfrac{1}{2}×3x=2$，解得$x=\dfrac{2}{3}$，
代入$y=-x+3$得$y=-\dfrac{2}{3}+3=\dfrac{7}{3}$，即$M(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$；
②点$M$在$OA$下方时，，
因为$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}＜2$，可知点$M$在$x$轴下方，即$-x+3＜0$，
此时$S_{△ OAM}=S_{△ OAC}+S_{△ OCM}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}×3×| -x+3 |=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}(x-3)=2$，
解得$x=\dfrac{10}{3}$，代入$y=-x+3$得$y=-\dfrac{10}{3}+3=-\dfrac{1}{3}$，即$M(\dfrac{10}{3},-\dfrac{1}{3})$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的函数解析式为$\boldsymbol{y=-x+3}$；
(2) 点$M$的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})}$或$\boldsymbol{(\dfrac{10}{3},-\dfrac{1}{3})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题型，第一问属于基础考点，易得分；第二问需要结合图形特征分类讨论点的位置，通过割补法建立面积方程求解，侧重考查数形结合和分类讨论的数学思想，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线$l_2$的解析式需要两个点的坐标：已知$B(0,3)$，另一个点$A(2,a)$在$l_1$上，先将$x=2$代入$l_1$的解析式求出$a$得到$A$点坐标，再用待定系数法设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，代入两个点的坐标解方程组即可。
(2) 先求出$l_2$与$x$轴交点$C$的坐标，计算$△ BOC$的面积，进而得到$△ OAM$的面积；设$M(x,-x+3)$，分两种情况讨论：①$M$在$A$点上方，②$M$在$A$点下方，分别用割补法表示$△ OAM$的面积列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 因为直线$l_1:y=\dfrac{1}{2}x$与直线$l_2$交于点$A(2,a)$，
所以$a=\dfrac{1}{2}×2=1$，即$A(2,1)$。
设直线$l_2$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
已知直线$l_2$过点$B(0,3)$和$A(2,1)$，代入得：
$\begin{cases}2k+b=1\\b=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=3\end{cases}$
所以直线$l_2$的函数解析式为$y=-x+3$。
(2) 对于直线$l_2:y=-x+3$，令$y=0$，得$0=-x+3$，解得$x=3$，所以$C(3,0)$。
已知$B(0,3)$，则$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×OB×OC=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}$，
由题意得$S_{△ OAM}=\dfrac{4}{9}S_{△ BOC}=\dfrac{4}{9}×\dfrac{9}{2}=2$。
设点$M$的坐标为$(x,-x+3)$，分两种情况讨论：
①点$M$在$OA$上方时，
，因为$S_{△ BOA}=\dfrac{1}{2}×3×2=3＞2$，可知点$M$在$y$轴右侧，
此时$S_{△ OAM}=S_{△ BOA}-S_{△ BOM}=3-\dfrac{1}{2}×3x=2$，解得$x=\dfrac{2}{3}$，
代入$y=-x+3$得$y=-\dfrac{2}{3}+3=\dfrac{7}{3}$，即$M(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})$；
②点$M$在$OA$下方时，
，因为$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}＜2$，可知点$M$在$x$轴下方，即$-x+3＜0$，
此时$S_{△ OAM}=S_{△ OAC}+S_{△ OCM}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}×3×| -x+3 |=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}(x-3)=2$，
解得$x=\dfrac{10}{3}$，代入$y=-x+3$得$y=-\dfrac{10}{3}+3=-\dfrac{1}{3}$，即$M(\dfrac{10}{3},-\dfrac{1}{3})$。
【答案】
(1) 直线$l_2$的函数解析式为$\boldsymbol{y=-x+3}$；
(2) 点$M$的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3})}$或$\boldsymbol{(\dfrac{10}{3},-\dfrac{1}{3})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的性质，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题型，第一问属于基础考点，易得分；第二问需要结合图形特征分类讨论点的位置，通过割补法建立面积方程求解，侧重考查数形结合和分类讨论的数学思想，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.6
