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1 某文具店老板购进一批荧光笔，销量$x$(支)与销售额$y$(元)的关系如下表所示：
则销售额$y$与销量$x$的函数关系式为 （
A.$y=3x$
B.$y=6x$
C.$y=9x$
D.$y=12x$
则销售额$y$与销量$x$的函数关系式为 （
A
）A.$y=3x$
B.$y=6x$
C.$y=9x$
D.$y=12x$
答案
1.A
解析
【分析】
要确定销售额$y$与销量$x$的函数关系式，首先观察表格中给出的$x$和$y$的对应数值，先计算每组数据中$y$和$x$的比值，若比值恒定则说明二者是正比例函数关系，再确定比例系数即可得到函数式，最后代入数值验证是否符合所有数据。
【解析】
观察表格中的对应数据：
当$x=1$时，$y=3$，此时$y÷ x=3÷1=3$；
当$x=2$时，$y=6$，此时$y÷ x=6÷2=3$；
当$x=3$时，$y=9$，此时$y÷ x=9÷3=3$；
……
可见$y$与$x$的比值恒为3，即$y$是$x$的3倍，且$x$为正整数，因此函数关系式为$y=3x$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数、函数关系式的确定、表格法表示函数
【点评】
本题是基础类题型，主要考查通过表格数据探究变量间的函数关系，解题时只需通过几组对应数据找到变量的变化规律，再验证规律是否符合所有数据即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要确定销售额$y$与销量$x$的函数关系式，首先观察表格中给出的$x$和$y$的对应数值，先计算每组数据中$y$和$x$的比值，若比值恒定则说明二者是正比例函数关系，再确定比例系数即可得到函数式，最后代入数值验证是否符合所有数据。
【解析】
观察表格中的对应数据：
当$x=1$时，$y=3$，此时$y÷ x=3÷1=3$；
当$x=2$时，$y=6$，此时$y÷ x=6÷2=3$；
当$x=3$时，$y=9$，此时$y÷ x=9÷3=3$；
……
可见$y$与$x$的比值恒为3，即$y$是$x$的3倍，且$x$为正整数，因此函数关系式为$y=3x$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数、函数关系式的确定、表格法表示函数
【点评】
本题是基础类题型，主要考查通过表格数据探究变量间的函数关系，解题时只需通过几组对应数据找到变量的变化规律，再验证规律是否符合所有数据即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2 教材P143习题T4·变式（2025南京鼓楼月考）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示.这个容器的形状可能是图中的 （
B
）答案
2.B
解析
【分析】
匀速注水时，单位时间注入水的体积是固定的，水面高度的上升速度和容器的横截面积成反比：容器横截面积越大，相同时间内水面上升越慢，对应h-t图像的斜率越小；横截面积越小，水面上升越快，对应图像斜率越大。观察图像可知斜率变化为：中等斜率→斜率变小（更平缓）→斜率变大（比第一阶段更陡），说明容器从下到上横截面积变化为中等→最大→最小，据此匹配选项即可。
【解析】
解：已知注水过程是匀速的，因此单位时间注入水的体积固定。
由体积公式$V=S· h$（$S$为容器当前位置的横截面积）可知，相同时间$\Delta t$内，水面上升高度$\Delta h=\frac{\Delta V}{S}$，$\Delta V$为定值时，$\Delta h$与$S$成反比，即横截面积越大，h-t图像的斜率越小。
观察h-t图像的三个阶段：
1. 第一阶段斜率中等，说明容器最下方部分横截面积中等；
2. 第二阶段斜率最小（最平缓），说明容器中间部分横截面积最大；
3. 第三阶段斜率最大（最陡），说明容器最上方部分横截面积最小。
只有选项B的容器从下到上横截面积符合“中等＜中间最大＞上方最小”的特征。
【答案】
B
【知识点】
函数图像分析，体积与高度的关系
【点评】
本题结合实际场景考查函数图像的应用，核心是建立图像斜率和容器横截面积的对应关系，能有效锻炼学生数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
