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1 新情境 传统文化 [2024兰州]七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具.现将1个七巧板、2个九连环、1个华容道、2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中(每个盒子装1个),所有盒子除里面的玩具外均相同.从这6个盒子中随机抽取1个盒子,抽中七巧板的概率是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，回忆等可能事件的概率计算公式：事件发生的概率等于该事件包含的结果数除以所有等可能的结果总数；第二步，确定总结果数：本题共有6个盒子，随机抽取1个，总共有6种等可能的结果；第三步，确定符合条件的结果数：其中七巧板只有1个，对应抽中七巧板的结果有1种；第四步，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，从6个相同的盒子中随机抽取1个，共有6种等可能的结果，其中抽中七巧板的结果有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得抽中七巧板的概率为$P=\frac{1}{6}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式应用；等可能事件判断
【点评】
本题以传统益智玩具为命题背景，将基础知识考查和传统文化普及相结合，趣味性较强，属于基础类考题，只要熟练掌握概率的基本计算方法就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路如下：第一步，回忆等可能事件的概率计算公式：事件发生的概率等于该事件包含的结果数除以所有等可能的结果总数；第二步，确定总结果数：本题共有6个盒子，随机抽取1个，总共有6种等可能的结果；第三步，确定符合条件的结果数：其中七巧板只有1个，对应抽中七巧板的结果有1种；第四步，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，从6个相同的盒子中随机抽取1个，共有6种等可能的结果，其中抽中七巧板的结果有1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得抽中七巧板的概率为$P=\frac{1}{6}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式应用；等可能事件判断
【点评】
本题以传统益智玩具为命题背景，将基础知识考查和传统文化普及相结合，趣味性较强，属于基础类考题，只要熟练掌握概率的基本计算方法就能顺利得分。
【难度系数】
0.9
2（易错题）从$\frac{36}{7}$，$3.1415926$，$3.\dot{3}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$，$-\sqrt[3]{8}$，$\sqrt[3]{9}$中随机抽取一个数是无理数的概率为（
A.$\frac{2}{7}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
A
）A.$\frac{2}{7}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
答案
2. A
本题容易将$\sqrt{4},-\sqrt[3]{8}$误认作无理数而错选C选项.
本题容易将$\sqrt{4},-\sqrt[3]{8}$误认作无理数而错选C选项.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心步骤：第一步先回忆无理数的定义，对给出的所有数逐一化简判断，统计无理数的个数；第二步再根据简单概率公式：P(事件发生)=事件包含的结果数÷所有等可能结果数，计算抽到无理数的概率。注意不要直接把带根号的数都当成无理数，需要先化简判断是否开得尽方。
【解析】
首先统计所有等可能的结果：总共有7个数，即所有等可能结果数为7。
接下来逐个判断每个数是否为无理数：
1. $\frac{36}{7}$是分数，属于有理数；
2. $3.1415926$是有限小数，属于有理数；
3. $3.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；
4. $\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
5. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，是无理数；
6. $-\sqrt[3]{8}=-2$，是整数，属于有理数；
7. $\sqrt[3]{9}$是开方开不尽的数，是无理数。
综上，无理数共有2个，因此随机抽取一个数是无理数的概率为$\frac{2}{7}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；概率公式
【点评】
本题属于易错题，解题的易错点是误将开方开得尽的带根号的数判定为无理数，解题时要先对带根号的数进行化简，再结合无理数的定义准确统计无理数的个数，最后代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确两个核心步骤：第一步先回忆无理数的定义，对给出的所有数逐一化简判断，统计无理数的个数；第二步再根据简单概率公式：P(事件发生)=事件包含的结果数÷所有等可能结果数，计算抽到无理数的概率。注意不要直接把带根号的数都当成无理数，需要先化简判断是否开得尽方。
【解析】
首先统计所有等可能的结果：总共有7个数，即所有等可能结果数为7。
接下来逐个判断每个数是否为无理数：
1. $\frac{36}{7}$是分数，属于有理数；
2. $3.1415926$是有限小数，属于有理数；
3. $3.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；
