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8 易错题（2025无锡江阴月考）下列5个等式：①$y=3x+1$；②$y^2=x^2-1$；③$y=\pm x$；④$|y|=3x^2+1$；⑤$y=\sqrt{x}(x≥0)$。其中表示$y$是$x$的函数有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
8.A
解析
【分析】
要判断等式是否表示y是x的函数，首先要明确函数的核心定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的取值（在允许的取值范围内），y都有且只有唯一确定的值与之对应，满足这个条件的才是y关于x的函数。接下来我们逐个分析5个等式，验证每个等式是否满足“一个x对应唯一y”的要求即可。
【解析】
根据函数的定义逐一判断：
①对于等式$y=3x+1$，任取一个x的确定值，都能得到唯一的y值，符合函数定义，是y关于x的函数；
②对于等式$y^2=x^2-1$，比如当$x=\sqrt{2}$时，$y^2=1$，此时$y=1$或$y=-1$，一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是；
③对于等式$y=\pm x$，比如当$x=1$时，$y=1$或$y=-1$，一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是；
④对于等式$|y|=3x^2+1$，比如当$x=0$时，$|y|=1$，此时$y=1$或$y=-1$，一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是；
⑤对于等式$y=\sqrt{x}(x≥0)$，任取一个非负的x值，算术平方根$\sqrt{x}$的结果是唯一的非负数，符合函数定义，是y关于x的函数。
综上，符合要求的是①和⑤，共2个。
【答案】
A
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是函数概念的基础易考题，解题核心是抓住函数定义中“唯一对应”的要求，带平方、绝对值、正负号的表达式容易出现一个x对应多个y的情况，判断时可以通过举特例验证，避免出错。
【难度系数】
0.6
要判断等式是否表示y是x的函数，首先要明确函数的核心定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的取值（在允许的取值范围内），y都有且只有唯一确定的值与之对应，满足这个条件的才是y关于x的函数。接下来我们逐个分析5个等式，验证每个等式是否满足“一个x对应唯一y”的要求即可。
【解析】
根据函数的定义逐一判断：
①对于等式$y=3x+1$，任取一个x的确定值，都能得到唯一的y值，符合函数定义，是y关于x的函数；
②对于等式$y^2=x^2-1$，比如当$x=\sqrt{2}$时，$y^2=1$，此时$y=1$或$y=-1$，一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是；
③对于等式$y=\pm x$，比如当$x=1$时，$y=1$或$y=-1$，一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是；
④对于等式$|y|=3x^2+1$，比如当$x=0$时，$|y|=1$，此时$y=1$或$y=-1$，一个x对应2个y值，不符合函数定义，不是；
⑤对于等式$y=\sqrt{x}(x≥0)$，任取一个非负的x值，算术平方根$\sqrt{x}$的结果是唯一的非负数，符合函数定义，是y关于x的函数。
综上，符合要求的是①和⑤，共2个。
【答案】
A
【知识点】
函数的概念
【点评】
本题是函数概念的基础易考题，解题核心是抓住函数定义中“唯一对应”的要求，带平方、绝对值、正负号的表达式容易出现一个x对应多个y的情况，判断时可以通过举特例验证，避免出错。
【难度系数】
0.6
9 夏季高山上温度从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃.已知山脚下温度是23 ℃,则温度$y(°C)$与上升高度$x(m)$之间的关系式为
$y=23-0.007x$
.答案
9. $y=23-0.007x$
解析
【分析】
解题时先明确温度的计算逻辑：高山上的温度 = 山脚初始温度 - 上升高度对应的降温总量。第一步先计算每上升1米的温度降低值，已知每升高100m降温0.7℃，用总降温除以对应高度就能得到单位高度的降温；第二步计算上升x米的总降温，用单位高度降温乘高度x；第三步用山脚温度减去总降温，即可得到y与x的关系式。
【解析】
1. 计算每升高1m的温度降低幅度：$0.7÷100=0.007(°\mathrm{C}/\mathrm{m})$
