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三、解答题(共50分)
11.(14分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(10,0)，B(10,6)，BC⊥y轴，垂足为C，点D在线段BC上，且AD=AO.
(1)求证:DO平分∠CDA；
(2)求点D的坐标.
11.(14分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(10,0)，B(10,6)，BC⊥y轴，垂足为C，点D在线段BC上，且AD=AO.
(1)求证:DO平分∠CDA；
(2)求点D的坐标.
答案
11.(1)证明:$\because BC⊥ y$轴,$\therefore BC// OA,\therefore ∠ ODC=∠ AOD.$
$\because AD=AO,\therefore ∠ AOD=∠ ADO,\therefore ∠ ODC=∠ ADO,$
$\therefore DO$平分$∠ CDA.$
(2)解:$\because A(10,0),B(10,6),$
$\therefore BC=OA=AD=10,AB=6.$
由勾股定理,得$BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8,$
$\therefore CD=BC-BD=10-8=2,$
$\therefore$点$D$的坐标为$(2,6).$
$\because AD=AO,\therefore ∠ AOD=∠ ADO,\therefore ∠ ODC=∠ ADO,$
$\therefore DO$平分$∠ CDA.$
(2)解:$\because A(10,0),B(10,6),$
$\therefore BC=OA=AD=10,AB=6.$
由勾股定理,得$BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8,$
$\therefore CD=BC-BD=10-8=2,$
$\therefore$点$D$的坐标为$(2,6).$
解析
【分析】
(1) 要证明DO平分∠CDA，只需证明∠ODC=∠ADO即可。首先由BC垂直y轴，OA在x轴上，可得BC平行于OA，利用平行线的内错角相等可得∠ODC=∠AOD；再结合已知AD=AO，根据等腰三角形两底角相等可得∠AOD=∠ADO，等量代换即可得到两个角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要求点D的坐标，观察得点D在BC上，BC平行于x轴，纵坐标与点B相同为6，只需计算横坐标（即CD的长度）。首先由A、B坐标可得OA=AD=10，AB=6，在Rt△ABD中利用勾股定理算出BD的长度，再用BC的长度减去BD得到CD的长度，即可得到点D的横坐标。
【解析】
(1) 证明：
$\because BC⊥ y$轴，OA在x轴上，$\therefore BC// OA$，
$\therefore ∠ ODC=∠ AOD$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AD=AO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ ADO$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ ODC=∠ ADO$，
$\therefore DO$平分$∠ CDA$。
(2) 解：
$\because A(10,0)$，$B(10,6)$，
$\therefore OA=10$，$AB=6$，$BC=OA=10$，
由已知$AD=AO$，得$AD=10$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
$\therefore CD=BC-BD=10-8=2$，
$\because$点D在BC上，纵坐标为6，
$\therefore$点D的坐标为$(2,6)$。
【答案】
(1) 证明成立，DO平分$∠ CDA$；
(2) $\boldsymbol{(2,6)}$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何证明、计算结合的基础题型，解题时需要将坐标信息转化为线段长度条件，结合基础几何性质推导即可，侧重考察对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明DO平分∠CDA，只需证明∠ODC=∠ADO即可。首先由BC垂直y轴，OA在x轴上，可得BC平行于OA，利用平行线的内错角相等可得∠ODC=∠AOD；再结合已知AD=AO，根据等腰三角形两底角相等可得∠AOD=∠ADO，等量代换即可得到两个角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要求点D的坐标，观察得点D在BC上，BC平行于x轴，纵坐标与点B相同为6，只需计算横坐标（即CD的长度）。首先由A、B坐标可得OA=AD=10，AB=6，在Rt△ABD中利用勾股定理算出BD的长度，再用BC的长度减去BD得到CD的长度，即可得到点D的横坐标。
【解析】
(1) 证明：
$\because BC⊥ y$轴，OA在x轴上，$\therefore BC// OA$，
$\therefore ∠ ODC=∠ AOD$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AD=AO$，
$\therefore ∠ AOD=∠ ADO$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ ODC=∠ ADO$，
$\therefore DO$平分$∠ CDA$。
(2) 解：
$\because A(10,0)$，$B(10,6)$，
$\therefore OA=10$，$AB=6$，$BC=OA=10$，
由已知$AD=AO$，得$AD=10$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
$\therefore CD=BC-BD=10-8=2$，
$\because$点D在BC上，纵坐标为6，
$\therefore$点D的坐标为$(2,6)$。
【答案】
(1) 证明成立，DO平分$∠ CDA$；
(2) $\boldsymbol{(2,6)}$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何证明、计算结合的基础题型，解题时需要将坐标信息转化为线段长度条件，结合基础几何性质推导即可，侧重考察对基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
12.(18分)如图,每个小正方形的边长为1.已知在△ABC中,点A,B的坐标分别为(4,1),(1,-2),BC//x轴,点C在点B右侧,且BC=2.
