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6（2025南通通州期末）小聪从家跑步到体育馆，在体育馆锻炼了一段时间后又跑步到书店去买书，然后步行回家（小聪的家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小聪离家的距离与时间之间的关系. 下列说法中错误的是 （
A.体育馆到书店的距离为 1.5 km
B.小聪从家跑步到体育馆的速度为 10 km/h
C.小聪的家到书店的距离为 3.5 km
D.小聪步行回家的速度为 3 km/h
C
）A.体育馆到书店的距离为 1.5 km
B.小聪从家跑步到体育馆的速度为 10 km/h
C.小聪的家到书店的距离为 3.5 km
D.小聪步行回家的速度为 3 km/h
答案
6.C
解析
【分析】首先明确该函数图像的横轴表示小聪离家的时间（单位：min），纵轴表示小聪离家的距离（单位：km）。我们可以将图像按行程分为5个阶段：①0~15min：小聪从家跑步到体育馆；②15~45min：小聪在体育馆锻炼；③45~60min：小聪从体育馆跑步到书店；④60~80min：小聪在书店买书；⑤80~100min：小聪从书店步行回家。接下来结合每个阶段的时间、路程信息逐个判断选项的正误即可。
【解析】我们逐个分析选项：
A选项：由图像可知，体育馆离家2.5km，书店离家1km，三者在同一直线上，因此体育馆到书店的距离为$2.5 - 1 = 1.5\mathrm{km}$，该选项正确，不符合题意；
B选项：小聪从家到体育馆用时15min，换算为小时是$15\mathrm{min}=\frac{15}{60}\mathrm{h}=0.25\mathrm{h}$，路程为2.5km，因此速度为$v=\frac{s}{t}=\frac{2.5}{0.25}=10\mathrm{km/h}$，该选项正确，不符合题意；
C选项：由图像中小聪在书店时离家距离为1km，可知家到书店的距离为1km，不是3.5km，该选项错误，符合题意；
D选项：小聪步行回家用时$100 - 80 = 20\mathrm{min}=\frac{20}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$，路程为1km，因此步行速度为$v=\frac{s}{t}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\mathrm{km/h}$，该选项正确，不符合题意。
【答案】C
【知识点】函数图像的应用；行程问题计算
【点评】本题考查函数图像在实际行程问题中的应用，解题关键是准确解读图像每个阶段对应的实际意义，计算时要注意时间单位的统一，避免因单位换算出错导致判断失误。
【难度系数】0.7
【解析】我们逐个分析选项：
A选项：由图像可知，体育馆离家2.5km，书店离家1km，三者在同一直线上，因此体育馆到书店的距离为$2.5 - 1 = 1.5\mathrm{km}$，该选项正确，不符合题意；
B选项：小聪从家到体育馆用时15min，换算为小时是$15\mathrm{min}=\frac{15}{60}\mathrm{h}=0.25\mathrm{h}$，路程为2.5km，因此速度为$v=\frac{s}{t}=\frac{2.5}{0.25}=10\mathrm{km/h}$，该选项正确，不符合题意；
C选项：由图像中小聪在书店时离家距离为1km，可知家到书店的距离为1km，不是3.5km，该选项错误，符合题意；
D选项：小聪步行回家用时$100 - 80 = 20\mathrm{min}=\frac{20}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$，路程为1km，因此步行速度为$v=\frac{s}{t}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\mathrm{km/h}$，该选项正确，不符合题意。
【答案】C
【知识点】函数图像的应用；行程问题计算
【点评】本题考查函数图像在实际行程问题中的应用，解题关键是准确解读图像每个阶段对应的实际意义，计算时要注意时间单位的统一，避免因单位换算出错导致判断失误。
【难度系数】0.7
7 (2025镇江丹阳二模)某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数关系图象如图所示，则汽车行驶20 min时距离终点
20
km.答案
7.20
解析
【分析】
要解决这个问题，首先观察路程s随时间t变化的函数图象，可知16min到30min汽车匀速行驶，对应一次函数关系。我们可以先通过待定系数法求出这段区间的函数解析式，再将t=20min代入解析式求出此时汽车已行驶的路程，最后用总路程40km减去已行驶路程，即可得到距离终点的距离。
【解析】
设当$16≤ t≤30$时，$s$与$t$的函数解析式为$s=kt+b(k≠0)$。
将点$(16,12)$和$(30,40)$代入解析式，得：
$\begin{cases}16k + b = 12 \\30k + b = 40\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$14k=28$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$16k + b =12$，得$32 + b =12$，解得$b=-20$。
因此该段函数解析式为$s=2t -20$。
当$t=20$时，$s=2×20 -20=20\ \mathrm{km}$。
总路程为40km，所以距离终点的距离为$40 -20=20\ \mathrm{km}$。
【答案】
20
【知识点】
一次函数的应用，函数图象的识别
【点评】
本题考查从函数图象中提取有效信息的能力，以及用待定系数法求一次函数解析式、代入求值的基本方法，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先观察路程s随时间t变化的函数图象，可知16min到30min汽车匀速行驶，对应一次函数关系。我们可以先通过待定系数法求出这段区间的函数解析式，再将t=20min代入解析式求出此时汽车已行驶的路程，最后用总路程40km减去已行驶路程，即可得到距离终点的距离。
【解析】
设当$16≤ t≤30$时，$s$与$t$的函数解析式为$s=kt+b(k≠0)$。
