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6.在平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+a-1$（$a$为常数，且$a≠0$）的图象一定经过的点是（
A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-1,-1)$
D.$(1,-1)$
C
）A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-1,-1)$
D.$(1,-1)$
答案
6.C
解析
【分析】要确定一次函数图象一定经过的定点，即该点坐标与参数a的取值无关（a≠0）。解题有两种常见思路：一是对函数解析式变形，将含参数a的项合并，令a的系数为0，消去参数后即可求出定点坐标；二是将各选项的坐标逐一代入解析式，验证哪个代入后等式恒成立、与a的取值无关，该点就是所求定点。
【解析】
方法一：变形解析式消参
将一次函数$y=ax+a-1$整理得：
$y=a(x+1)-1$
若坐标与a的取值无关，则含a的项的系数为0，即：
$x+1=0$，解得$x=-1$
把$x=-1$代入解析式，得$y=0-1=-1$
因此函数图象一定经过点$(-1,-1)$。
方法二：代入选项验证
A. 将$(1,1)$代入解析式，右边$=a×1+a-1=2a-1$，仅当$a=1$时等于左边的1，不满足对任意$a≠0$成立，排除；
B. 将$(-1,1)$代入解析式，右边$=a×(-1)+a-1=-1≠1$，等式不成立，排除；
C. 将$(-1,-1)$代入解析式，右边$=a×(-1)+a-1=-1$，和左边相等，且等式恒成立与a无关，符合要求；
D. 将$(1,-1)$代入解析式，右边$=2a-1$，仅当$a=0$时等于左边的-1，不符合$a≠0$的要求，排除。
【答案】C
【知识点】函数图象上的点与解析式的关系；一次函数的性质
【点评】本题是一次函数定点问题的基础考查，两种解题方法都需熟练掌握，分离参数法解题效率更高，代入验证法适合对代数式变形不熟悉的同学，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.85
【解析】
方法一：变形解析式消参
将一次函数$y=ax+a-1$整理得：
$y=a(x+1)-1$
若坐标与a的取值无关，则含a的项的系数为0，即：
$x+1=0$，解得$x=-1$
把$x=-1$代入解析式，得$y=0-1=-1$
因此函数图象一定经过点$(-1,-1)$。
方法二：代入选项验证
A. 将$(1,1)$代入解析式，右边$=a×1+a-1=2a-1$，仅当$a=1$时等于左边的1，不满足对任意$a≠0$成立，排除；
B. 将$(-1,1)$代入解析式，右边$=a×(-1)+a-1=-1≠1$，等式不成立，排除；
C. 将$(-1,-1)$代入解析式，右边$=a×(-1)+a-1=-1$，和左边相等，且等式恒成立与a无关，符合要求；
D. 将$(1,-1)$代入解析式，右边$=2a-1$，仅当$a=0$时等于左边的-1，不符合$a≠0$的要求，排除。
【答案】C
【知识点】函数图象上的点与解析式的关系；一次函数的性质
【点评】本题是一次函数定点问题的基础考查，两种解题方法都需熟练掌握，分离参数法解题效率更高，代入验证法适合对代数式变形不熟悉的同学，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.85
7.已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的是（
）
）答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先根据等腰三角形周长的计算公式推导底边长y与腰长x的函数关系式，再结合“边长为正”和“三角形三边关系”两个约束条件求出自变量x的取值范围，最后根据取值范围判断函数图像的端点虚实、线段范围即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
等腰三角形周长为10，周长=2×腰长+底边长，因此可得：
$2x + y = 10$，整理得$y = -2x + 10$。
2. 确定自变量x的取值范围：
（1）边长为正数，因此底边长$y＞0$，代入得：
$-2x + 10 ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
（2）根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两腰之和大于底边长，即：
$2x ＞ y$，将$y=-2x+10$代入得：
$2x ＞ -2x + 10$，解得$x ＞ 2.5$。
综上，x的取值范围是$2.5 ＜ x ＜ 5$，对应：
当$x=2.5$时，$y=5$，x取不到2.5，故点$(2.5,5)$为空心点；
当$x=5$时，$y=0$，x取不到5，故点$(5,0)$为空心点。