(1)请根据已知条件,画出平面直角坐标系xOy及△ABC,并写出点C的坐标;
(2)将△ABC向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度.按照这样的步骤平移后,如果△ABC上某一点P的对应点为P'(a,b),那么点P的坐标为
(3)求△ABC的面积.
(1)请根据已知条件,画出平面直角坐标系xOy及△ABC,并写出点C的坐标;
(2)将△ABC向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度.按照这样的步骤平移后,如果△ABC上某一点P的对应点为P'(a,b),那么点P的坐标为
(a+3,b-1)
;(用含a,b的代数式表示)(3)求△ABC的面积.
答案
12.(1)解:画出图形如答图所示,点C的坐标是$(3,-2).$
(2)$(a+3,b-1)$
(3)解:$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·(y_A-y_C)=\frac{1}{2}×2×[1-(-2)]=\frac{1}{2}×2×3=3.$
解析
【分析】
(1) 要画出平面直角坐标系，先根据已知A、B的坐标确定原点位置：点B坐标为(1,-2)，说明原点在B左侧1个单位、上方2个单位的网格交点处，据此建立x轴向右为正、y轴向上为正的坐标系；再根据BC平行x轴、BC=2且C在B右侧，可知C的纵坐标和B相同，横坐标为B的横坐标加2，即可得到C的坐标，连接三点得到△ABC。
(2) 平移坐标变化规则为“左减右加，上加下减”，已知平移后点的坐标求原坐标，逆用平移规则即可：向左平移3个单位得到P'，原横坐标比P'横坐标大3；向上平移1个单位得到P'，原纵坐标比P'纵坐标小1，可推出P的坐标。
(3) △ABC中BC为水平线段，取BC为底，底长已知为2，高为点A到直线BC的竖直距离，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) ①确定原点：根据点A(4,1)、B(1,-2)，找到坐标为(0,0)的原点O，画出x轴（水平向右为正）、y轴（竖直向上为正），建立平面直角坐标系。
②求点C坐标：因为BC//x轴，所以C的纵坐标与B相同，为-2；又BC=2且C在B右侧，所以C的横坐标为1+2=3，即C(3,-2)。
③依次连接A、B、C三点，得到△ABC。
(2) 设点P坐标为$(x,y)$，根据平移规则，向左平移3个单位横坐标变为$x-3$，向上平移1个单位纵坐标变为$y+1$，即平移后$P'(x-3,y+1)$。已知$P'(a,b)$，可得$x-3=a$，$y+1=b$，解得$x=a+3$，$y=b-1$。
(3) BC长度为2，BC在直线$y=-2$上，点A纵坐标为1，所以BC边上的高为$1-(-2)=3$。根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×高=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
(1) 画出图形如答图所示，点C的坐标是$(3,-2)$；
(2) $(a+3,b-1)$；
(3) $△ ABC$的面积为$3$。
【知识点】
平面直角坐标系建立，坐标平移规律，三角形面积计算
【点评】
本题是坐标系基础综合题，考查了坐标系画法、平移的坐标变化规律以及网格中三角形面积的计算方法，解题关键是掌握平移坐标变化规则和快速找三角形对应底、高的方法，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
