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1 某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球。从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜。为使游戏对甲、乙双方公平，需在口袋中再放入黑球（
A.3个
B.4个
C.1个
D.2个
D
）A.3个
B.4个
C.1个
D.2个
答案
1. D
解析
【分析】
要判断游戏对双方公平的核心条件是甲、乙两人获胜的概率相等。解题时先算出口袋中原有的黑球数量，再设需要放入的黑球个数为未知数，分别表示出添加黑球后摸出绿球、黑球的概率，令两个概率相等列方程求解即可得到结果。
【解析】
第一步：计算原有黑球数量
已知口袋共有10个球，白球2个，绿球5个，因此黑球数量为：$10-2-5=3$个。
第二步：设未知数列方程
设需要再放入$x$个黑球，此时口袋总球数为$(10+x)$个，绿球数量仍为5个，黑球数量变为$(3+x)$个。
游戏公平即甲获胜概率=乙获胜概率，根据概率公式$P=\frac{事件对应数量}{总数量}$可得：
$\frac{5}{10+x}=\frac{3+x}{10+x}$
由于总球数$10+x≠0$，两边同时乘$(10+x)$消去分母得：$5=3+x$
第三步：解方程得$x=2$，即需要放入2个黑球。
【答案】D
【知识点】概率公式，游戏公平性判断，一元一次方程应用
【点评】本题是概率基础应用题，解题关键是理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，结合概率公式列等式求解即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】0.8
要判断游戏对双方公平的核心条件是甲、乙两人获胜的概率相等。解题时先算出口袋中原有的黑球数量，再设需要放入的黑球个数为未知数，分别表示出添加黑球后摸出绿球、黑球的概率，令两个概率相等列方程求解即可得到结果。
【解析】
第一步：计算原有黑球数量
已知口袋共有10个球，白球2个，绿球5个，因此黑球数量为：$10-2-5=3$个。
第二步：设未知数列方程
设需要再放入$x$个黑球，此时口袋总球数为$(10+x)$个，绿球数量仍为5个，黑球数量变为$(3+x)$个。
游戏公平即甲获胜概率=乙获胜概率，根据概率公式$P=\frac{事件对应数量}{总数量}$可得：
$\frac{5}{10+x}=\frac{3+x}{10+x}$
由于总球数$10+x≠0$，两边同时乘$(10+x)$消去分母得：$5=3+x$
第三步：解方程得$x=2$，即需要放入2个黑球。
【答案】D
【知识点】概率公式，游戏公平性判断，一元一次方程应用
【点评】本题是概率基础应用题，解题关键是理解游戏公平的本质是双方获胜概率相等，结合概率公式列等式求解即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】0.8
2 某学校在进行防溺水安全教育活动中，将下列几种在游泳时的相关事项写在纸条上并折好，内容分别是① 互相关心；② 互相提醒；③ 不要相互嬉水；④ 相互比潜水深度；⑤ 选择水流湍急的水域；⑥ 选择有人看护的游泳池.小颖从这6张纸条中随机抽出1张，抽到内容描述正确的纸条的概率是
$\frac{2}{3}$
.答案
2. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确等可能事件的概率计算公式：概率等于符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数。解题时第一步先逐一判断6条防溺水相关事项的正确性，统计出描述正确的纸条数量；第二步确定抽取的总情况数，最后代入公式计算即可。
【解析】
首先逐一判断6项内容的正确性：
①互相关心、②互相提醒、③不要相互嬉水、⑥选择有人看护的游泳池属于正确的防溺水注意事项，共4项；
④相互比潜水深度、⑤选择水流湍急的水域属于错误做法，易引发溺水危险，共2项。
已知从6张纸条中随机抽1张，共有6种等可能的结果，其中抽到描述正确的纸条的结果有4种，
根据概率公式可得：$P=\frac{\mathrm{正确纸条的数量}}{\mathrm{总纸条数量}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算、事件合理性判断
【点评】
本题结合防溺水安全教育的真实场景，既考查了简单概率的计算方法，又融入了安全常识普及，题目贴近生活，只要准确筛选出正确的防溺水事项，就能顺利求出概率。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确等可能事件的概率计算公式：概率等于符合条件的情况数除以所有等可能的总情况数。解题时第一步先逐一判断6条防溺水相关事项的正确性，统计出描述正确的纸条数量；第二步确定抽取的总情况数，最后代入公式计算即可。
【解析】
首先逐一判断6项内容的正确性：
①互相关心、②互相提醒、③不要相互嬉水、⑥选择有人看护的游泳池属于正确的防溺水注意事项，共4项；
④相互比潜水深度、⑤选择水流湍急的水域属于错误做法，易引发溺水危险，共2项。
已知从6张纸条中随机抽1张，共有6种等可能的结果，其中抽到描述正确的纸条的结果有4种，
根据概率公式可得：$P=\frac{\mathrm{正确纸条的数量}}{\mathrm{总纸条数量}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
等可能事件概率计算、事件合理性判断
【点评】
本题结合防溺水安全教育的真实场景，既考查了简单概率的计算方法，又融入了安全常识普及，题目贴近生活，只要准确筛选出正确的防溺水事项，就能顺利求出概率。
【难度系数】
0.8
3 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转。如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是
$\frac{1}{9}$
。答案