匀速注水时，单位时间注入水的体积是固定的，水面高度的上升速度和容器的横截面积成反比：容器横截面积越大，相同时间内水面上升越慢，对应h-t图像的斜率越小；横截面积越小，水面上升越快，对应图像斜率越大。观察图像可知斜率变化为：中等斜率→斜率变小（更平缓）→斜率变大（比第一阶段更陡），说明容器从下到上横截面积变化为中等→最大→最小，据此匹配选项即可。
【解析】
解：已知注水过程是匀速的，因此单位时间注入水的体积固定。
由体积公式$V=S· h$（$S$为容器当前位置的横截面积）可知，相同时间$\Delta t$内，水面上升高度$\Delta h=\frac{\Delta V}{S}$，$\Delta V$为定值时，$\Delta h$与$S$成反比，即横截面积越大，h-t图像的斜率越小。
观察h-t图像的三个阶段：
1. 第一阶段斜率中等，说明容器最下方部分横截面积中等；
2. 第二阶段斜率最小（最平缓），说明容器中间部分横截面积最大；
3. 第三阶段斜率最大（最陡），说明容器最上方部分横截面积最小。
只有选项B的容器从下到上横截面积符合“中等＜中间最大＞上方最小”的特征。
【答案】
B
【知识点】
函数图像分析，体积与高度的关系
【点评】
本题结合实际场景考查函数图像的应用，核心是建立图像斜率和容器横截面积的对应关系，能有效锻炼学生数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
3（2025泰州靖江期中）下列图象不能表示y为x的函数的是（
A
B
C
D
C
）A
B
C
D
答案
3.C
解析
【分析】
要判断图象是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有且只有一个确定的值与之对应。常用的判断方法是作任意一条垂直于x轴的直线，观察该直线与图象的交点个数：若交点个数不超过1，符合函数定义；若交点个数大于等于2，说明一个x对应多个y值，不符合函数定义，我们用这个方法逐一分析选项即可。
【解析】
根据函数定义，用垂直于x轴的直线法逐一判断：
1. 选项A：任意一条垂直于x轴的直线与该图象最多只有1个交点，即每个x对应唯一的y，因此y是x的函数；
2. 选项B：任意一条垂直于x轴的直线与该图象最多只有1个交点，即每个x对应唯一的y，因此y是x的函数；
3. 选项C：存在垂直于x轴的直线（比如x取不为0的数值时）与圆形图象有2个交点，即存在一个x对应2个不同的y值，因此y不是x的函数；
4. 选项D：任意一条垂直于x轴的直线与该图象最多只有1个交点，即每个x对应唯一的y，因此y是x的函数。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是抓住函数定义中“一个x对应唯一y值”的要求，掌握用垂线法判断函数图象的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断图象是否表示y是x的函数，核心依据是函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有且只有一个确定的值与之对应。常用的判断方法是作任意一条垂直于x轴的直线，观察该直线与图象的交点个数：若交点个数不超过1，符合函数定义；若交点个数大于等于2，说明一个x对应多个y值，不符合函数定义，我们用这个方法逐一分析选项即可。
【解析】
根据函数定义，用垂直于x轴的直线法逐一判断：
1. 选项A：任意一条垂直于x轴的直线与该图象最多只有1个交点，即每个x对应唯一的y，因此y是x的函数；
2. 选项B：任意一条垂直于x轴的直线与该图象最多只有1个交点，即每个x对应唯一的y，因此y是x的函数；
3. 选项C：存在垂直于x轴的直线（比如x取不为0的数值时）与圆形图象有2个交点，即存在一个x对应2个不同的y值，因此y不是x的函数；
4. 选项D：任意一条垂直于x轴的直线与该图象最多只有1个交点，即每个x对应唯一的y，因此y是x的函数。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是抓住函数定义中“一个x对应唯一y值”的要求，掌握用垂线法判断函数图象的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4 已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7 cm，在弹性限度内，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm，则挂重后弹簧的长度 y(cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的函数表达式是