2. 上升高度为x m时，总降温为$0.007x \,°\mathrm{C}$
3. 结合山脚初始温度23℃，可得温度y和上升高度x的关系式为：$y=23-0.007x$（x≥0，实际问题中高度为非负数）
【答案】
$y=23-0.007x$
【知识点】
1. 列函数关系式 2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题考查结合实际场景列函数关系式，解题核心是理清温度随高度的变化规律，准确计算单位高度的温度变化量，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
解题时先明确温度的计算逻辑：高山上的温度 = 山脚初始温度 - 上升高度对应的降温总量。第一步先计算每上升1米的温度降低值，已知每升高100m降温0.7℃，用总降温除以对应高度就能得到单位高度的降温；第二步计算上升x米的总降温，用单位高度降温乘高度x；第三步用山脚温度减去总降温，即可得到y与x的关系式。
【解析】
1. 计算每升高1m的温度降低幅度：$0.7÷100=0.007(°\mathrm{C}/\mathrm{m})$
2. 上升高度为x m时，总降温为$0.007x \,°\mathrm{C}$
3. 结合山脚初始温度23℃，可得温度y和上升高度x的关系式为：$y=23-0.007x$（x≥0，实际问题中高度为非负数）
【答案】
$y=23-0.007x$
【知识点】
1. 列函数关系式 2. 一次函数的实际应用
【点评】
本题考查结合实际场景列函数关系式，解题核心是理清温度随高度的变化规律，准确计算单位高度的温度变化量，属于基础题型。
【难度系数】
0.85
10 若函数$y=(k-1)x(k≠1)$，当自变量取值增加2的时候，函数值减少3，则k的值是
$-\dfrac{1}{2}$
。答案
10. $-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题可根据自变量与函数值的对应变化关系列方程求解。首先设原自变量为x，对应的函数值为y=(k-1)x；当自变量增加2变为x+2时，函数值减少3变为y-3，将变化后的自变量和函数值代入函数表达式，联立两个式子消去x，即可解出k的值。
【解析】
设当自变量为x时，对应的函数值为y，根据题意得：
$y=(k-1)x$ ①
当自变量取值增加2，即自变量变为$x+2$时，函数值减少3，即此时函数值为$y-3$，代入函数表达式得：
$y-3=(k-1)(x+2)$ ②
将①代入②，得：
$(k-1)x - 3 = (k-1)x + 2(k-1)$
两边同时减去$(k-1)x$，得：
$-3=2(k-1)$
解这个一元一次方程：
$k-1=-\dfrac{3}{2}$
$k=1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 函数的对应关系
2. 一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查对函数变量对应变化规律的理解，解题核心是根据“自变量增加2，函数值减少3”的条件准确列出等式，属于基础类题型，熟练掌握函数的基本概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题可根据自变量与函数值的对应变化关系列方程求解。首先设原自变量为x，对应的函数值为y=(k-1)x；当自变量增加2变为x+2时，函数值减少3变为y-3，将变化后的自变量和函数值代入函数表达式，联立两个式子消去x，即可解出k的值。
【解析】
设当自变量为x时，对应的函数值为y，根据题意得：
$y=(k-1)x$ ①
当自变量取值增加2，即自变量变为$x+2$时，函数值减少3，即此时函数值为$y-3$，代入函数表达式得：
$y-3=(k-1)(x+2)$ ②
将①代入②，得：
$(k-1)x - 3 = (k-1)x + 2(k-1)$
两边同时减去$(k-1)x$，得：
$-3=2(k-1)$
解这个一元一次方程：
$k-1=-\dfrac{3}{2}$
$k=1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 函数的对应关系
2. 一元一次方程解法
【点评】
本题重点考查对函数变量对应变化规律的理解，解题核心是根据“自变量增加2，函数值减少3”的条件准确列出等式，属于基础类题型，熟练掌握函数的基本概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11 (2025 山东)山东省在能源绿色低碳转型过程中,探索出一条“以储调绿”的能源转型路径.某地结合实际情况,建立了一座圆柱形蓄水池,通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能,助力能源转型.已知本次注水前蓄水池的水位高度为5 m,注水时水位高度每小时上升6 m.