3. $\frac{1}{9}$
解析
【分析】
解题时首先明确每辆车经过十字路口时有3种等可能的行驶方向，两辆汽车的行驶方向是互不影响的独立事件。我们可以先算出两辆汽车行驶方向的所有等可能结果总数，再找出满足“第一辆车左转，第二辆车右转”的结果数量，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数/所有等可能结果数）即可求解，也可以分别计算两个独立事件的概率，再相乘得到最终结果。
【解析】
解：已知每辆车经过十字路口时，有直行、向左转、向右转3种等可能的结果。
两辆汽车经过该路口时，所有等可能的结果总数为 $3×3=9$ 种，分别为：（直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）。
其中满足“第一辆车向左转，第二辆车向右转”的结果只有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{第一辆左转，第二辆右转})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{9}$
也可通过独立事件概率计算：第一辆车左转的概率为$\frac{1}{3}$，第二辆车右转的概率为$\frac{1}{3}$，两个事件独立，因此总概率为$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，独立事件概率，概率公式
【点评】
这道题属于概率基础计算题，既可以通过列举所有等可能结果求解，也可以利用独立事件概率的计算方法快速得出答案，解题的关键是明确两个事件互不干扰，不要漏算总结果数。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确每辆车经过十字路口时有3种等可能的行驶方向，两辆汽车的行驶方向是互不影响的独立事件。我们可以先算出两辆汽车行驶方向的所有等可能结果总数，再找出满足“第一辆车左转，第二辆车右转”的结果数量，最后代入概率公式（概率=符合条件的结果数/所有等可能结果数）即可求解，也可以分别计算两个独立事件的概率，再相乘得到最终结果。
【解析】
解：已知每辆车经过十字路口时，有直行、向左转、向右转3种等可能的结果。
两辆汽车经过该路口时，所有等可能的结果总数为 $3×3=9$ 种，分别为：（直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）。
其中满足“第一辆车向左转，第二辆车向右转”的结果只有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{第一辆左转，第二辆右转})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{1}{9}$
也可通过独立事件概率计算：第一辆车左转的概率为$\frac{1}{3}$，第二辆车右转的概率为$\frac{1}{3}$，两个事件独立，因此总概率为$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
等可能事件概率，独立事件概率，概率公式
【点评】
这道题属于概率基础计算题，既可以通过列举所有等可能结果求解，也可以利用独立事件概率的计算方法快速得出答案，解题的关键是明确两个事件互不干扰，不要漏算总结果数。
【难度系数】
0.8
4 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：如图，A，B两个转盘可以自由转动，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色（若指针指向分界线，则重转）.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.这个游戏公平吗？请说明理由.
答案
4. 这个游戏公平 理由:根据题意,画树状图如图所示.
由树状图可知,同时转动两个转盘,共有6种等可能的结果,其中配成紫色(红+蓝)的结果有3种,配不成紫色的结果有3种,∴ P(小颖去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(小亮去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小颖去观看)=P(小亮去观看),
∴ 这个游戏公平.
解析
【分析】
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时首先明确两个转盘的等可能结果：转盘A有红、蓝2种等可能结果，转盘B有蓝、蓝、红3种等可能结果。我们可以通过树状图法列出同时转动两个转盘的所有等可能结果，再从中筛选出能配成紫色（一红一蓝）的结果，根据概率公式分别计算小颖和小亮获胜的概率，最后比较两个概率的大小即可得出结论。
【解析】
解：这个游戏公平，理由如下：
根据题意画出树状图：
由树状图可得，同时转动两个转盘共有6种等可能的结果，其中能配成紫色（一个转出红色、另一个转出蓝色）的结果有3种，配不成紫色的结果有3种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{小颖去观看})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{小亮去观看})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∵$P(\mathrm{小颖去观看})=P(\mathrm{小亮去观看})$，
∴这个游戏公平。
【答案】
这个游戏公平 理由:根据题意,画树状图如图所示. 由树状图可知,同时转动两个转盘,共有6种等可能的结果,其中配成紫色(红+蓝)的结果有3种,配不成紫色的结果有3种,
∴ P(小颖去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(小亮去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小颖去观看)=P(小亮去观看),
∴ 这个游戏公平.