y=0.5x+7
。答案
4.$y=0.5x+7$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先明确弹簧挂重后的总长度的组成，它等于弹簧本身的原长加上挂重物后弹簧伸长的长度；第二步，提取已知量：弹簧原长是7cm，每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm，那么挂x kg物体时，伸长的长度就是0.5乘x，也就是0.5x cm；第三步，将两部分长度相加就能得到y和x的关系式，同时注意x需要满足非负且在弹性限度内的实际要求。
【解析】
解：已知弹簧不挂物体时的长度（原长）为7cm，
每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm，因此挂x kg物体时，弹簧伸长的长度为0.5x cm，
根据“挂重后弹簧总长度=弹簧原长+伸长的长度”，可得：
$y=0.5x+7$（$x≥0$，且x在弹簧弹性限度内）
【答案】
$y=0.5x+7$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 一次函数实际应用
【点评】
本题是一次函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是找准弹簧总长度的等量关系，熟记弹簧伸长长度和所挂质量的变化规律即可快速求解，掌握这类题型能为后续解决更复杂的函数实际问题打好基础。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：第一步，先明确弹簧挂重后的总长度的组成，它等于弹簧本身的原长加上挂重物后弹簧伸长的长度；第二步，提取已知量：弹簧原长是7cm，每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm，那么挂x kg物体时，伸长的长度就是0.5乘x，也就是0.5x cm；第三步，将两部分长度相加就能得到y和x的关系式，同时注意x需要满足非负且在弹性限度内的实际要求。
【解析】
解：已知弹簧不挂物体时的长度（原长）为7cm，
每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm，因此挂x kg物体时，弹簧伸长的长度为0.5x cm，
根据“挂重后弹簧总长度=弹簧原长+伸长的长度”，可得：
$y=0.5x+7$（$x≥0$，且x在弹簧弹性限度内）
【答案】
$y=0.5x+7$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 一次函数实际应用
【点评】
本题是一次函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是找准弹簧总长度的等量关系，熟记弹簧伸长长度和所挂质量的变化规律即可快速求解，掌握这类题型能为后续解决更复杂的函数实际问题打好基础。
【难度系数】
0.9
5 写出下列各题中的函数表达式,并指出式子中的自变量以及自变量的取值范围.
(1) 寄一封质量在20 g以内的市外平信需邮资1.2元,求寄a封这样的信所需邮资y(元)与a(封)之间的函数表达式;
(2) 长方形的周长为12 cm,求它的面积$S(cm^2)$与它的长x(cm)之间的函数表达式;
(3) 某20层高的大厦底层高4.8 m,以上各层高3.2 m,求第n层楼顶的高度h(m)与n之间的函数表达式.
(1) 寄一封质量在20 g以内的市外平信需邮资1.2元,求寄a封这样的信所需邮资y(元)与a(封)之间的函数表达式;
(2) 长方形的周长为12 cm,求它的面积$S(cm^2)$与它的长x(cm)之间的函数表达式;
(3) 某20层高的大厦底层高4.8 m,以上各层高3.2 m,求第n层楼顶的高度h(m)与n之间的函数表达式.
答案
5. 解:(1) $y=1.2a$,自变量是 $a,a≥0$,且 $a$ 是整数.
(2) $S=x(6-x)$,自变量是 $x,0＜x＜6$.
(3) $h=3.2n+1.6$,自变量是 $n,1≤ n≤20$,且 $n$ 为整数.
(2) $S=x(6-x)$,自变量是 $x,0＜x＜6$.
(3) $h=3.2n+1.6$,自变量是 $n,1≤ n≤20$,且 $n$ 为整数.