函数图像为连接这两个空心点的线段，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数实际应用，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合几何性质考查一次函数的图像，易错点是容易忽略三角形三边关系对自变量范围的约束，仅根据边长为正判断范围导致错选，解题时要注意实际问题中自变量的取值要符合场景要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据等腰三角形周长的计算公式推导底边长y与腰长x的函数关系式，再结合“边长为正”和“三角形三边关系”两个约束条件求出自变量x的取值范围，最后根据取值范围判断函数图像的端点虚实、线段范围即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
等腰三角形周长为10，周长=2×腰长+底边长，因此可得：
$2x + y = 10$，整理得$y = -2x + 10$。
2. 确定自变量x的取值范围：
（1）边长为正数，因此底边长$y＞0$，代入得：
$-2x + 10 ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
（2）根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两腰之和大于底边长，即：
$2x ＞ y$，将$y=-2x+10$代入得：
$2x ＞ -2x + 10$，解得$x ＞ 2.5$。
综上，x的取值范围是$2.5 ＜ x ＜ 5$，对应：
当$x=2.5$时，$y=5$，x取不到2.5，故点$(2.5,5)$为空心点；
当$x=5$时，$y=0$，x取不到5，故点$(5,0)$为空心点。
函数图像为连接这两个空心点的线段，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数实际应用，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合几何性质考查一次函数的图像，易错点是容易忽略三角形三边关系对自变量范围的约束，仅根据边长为正判断范围导致错选，解题时要注意实际问题中自变量的取值要符合场景要求。
【难度系数】
0.7
8.(1)直线$y=2x+8$与$x$轴、$y$轴的交点坐标分别是
(2)若一次函数$y=2x+b$的图象与坐标轴围成图形的面积等于4，则$b$的值为
(-4,0)
，(0,8)
，与两条坐标轴围成的三角形的面积是16
；(2)若一次函数$y=2x+b$的图象与坐标轴围成图形的面积等于4，则$b$的值为
±4
。答案
8.(1)(-4,0) (0,8) 16 (2)±4
解析
【分析】
(1) 求直线与坐标轴交点的核心是利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入直线解析式即可求出交点坐标；直线与坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度为两个交点到原点的距离（即交点横、纵坐标的绝对值），代入直角三角形面积公式即可计算面积。
(2) 沿用第一问的思路，先用含b的代数式表示出一次函数与两坐标轴的交点坐标，再根据面积为4列方程求解，注意坐标带有符号，计算长度时要加绝对值，避免漏解。
【解析】
(1) 求直线与x轴的交点：令$y=0$，代入$y=2x+8$，得$0=2x+8$，解得$x=-4$，即交点坐标为$(-4,0)$；
求直线与y轴的交点：令$x=0$，代入$y=2x+8$，得$y=8$，即交点坐标为$(0,8)$；
围成的直角三角形两条直角边长分别为$|-4|=4$、$|8|=8$，面积为$\frac{1}{2} × 4 × 8 = 16$。
(2) 求一次函数$y=2x+b$与坐标轴的交点：
令$x=0$，得$y=b$，即与y轴交点为$(0,b)$；
令$y=0$，得$0=2x+b$，解得$x=-\frac{b}{2}$，即与x轴交点为$(-\frac{b}{2},0)$；
由围成的三角形面积为4，列方程：$\frac{1}{2} × |b| × \left| -\frac{b}{2} \right| =4$，
化简得$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$，解得$b=\pm 4$。
【答案】
(1)$(-4,0)$，$(0,8)$，$16$；(2)$\pm 4$
【知识点】
一次函数交点求法，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题，解题关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，求解参数时要注意绝对值对应的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.75
(1) 求直线与坐标轴交点的核心是利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入直线解析式即可求出交点坐标；直线与坐标轴围成的是直角三角形，两条直角边的长度为两个交点到原点的距离（即交点横、纵坐标的绝对值），代入直角三角形面积公式即可计算面积。
(2) 沿用第一问的思路，先用含b的代数式表示出一次函数与两坐标轴的交点坐标，再根据面积为4列方程求解，注意坐标带有符号，计算长度时要加绝对值，避免漏解。