(1) 请写出本次注水过程中,蓄水池的水位高度 y(m)与注水时间 x(h)之间的关系式;
(2) 已知蓄水池的底面积为0.4万平方米,每立方米的水可供发电 0.3 kW·h,求注水多长时间可供发电 4.2 万千瓦时?
(1) 请写出本次注水过程中,蓄水池的水位高度 y(m)与注水时间 x(h)之间的关系式;
(2) 已知蓄水池的底面积为0.4万平方米,每立方米的水可供发电 0.3 kW·h,求注水多长时间可供发电 4.2 万千瓦时?
答案
11. 解:(1) 由题意,得$y=6x+5$,所以蓄水池的水位高度 y 与注水时间 x 之间的关系式为$y=6x+5$.
(2) 由题意,得$0.4(6x+5)×0.3=4.2$,解得$x=5$.故注水5 h可供发电4.2万千瓦时.
(2) 由题意,得$0.4(6x+5)×0.3=4.2$,解得$x=5$.故注水5 h可供发电4.2万千瓦时.
解析
【分析】
(1) 要推导水位高度y和注水时间x的关系式，需明确水位高度由两部分组成：注水前的初始水位高度，以及注水x小时上升的高度。已知初始水位为5m，每小时水位上升6m，x小时上升的高度为6x m，将两部分相加即可得到y与x的函数关系式。
(2) 求解注水时间时，先理清发电量的计算逻辑：总发电量=水的体积×每立方米发电量，而水的体积=蓄水池底面积×水位高度，水位高度可直接代入第一问得到的关系式，所有已知量单位统一，无需额外换算，代入等量关系即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得，初始水位高度为5m，注水x小时水位上升6x m，因此水位高度y与注水时间x的关系式为：
$y=6x+5$
(2) 设注水x小时可供发电4.2万千瓦时。
根据总发电量的计算逻辑，列方程得：
$0.4(6x+5)×0.3=4.2$
化简左边得：$0.12(6x+5)=4.2$
两边同时除以0.12得：$6x+5=35$
移项计算得：$6x=30$
解得：$x=5$
【答案】
(1) $y=6x+5$；(2) 5 h
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合能源绿色转型的实际背景，考查了基础函数关系式的建立和一元一次方程的求解，解题核心是准确梳理各数量之间的等量关系，既考查了数学知识的实际运用，也体现了数学在生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
(1) 要推导水位高度y和注水时间x的关系式，需明确水位高度由两部分组成：注水前的初始水位高度，以及注水x小时上升的高度。已知初始水位为5m，每小时水位上升6m，x小时上升的高度为6x m，将两部分相加即可得到y与x的函数关系式。
(2) 求解注水时间时，先理清发电量的计算逻辑：总发电量=水的体积×每立方米发电量，而水的体积=蓄水池底面积×水位高度，水位高度可直接代入第一问得到的关系式，所有已知量单位统一，无需额外换算，代入等量关系即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得，初始水位高度为5m，注水x小时水位上升6x m，因此水位高度y与注水时间x的关系式为：
$y=6x+5$
(2) 设注水x小时可供发电4.2万千瓦时。
根据总发电量的计算逻辑，列方程得：
$0.4(6x+5)×0.3=4.2$
化简左边得：$0.12(6x+5)=4.2$
两边同时除以0.12得：$6x+5=35$
移项计算得：$6x=30$
解得：$x=5$
【答案】
(1) $y=6x+5$；(2) 5 h
【知识点】
一次函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合能源绿色转型的实际背景，考查了基础函数关系式的建立和一元一次方程的求解，解题核心是准确梳理各数量之间的等量关系，既考查了数学知识的实际运用，也体现了数学在生产生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
12 新趋势 学科融合 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是
（2）当刹车时车速为60 km/h时，刹车距离是
（3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车$s$与$v$之间的关系式为
（4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32 m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规规定：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h）
请回答下列问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是
$v$
；（2）当刹车时车速为60 km/h时，刹车距离是
$15$
m；（3）根据上表反映的规律写出该种型号汽车$s$与$v$之间的关系式为
$s=0.25v(0≤ v≤140)$
；（4）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32 m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规规定：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h）
答案
12. 解:(1) $v$ (2) 15
(3) $s=0.25v(0≤ v≤140)$
(4)当$s=32$时,$32=0.25v$,解得$v=128$,所以推测刹车时车速是128 km/h.因为$120＜128$,所以事故发生时,汽车是超速行驶.