(1) 要画出平面直角坐标系，先根据已知A、B的坐标确定原点位置：点B坐标为(1,-2)，说明原点在B左侧1个单位、上方2个单位的网格交点处，据此建立x轴向右为正、y轴向上为正的坐标系；再根据BC平行x轴、BC=2且C在B右侧，可知C的纵坐标和B相同，横坐标为B的横坐标加2，即可得到C的坐标，连接三点得到△ABC。
(2) 平移坐标变化规则为“左减右加，上加下减”，已知平移后点的坐标求原坐标，逆用平移规则即可：向左平移3个单位得到P'，原横坐标比P'横坐标大3；向上平移1个单位得到P'，原纵坐标比P'纵坐标小1，可推出P的坐标。
(3) △ABC中BC为水平线段，取BC为底，底长已知为2，高为点A到直线BC的竖直距离，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) ①确定原点：根据点A(4,1)、B(1,-2)，找到坐标为(0,0)的原点O，画出x轴（水平向右为正）、y轴（竖直向上为正），建立平面直角坐标系。
②求点C坐标：因为BC//x轴，所以C的纵坐标与B相同，为-2；又BC=2且C在B右侧，所以C的横坐标为1+2=3，即C(3,-2)。
③依次连接A、B、C三点，得到△ABC。
(2) 设点P坐标为$(x,y)$，根据平移规则，向左平移3个单位横坐标变为$x-3$，向上平移1个单位纵坐标变为$y+1$，即平移后$P'(x-3,y+1)$。已知$P'(a,b)$，可得$x-3=a$，$y+1=b$，解得$x=a+3$，$y=b-1$。
(3) BC长度为2，BC在直线$y=-2$上，点A纵坐标为1，所以BC边上的高为$1-(-2)=3$。根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×高=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
(1) 画出图形如答图所示
，点C的坐标是$(3,-2)$；(2) $(a+3,b-1)$；
(3) $△ ABC$的面积为$3$。
【知识点】
平面直角坐标系建立，坐标平移规律，三角形面积计算
【点评】
本题是坐标系基础综合题，考查了坐标系画法、平移的坐标变化规律以及网格中三角形面积的计算方法，解题关键是掌握平移坐标变化规则和快速找三角形对应底、高的方法，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
13.(18分)如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0,b),a,b满足$\sqrt{a-8} + |b-12| = 0$,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿O→A→B→C→O的线路移动.
(1)点B的坐标为
(2)在移动过程中,当点P移动11秒时,求△OPB的面积;
(3)在(2)的条件下,坐标轴上是否存在点Q,使△OPQ的面积与△OPB的面积相等?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
(1)点B的坐标为
(8,12)
;当点P移动5秒时,点P的坐标为(8,2)
;(2)在移动过程中,当点P移动11秒时,求△OPB的面积;
(3)在(2)的条件下,坐标轴上是否存在点Q,使△OPQ的面积与△OPB的面积相等?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
答案
13.(1)$(8,12)$ $(8,2)$
(2)解:如答图①.