【解析】
(1) 求直线与x轴的交点：令$y=0$，代入$y=2x+8$，得$0=2x+8$，解得$x=-4$，即交点坐标为$(-4,0)$；
求直线与y轴的交点：令$x=0$，代入$y=2x+8$，得$y=8$，即交点坐标为$(0,8)$；
围成的直角三角形两条直角边长分别为$|-4|=4$、$|8|=8$，面积为$\frac{1}{2} × 4 × 8 = 16$。
(2) 求一次函数$y=2x+b$与坐标轴的交点：
令$x=0$，得$y=b$，即与y轴交点为$(0,b)$；
令$y=0$，得$0=2x+b$，解得$x=-\frac{b}{2}$，即与x轴交点为$(-\frac{b}{2},0)$；
由围成的三角形面积为4，列方程：$\frac{1}{2} × |b| × \left| -\frac{b}{2} \right| =4$，
化简得$\frac{b^2}{4}=4$，即$b^2=16$，解得$b=\pm 4$。
【答案】
(1)$(-4,0)$，$(0,8)$，$16$；(2)$\pm 4$
【知识点】
一次函数交点求法，一次函数图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题，解题关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，求解参数时要注意绝对值对应的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.75
9.在平面直角坐标系中，若$A(1,0),B(2,p),C(0,-1)$三点在同一条直线上，则$p$的值为
1
。答案
9.1
解析
【分析】
已知三点在同一条直线上，根据一次函数的性质，直线上所有点的坐标都满足该直线的解析式。我们可以先选取两个坐标完全已知的点A和C，用待定系数法求出过这两点的直线的一次函数解析式，再将点B的横坐标代入解析式，求出的纵坐标值就是p的值。
【解析】
设过A、C两点的直线解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
将$ A(1,0) $、$ C(0,-1) $分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\b = -1\end{cases}$
把$ b=-1 $代入$ k + b = 0 $，解得$ k = 1 $。
所以直线解析式为$ y = x - 1 $。
因为点$ B(2,p) $在这条直线上，将$ x=2 $代入解析式，得：
$ p = 2 - 1 = 1 $
【答案】
1
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用类题目，解题核心是掌握三点共线的特征，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，再代入点坐标求未知参数，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
已知三点在同一条直线上，根据一次函数的性质，直线上所有点的坐标都满足该直线的解析式。我们可以先选取两个坐标完全已知的点A和C，用待定系数法求出过这两点的直线的一次函数解析式，再将点B的横坐标代入解析式，求出的纵坐标值就是p的值。
【解析】
设过A、C两点的直线解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
将$ A(1,0) $、$ C(0,-1) $分别代入解析式，得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\b = -1\end{cases}$
把$ b=-1 $代入$ k + b = 0 $，解得$ k = 1 $。
所以直线解析式为$ y = x - 1 $。
因为点$ B(2,p) $在这条直线上，将$ x=2 $代入解析式，得：
$ p = 2 - 1 = 1 $
【答案】
1
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用类题目，解题核心是掌握三点共线的特征，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，再代入点坐标求未知参数，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(-2,1),在x轴上存在点P,使点P到A,B两点的距离之和最小.
(1)求直线PB的函数表达式;
(2)求点P的坐标.
(1)求直线PB的函数表达式;
(2)求点P的坐标.
答案
10.解:(1)如答图,作出点A(2,3)关于x轴的对称点C(2,-3),连接CB交x轴于点P.
此时,点P到A,B两点的距离之和最小.
设直线PB的函数表达式为y=mx+n,
将C(2,-3),B(-2,1)分别代入,得
$\begin{cases}2m+n=-3,\\-2m+n=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n=-1,\end{cases}$
所以直线PB的函数表达式为y=-x-1.