将点$(16,12)$和$(30,40)$代入解析式，得：
$\begin{cases}16k + b = 12 \\30k + b = 40\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$14k=28$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$16k + b =12$，得$32 + b =12$，解得$b=-20$。
因此该段函数解析式为$s=2t -20$。
当$t=20$时，$s=2×20 -20=20\ \mathrm{km}$。
总路程为40km，所以距离终点的距离为$40 -20=20\ \mathrm{km}$。
【答案】
20
【知识点】
一次函数的应用，函数图象的识别
【点评】
本题考查从函数图象中提取有效信息的能力，以及用待定系数法求一次函数解析式、代入求值的基本方法，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
8 根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30 m称为“加速期”，30～80 m为“中途期”，80～100 m为“冲刺期”。市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度 y(m/s)与路程x(m)之间的观测数据绘制成曲线如图所示。
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议。
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议。
答案
8. 解:(1) $y$ 是 $x$ 的函数,在这个变化过程中,对于 $x$ 的每一个确定的值,$y$ 都有唯一的值与之对应.
(2) 由图象,得“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s.
(3) 答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩.
(2) 由图象,得“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s.
(3) 答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩.
解析
【分析】
（1）判断y是否为x的函数，需依据函数定义分析：在变化过程中，若自变量x每取一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，结合图像中x、y的对应关系即可判断。
（2）首先明确“加速期”结束对应路程x=30m，在横轴找到x=30的位置，读取对应纵轴的速度数值即可。
（3）观察图像中速度的变化规律，找到速度下降明显的阶段，针对该阶段的问题提出合理训练建议即可。
【解析】
（1）根据函数定义分析：在路程x和速度y的变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是关于x的函数。
（2）由题意可知加速期为前30m，即加速期结束时x=30m，观察图像可得，x=30m对应的速度y为10.4m/s。
（3）观察图像可知，小斌跑至80m左右时速度出现明显下降，可针对后程耐力不足的问题提出训练建议，合理即可。
【答案】
（1）$y$ 是 $x$ 的函数，在这个变化过程中，对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一的值与之对应。
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为 10.4 m/s。
（3）示例：小斌在80 m左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩（合理即可）。
【知识点】
函数的定义，函数图象的解读
【点评】
本题结合百米赛跑的实际场景，既考查了函数的基本概念，又考查了从函数图象中提取有效信息、解决实际问题的能力，题型贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）判断y是否为x的函数，需依据函数定义分析：在变化过程中，若自变量x每取一个确定值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，结合图像中x、y的对应关系即可判断。
（2）首先明确“加速期”结束对应路程x=30m，在横轴找到x=30的位置，读取对应纵轴的速度数值即可。
（3）观察图像中速度的变化规律，找到速度下降明显的阶段，针对该阶段的问题提出合理训练建议即可。
【解析】
（1）根据函数定义分析：在路程x和速度y的变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，因此y是关于x的函数。
（2）由题意可知加速期为前30m，即加速期结束时x=30m，观察图像可得，x=30m对应的速度y为10.4m/s。
（3）观察图像可知，小斌跑至80m左右时速度出现明显下降，可针对后程耐力不足的问题提出训练建议，合理即可。
【答案】
（1）$y$ 是 $x$ 的函数，在这个变化过程中，对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一的值与之对应。
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为 10.4 m/s。
（3）示例：小斌在80 m左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩（合理即可）。
【知识点】
函数的定义，函数图象的解读
【点评】
本题结合百米赛跑的实际场景，既考查了函数的基本概念，又考查了从函数图象中提取有效信息、解决实际问题的能力，题型贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
9 新素养 几何直观 如图1是一个大长方形减去一个小长方形后形成的图形.已知动点P以1 cm/s的速度沿边框A→B→C→D→E→F的路径移动,相应的△AFP的面积S(cm²)与时间x(s)之间的关系如图2,若AF=3 cm,求:
(1) 图1中BC的长;
(2) 图2中a的值;
(3) 图1中图形的面积;
(4) 图2中b的值.