(3) $s=0.25v(0≤ v≤140)$
(4)当$s=32$时,$32=0.25v$,解得$v=128$,所以推测刹车时车速是128 km/h.因为$120＜128$,所以事故发生时,汽车是超速行驶.
解析
【分析】
（1）判断自变量首先看哪个量是主动变化、引起另一个量变化的，本题中刹车距离随刹车时车速的变化而变化，所以刹车时车速是自变量；（2）先观察表格数据的变化规律：车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，据此可算出车速60km/h对应的刹车距离；（3）观察每组$v$和$s$的对应值，发现$s$是$v$的0.25倍，结合车速限制即可写出关系式；（4）将刹车距离代入关系式算出对应的车速，再和规定最高车速120km/h比较即可判断是否超速。
【解析】
（1）刹车距离$s$随刹车时车速$v$的变化而变化，因此自变量是刹车时车速$v$；
（2）由表格可知，车速每提高10km/h，刹车距离增加2.5m，50km/h对应的刹车距离为12.5m，因此60km/h的刹车距离为$12.5+2.5=15\ \mathrm{m}$；
（3）观察表格数据：当$v=10$时，$s=0.25×10=2.5$；$v=20$时，$s=0.25×20=5$，依此类推，可得$s$与$v$的关系式为$s=0.25v$，结合题目给出的车速不超过140km/h，因此关系式为$s=0.25v(0≤ v≤140)$；
（4）把$s=32$代入$s=0.25v$，得$32=0.25v$，解得$v=32÷0.25=128$，即刹车时车速为128km/h。因为$128＞120$，超过了高速公路小型载客汽车最高限速，因此汽车是超速行驶。
【答案】
(1) $v$
(2) $15$
(3) $s=0.25v(0≤ v≤140)$
(4) 刹车时车速是128 km/h，事故发生时汽车超速行驶。
【知识点】
自变量的判断；列一次函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合汽车刹车的实际场景命题，考查了函数基础概念与一次函数的简单应用，需要先从表格数据中总结变量的变化规律，再用规律解决实际问题，侧重考查数据分析能力与知识应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）判断自变量首先看哪个量是主动变化、引起另一个量变化的，本题中刹车距离随刹车时车速的变化而变化，所以刹车时车速是自变量；（2）先观察表格数据的变化规律：车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，据此可算出车速60km/h对应的刹车距离；（3）观察每组$v$和$s$的对应值，发现$s$是$v$的0.25倍，结合车速限制即可写出关系式；（4）将刹车距离代入关系式算出对应的车速，再和规定最高车速120km/h比较即可判断是否超速。
【解析】
（1）刹车距离$s$随刹车时车速$v$的变化而变化，因此自变量是刹车时车速$v$；
（2）由表格可知，车速每提高10km/h，刹车距离增加2.5m，50km/h对应的刹车距离为12.5m，因此60km/h的刹车距离为$12.5+2.5=15\ \mathrm{m}$；
（3）观察表格数据：当$v=10$时，$s=0.25×10=2.5$；$v=20$时，$s=0.25×20=5$，依此类推，可得$s$与$v$的关系式为$s=0.25v$，结合题目给出的车速不超过140km/h，因此关系式为$s=0.25v(0≤ v≤140)$；
（4）把$s=32$代入$s=0.25v$，得$32=0.25v$，解得$v=32÷0.25=128$，即刹车时车速为128km/h。因为$128＞120$，超过了高速公路小型载客汽车最高限速，因此汽车是超速行驶。
【答案】
(1) $v$
(2) $15$
(3) $s=0.25v(0≤ v≤140)$
(4) 刹车时车速是128 km/h，事故发生时汽车超速行驶。
【知识点】
自变量的判断；列一次函数关系式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合汽车刹车的实际场景命题，考查了函数基础概念与一次函数的简单应用，需要先从表格数据中总结变量的变化规律，再用规律解决实际问题，侧重考查数据分析能力与知识应用能力。
【难度系数】
0.8