(2)由(1)得y=-x-1,当y=0时,-x-1=0,
解得x=-1,所以点P的坐标是(-1,0).
解析
【分析】
要解决x轴上点P到A、B两点距离之和最小的问题，首先利用轴对称性质，将x轴同侧的点A转化为异侧的对称点C，此时PA=PC，那么PA+PB=PC+PB，根据“两点之间线段最短”，当B、P、C三点共线时距离之和最小，因此直线PB就是直线BC。
(1)求直线PB的表达式即求直线BC的表达式，使用待定系数法：先得到A关于x轴对称的点C的坐标，再将B、C两点坐标代入一次函数一般式，解方程组即可得到解析式。
(2)求点P的坐标时，因为P在x轴上，纵坐标为0，将y=0代入(1)得到的解析式，求解对应的x值即可得到P点坐标。
【解析】
(1)作点A(2,3)关于x轴的对称点C，根据关于x轴对称的点的坐标特征，得C(2,-3)，连接CB交x轴于点P，此时PA=PC，故PA+PB=PC+PB，由两点之间线段最短可知此时点P到A、B的距离之和最小。
设直线PB的函数表达式为$y=mx+n$，将$C(2,-3)$、$B(-2,1)$分别代入得：
$\begin{cases}2m+n=-3\\-2m+n=1\end{cases}$
两式相减得$4m=-4$，解得$m=-1$，将$m=-1$代入$-2m+n=1$，解得$n=-1$。
(2)因为点P在x轴上，所以其纵坐标$y=0$，将$y=0$代入$y=-x-1$得：
$-x-1=0$
解得$x=-1$。
【答案】
(1)直线PB的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
(2)点P的坐标是$\boldsymbol{(-1,0)}$。
【知识点】
轴对称的性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是几何最短路径模型与一次函数知识的综合应用题，既考查了最短路径的构造思路，也考查了一次函数相关的基本计算能力，是数形结合思想的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决x轴上点P到A、B两点距离之和最小的问题，首先利用轴对称性质，将x轴同侧的点A转化为异侧的对称点C，此时PA=PC，那么PA+PB=PC+PB，根据“两点之间线段最短”，当B、P、C三点共线时距离之和最小，因此直线PB就是直线BC。
(1)求直线PB的表达式即求直线BC的表达式，使用待定系数法：先得到A关于x轴对称的点C的坐标，再将B、C两点坐标代入一次函数一般式，解方程组即可得到解析式。
(2)求点P的坐标时，因为P在x轴上，纵坐标为0，将y=0代入(1)得到的解析式，求解对应的x值即可得到P点坐标。
【解析】
(1)作点A(2,3)关于x轴的对称点C，根据关于x轴对称的点的坐标特征，得C(2,-3)，连接CB交x轴于点P，此时PA=PC，故PA+PB=PC+PB，由两点之间线段最短可知此时点P到A、B的距离之和最小。
设直线PB的函数表达式为$y=mx+n$，将$C(2,-3)$、$B(-2,1)$分别代入得：
$\begin{cases}2m+n=-3\\-2m+n=1\end{cases}$
两式相减得$4m=-4$，解得$m=-1$，将$m=-1$代入$-2m+n=1$，解得$n=-1$。
(2)因为点P在x轴上，所以其纵坐标$y=0$，将$y=0$代入$y=-x-1$得：
$-x-1=0$
解得$x=-1$。
【答案】
(1)直线PB的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
(2)点P的坐标是$\boldsymbol{(-1,0)}$。
【知识点】
轴对称的性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是几何最短路径模型与一次函数知识的综合应用题，既考查了最短路径的构造思路，也考查了一次函数相关的基本计算能力，是数形结合思想的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
11.如图，正方形ABCD的边长为4，P为CD边上一点(与点D不重合)，设DP=x.
(1)求△APD的面积y关于x的函数表达式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)用描点法画出该函数的图象.