(1) 图1中BC的长;
(2) 图2中a的值;
(3) 图1中图形的面积;
(4) 图2中b的值.
答案
9. 解:(1) 当动点 $P$ 在 $BC$ 上运动时,对应的时间为 $5-3=2(\mathrm{s})$,得 $BC=1×2=2(\mathrm{cm})$.
故图 1 中 $BC$ 的长是 2 cm.
(2) 由动点 $P$ 在 $AB$ 上运动时,对应的时间为 0 s 到 3 s,得 $AB=1×3=3(\mathrm{cm})$,
所以 $a=\dfrac{1}{2}AF· AB=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}(\mathrm{cm}^2)$.
故图 2 中 $a$ 的值为 $\dfrac{9}{2}$.
(3) 由图可得 $CD=1×(8-5)=3(\mathrm{cm}),DE=AF-BC=3-2=1(\mathrm{cm})$,
则 $FE=AB+CD=3+3=6(\mathrm{cm})$.
又 $AF=3$ cm,
所以图 1 的面积为 $FE· AF-CD· BC=6×3-3×2=12(\mathrm{cm}^2)$.
故图 1 中图形的面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$.
(4) 由题意,得动点 $P$ 共运动了 $AB+BC+CD+DE+FE=3+2+3+1+6=15(\mathrm{cm})$,则 $b=15÷1=15$.
故图 2 中 $b$ 的值为 15.
故图 1 中 $BC$ 的长是 2 cm.
(2) 由动点 $P$ 在 $AB$ 上运动时,对应的时间为 0 s 到 3 s,得 $AB=1×3=3(\mathrm{cm})$,
所以 $a=\dfrac{1}{2}AF· AB=\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}(\mathrm{cm}^2)$.
故图 2 中 $a$ 的值为 $\dfrac{9}{2}$.
(3) 由图可得 $CD=1×(8-5)=3(\mathrm{cm}),DE=AF-BC=3-2=1(\mathrm{cm})$,
则 $FE=AB+CD=3+3=6(\mathrm{cm})$.
又 $AF=3$ cm,
所以图 1 的面积为 $FE· AF-CD· BC=6×3-3×2=12(\mathrm{cm}^2)$.
故图 1 中图形的面积为 $12\ \mathrm{cm}^2$.
(4) 由题意,得动点 $P$ 共运动了 $AB+BC+CD+DE+FE=3+2+3+1+6=15(\mathrm{cm})$,则 $b=15÷1=15$.
故图 2 中 $b$ 的值为 15.