【知识点】
游戏公平性判断；树状图法求概率；概率公式应用
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查概率的实际应用，解题关键是掌握用树状图列举所有等可能结果的方法，准确计算对应事件的概率，通过比较概率大小判断游戏公平性，属于概率模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平。解题时首先明确两个转盘的等可能结果：转盘A有红、蓝2种等可能结果，转盘B有蓝、蓝、红3种等可能结果。我们可以通过树状图法列出同时转动两个转盘的所有等可能结果，再从中筛选出能配成紫色（一红一蓝）的结果，根据概率公式分别计算小颖和小亮获胜的概率，最后比较两个概率的大小即可得出结论。
【解析】
解：这个游戏公平，理由如下：
根据题意画出树状图：
由树状图可得，同时转动两个转盘共有6种等可能的结果，其中能配成紫色（一个转出红色、另一个转出蓝色）的结果有3种，配不成紫色的结果有3种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{小颖去观看})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
$P(\mathrm{小亮去观看})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∵$P(\mathrm{小颖去观看})=P(\mathrm{小亮去观看})$，
∴这个游戏公平。
【答案】
这个游戏公平 理由:根据题意,画树状图如图所示.
由树状图可知,同时转动两个转盘,共有6种等可能的结果,其中配成紫色(红+蓝)的结果有3种,配不成紫色的结果有3种,∴ P(小颖去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,P(小亮去观看)=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$,
∴ P(小颖去观看)=P(小亮去观看),
∴ 这个游戏公平.
【知识点】
游戏公平性判断；树状图法求概率；概率公式应用
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查概率的实际应用，解题关键是掌握用树状图列举所有等可能结果的方法，准确计算对应事件的概率，通过比较概率大小判断游戏公平性，属于概率模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
5 [2024齐齐哈尔]六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同一种球类运动项目的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路遵循古典概型的计算逻辑：先求出甲、乙两名学生选择运动项目的所有等可能总情况数，再求出两人选择同一种运动项目的符合条件的情况数，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。也可简化思考：甲的选择不影响最终概率，只需计算乙的选择中和甲一致的情况占总选择数的占比，就能快速得到结果。
【解析】
首先计算总等可能情况数：甲有4种运动项目可选，乙同样有4种运动项目可选，因此两人选择的总情况数为 $4×4=16$ 种。
再计算符合条件的情况数：两人选择同一种项目的情况共4种，即同时选篮球、同时选足球、同时选排球、同时选羽毛球。
根据概率公式可得所求概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对古典概型的理解与应用，只要能准确梳理总情况数和符合要求的情况数，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
这是一道等可能事件的概率计算题，解题思路遵循古典概型的计算逻辑：先求出甲、乙两名学生选择运动项目的所有等可能总情况数，再求出两人选择同一种运动项目的符合条件的情况数，最后根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。也可简化思考：甲的选择不影响最终概率，只需计算乙的选择中和甲一致的情况占总选择数的占比，就能快速得到结果。
【解析】
首先计算总等可能情况数：甲有4种运动项目可选，乙同样有4种运动项目可选，因此两人选择的总情况数为 $4×4=16$ 种。
再计算符合条件的情况数：两人选择同一种项目的情况共4种，即同时选篮球、同时选足球、同时选排球、同时选羽毛球。
根据概率公式可得所求概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率，列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对古典概型的理解与应用，只要能准确梳理总情况数和符合要求的情况数，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
6[2024重庆A卷]甲、乙两人分别从A,B,C三个景区中随机选取一个景区前往游览,则他们恰好选择同一景区的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
6. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道两步随机试验的概率求解问题，可通过列举所有等可能的结果计算概率。首先明确甲、乙两人选择景区互不影响，每人都有3种选择，先计算所有等可能的总结果数，再找出两人恰好选择同一景区的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
甲的选择有A、B、C共3种，对应甲的每一种选择，乙的选择也有A、B、C共3种，因此所有等可能的结果总数为$3×3=9$种，分别是：$(A,A)$、$(A,B)$、$(A,C)$、$(B,A)$、$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,A)$、$(C,B)$、$(C,C)$。
其中两人恰好选择同一景区的结果有：$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$，共3种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率公式 2. 列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确不重不漏地列举出所有等可能的结果，再结合概率公式计算即可，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
这是一道两步随机试验的概率求解问题，可通过列举所有等可能的结果计算概率。首先明确甲、乙两人选择景区互不影响，每人都有3种选择，先计算所有等可能的总结果数，再找出两人恰好选择同一景区的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
甲的选择有A、B、C共3种，对应甲的每一种选择，乙的选择也有A、B、C共3种，因此所有等可能的结果总数为$3×3=9$种，分别是：$(A,A)$、$(A,B)$、$(A,C)$、$(B,A)$、$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,A)$、$(C,B)$、$(C,C)$。
其中两人恰好选择同一景区的结果有：$(A,A)$、$(B,B)$、$(C,C)$，共3种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率公式 2. 列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确不重不漏地列举出所有等可能的结果，再结合概率公式计算即可，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