(1)求△APD的面积y关于x的函数表达式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)用描点法画出该函数的图象.
答案
11.解:(1)△APD的面积$y=\dfrac{1}{2}AD· DP=\dfrac{1}{2}×4x=2x$.
(2)
∵DC=4,点P与点D不重合,
∴0＜x≤4.
(3)该函数图象如答图所示.
解析
【分析】
(1) 首先观察△APD的形状，正方形ABCD中∠D为直角，因此△APD是直角三角形，两条直角边分别为AD和DP，已知正方形边长AD=4，DP=x，代入直角三角形面积公式即可得到y与x的函数表达式；
(2) 自变量x是DP的长度，结合P的位置：P在CD边上且不与D重合，CD长为4，因此x的取值大于0且最大为4，即可得到自变量范围；
(3) 该函数是正比例函数，在自变量范围内取两个端点：x=0时y=0（因x不能取0，端点画空心），x=4时y=8（因x可取4，端点画实心），连接两点得到的线段即为函数图象。
【解析】
(1) 在正方形ABCD中，∠D=90°，AD=4，因此△APD为直角三角形。
根据直角三角形面积公式：
$y=\dfrac{1}{2} × AD × DP$
代入AD=4，DP=x，得：
$y=\dfrac{1}{2} × 4 × x = 2x$
(2) 因为点P在CD边上，且不与点D重合，CD=4，所以DP的长度x满足$0 ＜ x ≤ 4$，即自变量x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 4$。
(3) 对于函数$y=2x$（$0 ＜ x ≤ 4$）：
① 取点：当x=0时，y=0，由于x不能取0，因此点(0,0)处画空心圆圈；当x=4时，y=8，x可取4，因此点(4,8)处画实心点；
② 连接两个端点得到的线段即为该函数的图象。
【答案】
(1) $y=2x$
(2) $0 ＜ x ≤ 4$
(3)
【知识点】
三角形面积计算，一次函数表达式求解，函数自变量取值范围
【点评】
本题结合正方形的性质考查一次函数的基础应用，难度较低，解题时要注意结合实际几何意义确定自变量的取值范围，绘制图象时要区分端点的空心、实心画法。
【难度系数】
0.85
(1) 首先观察△APD的形状，正方形ABCD中∠D为直角，因此△APD是直角三角形，两条直角边分别为AD和DP，已知正方形边长AD=4，DP=x，代入直角三角形面积公式即可得到y与x的函数表达式；
(2) 自变量x是DP的长度，结合P的位置：P在CD边上且不与D重合，CD长为4，因此x的取值大于0且最大为4，即可得到自变量范围；
(3) 该函数是正比例函数，在自变量范围内取两个端点：x=0时y=0（因x不能取0，端点画空心），x=4时y=8（因x可取4，端点画实心），连接两点得到的线段即为函数图象。
【解析】
(1) 在正方形ABCD中，∠D=90°，AD=4，因此△APD为直角三角形。
根据直角三角形面积公式：
$y=\dfrac{1}{2} × AD × DP$
代入AD=4，DP=x，得：
$y=\dfrac{1}{2} × 4 × x = 2x$
(2) 因为点P在CD边上，且不与点D重合，CD=4，所以DP的长度x满足$0 ＜ x ≤ 4$，即自变量x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 4$。
(3) 对于函数$y=2x$（$0 ＜ x ≤ 4$）：
① 取点：当x=0时，y=0，由于x不能取0，因此点(0,0)处画空心圆圈；当x=4时，y=8，x可取4，因此点(4,8)处画实心点；
② 连接两个端点得到的线段即为该函数的图象。
【答案】
(1) $y=2x$
(2) $0 ＜ x ≤ 4$
(3)
【知识点】
三角形面积计算，一次函数表达式求解，函数自变量取值范围
【点评】
本题结合正方形的性质考查一次函数的基础应用，难度较低，解题时要注意结合实际几何意义确定自变量的取值范围，绘制图象时要区分端点的空心、实心画法。
【难度系数】
0.85