解析
【分析】
本题是几何动点与函数图象结合的问题，解题核心是将函数图象的分段和动点的运动路径一一对应：①0~3s，点P在AB上运动，△AFP的高逐渐增大，面积随时间匀速上升；②3~5s，点P在BC上运动，△AFP的高不变，面积保持恒定；③5~8s，点P在CD上运动，△AFP的高继续增大，面积再次匀速上升；④8s后点P依次在DE、EF上运动，△AFP的高先不变后减小，最终面积为0。解题时先根据速度和各阶段的运动时长求出各边长度，再对应计算所求量即可。
【解析】
(1) 动点P的运动速度为1cm/s，由图象可知点P在BC段的运动时长为$5-3=2(\mathrm{s})$，根据路程=速度×时间，得$BC=1×2=2(\mathrm{cm})$。
(2) 0~3s点P在AB段运动，运动时长为3s，因此$AB=1×3=3(\mathrm{cm})$。此时△AFP的底$AF=3\mathrm{cm}$，高为AB的长度，根据三角形面积公式可得：
$a=S_{△ AFP}=\frac{1}{2}× AF× AB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}(\mathrm{cm}^2)$。
(3) 5~8s点P在CD段运动，运动时长为$8-5=3(\mathrm{s})$，因此$CD=1×3=3(\mathrm{cm})$。观察图1的结构可得$DE=AF-BC=3-2=1(\mathrm{cm})$，$EF=AB+CD=3+3=6(\mathrm{cm})$。
图1的面积可通过大长方形面积减去挖去的小长方形面积计算：
$S=EF× AF - CD× BC=6×3 - 3×2=12(\mathrm{cm}^2)$。
(4) 点P走完全程的总路径长为$AB+BC+CD+DE+EF=3+2+3+1+6=15(\mathrm{cm})$，速度为1cm/s，因此总运动时间$b=15÷1=15(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；
(2) $a$的值为$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$；
(3) 图1中图形的面积为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}^2}$；
(4) $b$的值为$\boldsymbol{15}$。
【知识点】
动点问题的函数图象，三角形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题将几何动点运动和函数图象相结合，需要准确识别图象各段对应的运动阶段，结合行程公式和几何面积公式求解，能有效提升数形结合的分析能力。
【难度系数】
0.7
本题是几何动点与函数图象结合的问题，解题核心是将函数图象的分段和动点的运动路径一一对应：①0~3s，点P在AB上运动，△AFP的高逐渐增大，面积随时间匀速上升；②3~5s，点P在BC上运动，△AFP的高不变，面积保持恒定；③5~8s，点P在CD上运动，△AFP的高继续增大，面积再次匀速上升；④8s后点P依次在DE、EF上运动，△AFP的高先不变后减小，最终面积为0。解题时先根据速度和各阶段的运动时长求出各边长度，再对应计算所求量即可。
【解析】
(1) 动点P的运动速度为1cm/s，由图象可知点P在BC段的运动时长为$5-3=2(\mathrm{s})$，根据路程=速度×时间，得$BC=1×2=2(\mathrm{cm})$。
(2) 0~3s点P在AB段运动，运动时长为3s，因此$AB=1×3=3(\mathrm{cm})$。此时△AFP的底$AF=3\mathrm{cm}$，高为AB的长度，根据三角形面积公式可得：
$a=S_{△ AFP}=\frac{1}{2}× AF× AB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}(\mathrm{cm}^2)$。
(3) 5~8s点P在CD段运动，运动时长为$8-5=3(\mathrm{s})$，因此$CD=1×3=3(\mathrm{cm})$。观察图1的结构可得$DE=AF-BC=3-2=1(\mathrm{cm})$，$EF=AB+CD=3+3=6(\mathrm{cm})$。
图1的面积可通过大长方形面积减去挖去的小长方形面积计算：
$S=EF× AF - CD× BC=6×3 - 3×2=12(\mathrm{cm}^2)$。
(4) 点P走完全程的总路径长为$AB+BC+CD+DE+EF=3+2+3+1+6=15(\mathrm{cm})$，速度为1cm/s，因此总运动时间$b=15÷1=15(\mathrm{s})$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\boldsymbol{2\ \mathrm{cm}}$；
(2) $a$的值为$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$；
(3) 图1中图形的面积为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}^2}$；
(4) $b$的值为$\boldsymbol{15}$。
【知识点】
动点问题的函数图象，三角形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题将几何动点运动和函数图象相结合，需要准确识别图象各段对应的运动阶段，结合行程公式和几何面积公式求解，能有效提升数形结合的分析能力。
【难度系数】
0.7