4. $\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
5. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，是无理数；
6. $-\sqrt[3]{8}=-2$，是整数，属于有理数；
7. $\sqrt[3]{9}$是开方开不尽的数，是无理数。
综上，无理数共有2个，因此随机抽取一个数是无理数的概率为$\frac{2}{7}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；概率公式
【点评】
本题属于易错题，解题的易错点是误将开方开得尽的带根号的数判定为无理数，解题时要先对带根号的数进行化简，再结合无理数的定义准确统计无理数的个数，最后代入概率公式计算即可。
【难度系数】
0.6
3 [2025新疆]不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球恰好是红球的概率为
$\frac{3}{7}$
.答案
3. $\frac{3}{7}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先回忆古典概型的概率计算公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有等可能出现的结果数。第一步先计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果数；第二步确定摸到红球的可能结果数；最后将两个数值代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算袋子中球的总数量：$3+2+2=7$（个），
从袋子中随机摸1个球，共有7种等可能的结果，其中恰好摸到红球的结果有3种，
根据概率公式可得，摸出1个球恰好是红球的概率$P=\frac{3}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
概率公式，古典概型
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，牢记概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先回忆古典概型的概率计算公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有等可能出现的结果数。第一步先计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果数；第二步确定摸到红球的可能结果数；最后将两个数值代入概率公式计算即可得到结果。
【解析】
解：先计算袋子中球的总数量：$3+2+2=7$（个），
从袋子中随机摸1个球，共有7种等可能的结果，其中恰好摸到红球的结果有3种，
根据概率公式可得，摸出1个球恰好是红球的概率$P=\frac{3}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
概率公式，古典概型
【点评】
本题属于概率基础题型，解题关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，牢记概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4[2024 沭阳段考]在“Wish you success.”这句话中任选一个字母，选到字母“c”的概率是
$\frac{1}{7}$
。答案
4. $\frac{1}{7}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到简单事件的概率计算公式：概率等于所求事件包含的结果数除以所有等可能的结果数。解题思路分为三步：第一步，先排除句子中的空格、标点，统计所有字母的总个数，得到所有等可能的结果总数；第二步，统计句子中字母“c”的个数，得到选到“c”的符合条件的结果数；第三步，将两个数值代入概率公式，化简后即可得到最终结果。
【解析】
首先处理句子“Wish you success.”，忽略空格和末尾的句号，统计总字母数：
“Wish”含4个字母，“you”含3个字母，“success”含7个字母，总字母数为$4+3+7=14$，即任选一个字母共有14种等可能的结果。
再统计字母“c”的个数：仅单词“success”中包含2个“c”，即选到字母“c”的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得选到字母“c”的概率为：
$P=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
概率公式；简单事件概率计算
【点评】
本题是基础类概率计算题，解题的易错点是统计字母总数时误将空格、标点计入，或是统计目标字母数量时出错，计算得到的结果要注意约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要用到简单事件的概率计算公式：概率等于所求事件包含的结果数除以所有等可能的结果数。解题思路分为三步：第一步，先排除句子中的空格、标点，统计所有字母的总个数，得到所有等可能的结果总数；第二步，统计句子中字母“c”的个数，得到选到“c”的符合条件的结果数；第三步，将两个数值代入概率公式，化简后即可得到最终结果。
【解析】
首先处理句子“Wish you success.”，忽略空格和末尾的句号，统计总字母数：
“Wish”含4个字母，“you”含3个字母，“success”含7个字母，总字母数为$4+3+7=14$，即任选一个字母共有14种等可能的结果。
再统计字母“c”的个数：仅单词“success”中包含2个“c”，即选到字母“c”的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得选到字母“c”的概率为：