当点P移动11秒时,$11×2=22,$
$\because OA+AB=8+12=20＜22,OA+AB+BC=8+12+8=28＞22,\therefore$点P在边BC上,
此时$PB=22-20=2.$
$\therefore S_{△ OPB}=\frac{1}{2}PB· OC=\frac{1}{2}×2×12=12.$
(3)解:①如答图②,当点Q在x轴上时,
$\because S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}OQ· BA=\frac{1}{2}OQ×12=12,$
解得$OQ=2,$
$\therefore Q(2,0)或Q(-2,0);$
②如答图③,当点Q在y轴上时,
$\because PB=2,BC=8,\therefore CP=6.$
$\because S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}OQ· CP=\frac{1}{2}OQ×6=12,解得OQ=4,$
$\therefore Q(0,4)或Q(0,-4).$
综上所述,存在点Q,使$△ OPQ$的面积与$△ OPB$的面积相等,其坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$或$(0,4)$或$(0,-4).$
解析
【分析】
(1) 首先利用非负数的性质：算术平方根和绝对值均为非负数，二者和为0则每一项都为0，求出a、b的值，结合长方形对边相等的性质得到点B坐标；再计算点P5秒移动的路程，判断其所在边，进而得到点P坐标。
(2) 先计算点P11秒移动的总路程，结合长方形各边长度判断点P的位置，求出PB的长度，再以PB为底、OC为高，用三角形面积公式计算△OPB的面积。
(3) 分两类讨论：①Q在x轴上时，△OPQ以OQ为底，高为AB的长度，结合面积相等列方程求OQ长度，得到x轴上Q的两个坐标；②Q在y轴上时，△OPQ以OQ为底，高为CP的长度，同理列方程求OQ长度，得到y轴上Q的两个坐标，汇总所有符合条件的坐标即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{a-8}≥0$，$|b-12|≥0$，且$\sqrt{a-8} + |b-12| = 0$，所以$a-8=0$，$b-12=0$，解得$a=8$，$b=12$。
因为四边形OABC是长方形，所以点B横坐标与A相同，纵坐标与C相同，即$B(8,12)$。
点P5秒移动的路程为$2×5=10$，$OA=8＜10$，所以点P在AB边上，距A点长度为$10-8=2$，即$P(8,2)$。
(2) 点P11秒移动的总路程为$11×2=22$，$OA+AB=8+12=20＜22$，$OA+AB+BC=8+12+8=28＞22$，所以点P在BC边上，$PB=22-20=2$。
$△ OPB$以PB为底，高等于OC的长度12，因此$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}×2×12=12$。
(3) 存在符合条件的点Q，分两种情况：
① Q在x轴上时，设$Q(x,0)$，$△ OPQ$的高为AB的长度12，由面积相等得$\frac{1}{2}×|x|×12=12$，解得$|x|=2$，即$Q(2,0)$或$(-2,0)$。
② Q在y轴上时，$CP=BC-PB=8-2=6$，设$Q(0,y)$，$△ OPQ$的高为CP的长度6，由面积相等得$\frac{1}{2}×|y|×6=12$，解得$|y|=4$，即$Q(0,4)$或$(0,-4)$。
综上，所有符合条件的Q的坐标为$(2,0)$、$(-2,0)$、$(0,4)$、$(0,-4)$。
【答案】
(1)$(8,12)$ $(8,2)$
(2)解:如答图①.