解析
【分析】
解答本题需结合实际问题的等量关系列函数表达式，再结合实际意义确定自变量取值范围：
(1) 总邮资等于单封邮资乘以信件数量，信件数量是整数且不能为负，据此列式并确定a的范围；
(2) 先根据长方形周长公式求出宽为(6-x)cm，再根据面积=长×宽列表达式，结合长方形的长、宽均为正数确定x的范围；
(3) 先找楼层高度规律：第1层楼顶高度为4.8m，每多一层高度增加3.2m，整理得到h和n的表达式，结合楼层总数为20层，确定n是1到20的正整数。
【解析】
(1) 每封市外平信邮资为1.2元，寄a封的总邮资=单封邮资×信件数量，因此可得$y=1.2a$；a表示信件的数量，不能为负数且为整数，因此自变量为a，取值范围是$a≥0$且a为整数。
(2) 已知长方形周长为12cm，根据长方形周长公式可得长+宽=$12÷2=6$cm，因此宽为$(6-x)$cm，长方形面积=长×宽，因此$S=x(6-x)$；长方形的长和宽都需大于0，即$x＞0$且$6-x＞0$，因此自变量为x，取值范围是$0＜x＜6$。
(3) 第1层楼顶高度为4.8m，从第2层开始，每层楼顶比上一层楼顶高3.2m，因此第n层楼顶高度$h=4.8 + 3.2(n-1)$，化简得$h=3.2n+1.6$；n表示楼层，大厦共20层，因此自变量为n，取值范围是$1≤n≤20$且n为整数。
【答案】
(1) $y=1.2a$，自变量是$a$，$a≥0$且$a$是整数；
(2) $S=x(6-x)$，自变量是$x$，$0＜x＜6$；
(3) $h=3.2n+1.6$，自变量是$n$，$1≤ n≤20$且$n$为整数。
【知识点】
列函数关系式，自变量取值范围确定，函数的概念
【点评】
本题是函数的基础应用题，解题核心是找准实际问题中的等量关系，需特别注意自变量的取值范围不仅要使函数表达式有意义，还要符合实际场景的要求，避免忽略实际限制条件出错。
【难度系数】
0.8
解答本题需结合实际问题的等量关系列函数表达式，再结合实际意义确定自变量取值范围：
(1) 总邮资等于单封邮资乘以信件数量，信件数量是整数且不能为负，据此列式并确定a的范围；
(2) 先根据长方形周长公式求出宽为(6-x)cm，再根据面积=长×宽列表达式，结合长方形的长、宽均为正数确定x的范围；
(3) 先找楼层高度规律：第1层楼顶高度为4.8m，每多一层高度增加3.2m，整理得到h和n的表达式，结合楼层总数为20层，确定n是1到20的正整数。
【解析】
(1) 每封市外平信邮资为1.2元，寄a封的总邮资=单封邮资×信件数量，因此可得$y=1.2a$；a表示信件的数量，不能为负数且为整数，因此自变量为a，取值范围是$a≥0$且a为整数。
(2) 已知长方形周长为12cm，根据长方形周长公式可得长+宽=$12÷2=6$cm，因此宽为$(6-x)$cm，长方形面积=长×宽，因此$S=x(6-x)$；长方形的长和宽都需大于0，即$x＞0$且$6-x＞0$，因此自变量为x，取值范围是$0＜x＜6$。
(3) 第1层楼顶高度为4.8m，从第2层开始，每层楼顶比上一层楼顶高3.2m，因此第n层楼顶高度$h=4.8 + 3.2(n-1)$，化简得$h=3.2n+1.6$；n表示楼层，大厦共20层，因此自变量为n，取值范围是$1≤n≤20$且n为整数。
【答案】
(1) $y=1.2a$，自变量是$a$，$a≥0$且$a$是整数；
(2) $S=x(6-x)$，自变量是$x$，$0＜x＜6$；
(3) $h=3.2n+1.6$，自变量是$n$，$1≤ n≤20$且$n$为整数。
【知识点】
列函数关系式，自变量取值范围确定，函数的概念
【点评】
本题是函数的基础应用题，解题核心是找准实际问题中的等量关系，需特别注意自变量的取值范围不仅要使函数表达式有意义，还要符合实际场景的要求，避免忽略实际限制条件出错。
【难度系数】
0.8