$P=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}$
【答案】
$\frac{1}{7}$
【知识点】
概率公式；简单事件概率计算
【点评】
本题是基础类概率计算题，解题的易错点是统计字母总数时误将空格、标点计入，或是统计目标字母数量时出错，计算得到的结果要注意约分为最简分数。
【难度系数】
0.8
5 [2024 甘孜]某校组织多项活动加强科学教育，九年级(1)班分两批次确定项目组成员参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生。现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为$\frac{3}{5}$，则第一批次确定的人员中，男生有多少名？
答案
5. 设第一批次确定的人员中,男生有x名.根据概率的计算公式,得$\frac{x+1}{7+1+2}=\frac{3}{5}$,解得x=5.答:第一批次确定的人员中,男生有5名
解析
【分析】
解决本题的核心是利用概率计算公式建立等量关系。首先我们可以设第一批次的男生人数为未知数x，先分别统计出项目组的总人数、所有男生的总人数，再根据“抽中男生的概率=男生总人数÷项目组总人数”这一公式，代入已知的概率值列出一元一次方程，最后解方程即可求出第一批次的男生人数。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中，男生有$x$名。
项目组总人数：$7+1+2=10$（名）
男生总人数：$x+1$（名）
根据概率计算公式可得：
$\frac{x+1}{10}=\frac{3}{5}$
去分母得：$5(x+1)=3×10$
化简得：$x+1=6$
解得：$x=5$
答：第一批次确定的人员中，男生有5名。
【答案】
第一批次确定的人员中，男生有5名
【知识点】
概率的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合校园活动的实际场景考查概率的基础应用，解题关键是准确找到总情况数和符合条件的情况数，再结合概率公式列方程求解，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用概率计算公式建立等量关系。首先我们可以设第一批次的男生人数为未知数x，先分别统计出项目组的总人数、所有男生的总人数，再根据“抽中男生的概率=男生总人数÷项目组总人数”这一公式，代入已知的概率值列出一元一次方程，最后解方程即可求出第一批次的男生人数。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中，男生有$x$名。
项目组总人数：$7+1+2=10$（名）
男生总人数：$x+1$（名）
根据概率计算公式可得：
$\frac{x+1}{10}=\frac{3}{5}$
去分母得：$5(x+1)=3×10$
化简得：$x+1=6$
解得：$x=5$
答：第一批次确定的人员中，男生有5名。
【答案】
第一批次确定的人员中，男生有5名
【知识点】
概率的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合校园活动的实际场景考查概率的基础应用，解题关键是准确找到总情况数和符合条件的情况数，再结合概率公式列方程求解，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
6 [2025 河北]抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1,2,3中的一个数字).若向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$,出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$,则该木块不可能是 (
A
) 答案
6. A
解析
【分析】
解题时首先利用概率公式计算出正方体上标有1、2、3的面各有多少个，再结合正方体相邻面的特征，逐一判断每个选项是否符合面数要求即可。
【解析】
质地均匀的正方体共有6个面，每个面向上的可能性相等：
标数字1的面数：$6×\frac{1}{2}=3$个
标数字2的面数：$6×\frac{1}{3}=2$个
标数字3的面数：$6-3-2=1$个
逐一分析选项：
A选项：能看到和顶面1相邻的两个侧面都是数字3，说明该木块至少有2个标3的面，和“3只有1个面”的结论矛盾，不可能；
B选项：相邻的两个面都是1，1共有3个面，存在相邻的标1的面，符合要求，可能；
C选项：1相邻的面分别是3和2，各1个，符合面数要求，可能；
D选项：相邻的两个面都是2，2共有2个面，存在相邻的标2的面，符合要求，可能。
【答案】
A
【知识点】
概率公式；正方体面的特征
【点评】
本题将概率计算和正方体的空间特征结合，解题的核心是先通过概率反推各数字对应的面数，再结合相邻面的特点排查矛盾选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用概率公式计算出正方体上标有1、2、3的面各有多少个，再结合正方体相邻面的特征，逐一判断每个选项是否符合面数要求即可。
【解析】
质地均匀的正方体共有6个面，每个面向上的可能性相等：
标数字1的面数：$6×\frac{1}{2}=3$个
标数字2的面数：$6×\frac{1}{3}=2$个
标数字3的面数：$6-3-2=1$个
逐一分析选项：
A选项：能看到和顶面1相邻的两个侧面都是数字3，说明该木块至少有2个标3的面，和“3只有1个面”的结论矛盾，不可能；
B选项：相邻的两个面都是1，1共有3个面，存在相邻的标1的面，符合要求，可能；
C选项：1相邻的面分别是3和2，各1个，符合面数要求，可能；
D选项：相邻的两个面都是2，2共有2个面，存在相邻的标2的面，符合要求，可能。
【答案】
A
【知识点】
概率公式；正方体面的特征
【点评】
本题将概率计算和正方体的空间特征结合，解题的核心是先通过概率反推各数字对应的面数，再结合相邻面的特点排查矛盾选项。
【难度系数】
0.7