当点P移动11秒时,$11×2=22,$
$\because OA+AB=8+12=20＜22,OA+AB+BC=8+12+8=28＞22,\therefore$点P在边BC上,
此时$PB=22-20=2.$
$\therefore S_{△ OPB}=\frac{1}{2}PB· OC=\frac{1}{2}×2×12=12.$
(3)解:①如答图②,当点Q在x轴上时,
$\because S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}OQ· BA=\frac{1}{2}OQ×12=12,$
解得$OQ=2,$
$\therefore Q(2,0)或Q(-2,0);$
②如答图③,当点Q在y轴上时,
$\because PB=2,BC=8,\therefore CP=6.$
$\because S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}OQ· CP=\frac{1}{2}OQ×6=12,解得OQ=4,$
$\therefore Q(0,4)或Q(0,-4).$
综上所述,存在点Q,使$△ OPQ$的面积与$△ OPB$的面积相等,其坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$或$(0,4)$或$(0,-4).$
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题为动点综合题，融合了代数运算与几何图形性质的考察，解题核心是先准确定位动点的位置，再运用分类讨论思想全面考虑坐标轴上点的所有可能位置，避免遗漏负半轴的情况，同时要熟练掌握坐标系中三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.65
(1) 首先利用非负数的性质：算术平方根和绝对值均为非负数，二者和为0则每一项都为0，求出a、b的值，结合长方形对边相等的性质得到点B坐标；再计算点P5秒移动的路程，判断其所在边，进而得到点P坐标。
(2) 先计算点P11秒移动的总路程，结合长方形各边长度判断点P的位置，求出PB的长度，再以PB为底、OC为高，用三角形面积公式计算△OPB的面积。
(3) 分两类讨论：①Q在x轴上时，△OPQ以OQ为底，高为AB的长度，结合面积相等列方程求OQ长度，得到x轴上Q的两个坐标；②Q在y轴上时，△OPQ以OQ为底，高为CP的长度，同理列方程求OQ长度，得到y轴上Q的两个坐标，汇总所有符合条件的坐标即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{a-8}≥0$，$|b-12|≥0$，且$\sqrt{a-8} + |b-12| = 0$，所以$a-8=0$，$b-12=0$，解得$a=8$，$b=12$。
因为四边形OABC是长方形，所以点B横坐标与A相同，纵坐标与C相同，即$B(8,12)$。
点P5秒移动的路程为$2×5=10$，$OA=8＜10$，所以点P在AB边上，距A点长度为$10-8=2$，即$P(8,2)$。
(2) 点P11秒移动的总路程为$11×2=22$，$OA+AB=8+12=20＜22$，$OA+AB+BC=8+12+8=28＞22$，所以点P在BC边上，$PB=22-20=2$。
$△ OPB$以PB为底，高等于OC的长度12，因此$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}×2×12=12$。
(3) 存在符合条件的点Q，分两种情况：
① Q在x轴上时，设$Q(x,0)$，$△ OPQ$的高为AB的长度12，由面积相等得$\frac{1}{2}×|x|×12=12$，解得$|x|=2$，即$Q(2,0)$或$(-2,0)$。
② Q在y轴上时，$CP=BC-PB=8-2=6$，设$Q(0,y)$，$△ OPQ$的高为CP的长度6，由面积相等得$\frac{1}{2}×|y|×6=12$，解得$|y|=4$，即$Q(0,4)$或$(0,-4)$。
综上，所有符合条件的Q的坐标为$(2,0)$、$(-2,0)$、$(0,4)$、$(0,-4)$。
【答案】
(1)$(8,12)$ $(8,2)$
(2)解:如答图①.
当点P移动11秒时,$11×2=22,$
$\because OA+AB=8+12=20＜22,OA+AB+BC=8+12+8=28＞22,\therefore$点P在边BC上,
此时$PB=22-20=2.$
$\therefore S_{△ OPB}=\frac{1}{2}PB· OC=\frac{1}{2}×2×12=12.$
(3)解:①如答图②,当点Q在x轴上时,
$\because S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}OQ· BA=\frac{1}{2}OQ×12=12,$
解得$OQ=2,$
$\therefore Q(2,0)或Q(-2,0);$
②如答图③,当点Q在y轴上时,
$\because PB=2,BC=8,\therefore CP=6.$
$\because S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}OQ· CP=\frac{1}{2}OQ×6=12,解得OQ=4,$
$\therefore Q(0,4)或Q(0,-4).$
综上所述,存在点Q,使$△ OPQ$的面积与$△ OPB$的面积相等,其坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$或$(0,4)$或$(0,-4).$
【知识点】
非负数的性质，坐标与图形性质，三角形面积计算
【点评】
本题为动点综合题，融合了代数运算与几何图形性质的考察，解题核心是先准确定位动点的位置，再运用分类讨论思想全面考虑坐标轴上点的所有可能位置，避免遗漏负半轴的情况，同时要熟练掌握坐标系中三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.65
