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1. 下列各数中，是无理数的是 （
A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\sqrt[3]{27}$
D.$0.13133$
A
）A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\sqrt[3]{27}$
D.$0.13133$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个数是无理数，首先要明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类。解题时只需逐个化简各选项的数，再结合定义判断即可。
【解析】
先明确核心概念：无限不循环小数叫做无理数，整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都属于有理数。
对各选项逐一分析：
选项A：π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$也属于无理数；
选项B：$\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
选项C：$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$，是整数，属于有理数；
选项D：$0.13133$是有限小数，属于有理数。
综上只有A选项是无理数。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别，立方根运算，有理数的定义
【点评】
本题考查无理数的基础识别，解题的关键是牢记无理数的定义及常见类型，遇到带根号的数要先化简再判断，不要默认带根号的数都是无理数，同时注意含π的数通常为无理数，不要误将$\frac{π}{2}$当作分数归为有理数。
【难度系数】
0.8
要判断哪个数是无理数，首先要明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类。解题时只需逐个化简各选项的数，再结合定义判断即可。
【解析】
先明确核心概念：无限不循环小数叫做无理数，整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都属于有理数。
对各选项逐一分析：
选项A：π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$也属于无理数；
选项B：$\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；
选项C：$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3$，是整数，属于有理数；
选项D：$0.13133$是有限小数，属于有理数。
综上只有A选项是无理数。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别，立方根运算，有理数的定义
【点评】
本题考查无理数的基础识别，解题的关键是牢记无理数的定义及常见类型，遇到带根号的数要先化简再判断，不要默认带根号的数都是无理数，同时注意含π的数通常为无理数，不要误将$\frac{π}{2}$当作分数归为有理数。
【难度系数】
0.8
2.有下列说法:①无理数是开方开不尽的数;②无限不循环小数是无理数;③无理数包括正无理数、零、负无理数.其中正确说法的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
B
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆无理数的定义和分类规则，再逐一验证3个说法是否符合概念即可得出结论。首先明确无理数的核心定义是无限不循环小数，其次要注意常见的无理数不止开方开不尽的数，同时牢记0属于有理数，不属于无理数，依次判断每个说法即可。
【解析】
我们对三个说法逐一分析判断：
1. 说法①：无理数不只是开方开不尽的数，例如圆周率π、0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）都是无理数，不属于开方开不尽得到的数，因此①错误。
2. 说法②：根据无理数的定义，无限不循环小数就是无理数，因此②正确。
3. 说法③：0是有理数，无理数仅包括正无理数和负无理数，因此③错误。
综上，只有1个说法是正确的，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类
【点评】
本题考查无理数的基础概念，属于易错题，易错点在于容易片面认为无理数仅为开方开不尽的数，或者误将0归入无理数范畴，牢记核心定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先回忆无理数的定义和分类规则，再逐一验证3个说法是否符合概念即可得出结论。首先明确无理数的核心定义是无限不循环小数，其次要注意常见的无理数不止开方开不尽的数，同时牢记0属于有理数，不属于无理数，依次判断每个说法即可。
【解析】
我们对三个说法逐一分析判断：
1. 说法①：无理数不只是开方开不尽的数，例如圆周率π、0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）都是无理数，不属于开方开不尽得到的数，因此①错误。
2. 说法②：根据无理数的定义，无限不循环小数就是无理数，因此②正确。
3. 说法③：0是有理数，无理数仅包括正无理数和负无理数，因此③错误。
综上，只有1个说法是正确的，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类
【点评】
本题考查无理数的基础概念，属于易错题，易错点在于容易片面认为无理数仅为开方开不尽的数，或者误将0归入无理数范畴，牢记核心定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
3.(丹阳期末)在下列数$-6,-3π,-2.5,\frac{39}{7},3.030030003···$(相邻的两个3之间依次多一个0)中,无理数有
2
个.答案
3.2
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时我们先牢记有理数的范围（整数和分数统称有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数），再逐个判断给出的数是否符合无理数的特征，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
首先明确无理数的常见类型：①含π的数；②无限不循环小数；③开方开不尽的数（本题未涉及该类型），接下来逐个判断所给数字：
1. $-6$是整数，属于有理数；
2. $-3π$：$π$本身是无限不循环小数，因此$-3π$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $-2.5$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
4. $\frac{39}{7}$是分数，属于有理数；
5. $3.030030003···$（相邻的两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义及常见类型，注意不要将“有规律但无循环节的无限小数”误认为是循环小数，所有的分数都属于有理数，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时我们先牢记有理数的范围（整数和分数统称有理数，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数），再逐个判断给出的数是否符合无理数的特征，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
首先明确无理数的常见类型：①含π的数；②无限不循环小数；③开方开不尽的数（本题未涉及该类型），接下来逐个判断所给数字：
1. $-6$是整数，属于有理数；
2. $-3π$：$π$本身是无限不循环小数，因此$-3π$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $-2.5$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
4. $\frac{39}{7}$是分数，属于有理数；
5. $3.030030003···$（相邻的两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义及常见类型，注意不要将“有规律但无循环节的无限小数”误认为是循环小数，所有的分数都属于有理数，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
4.(姑苏区期末)写出一个比－2小的无理数，这个无理数可以是
$-π$(答案不唯一)
。答案
4.$-π$(答案不唯一)
解析
【分析】
解这道题需要同时满足两个要求：第一，这个数是无理数，也就是无限不循环小数，常见的无理数有含π的数、开方开不尽的数的方根等；第二，这个数比-2小，根据负数比较大小的规则，绝对值越大的负数数值越小，所以只要找绝对值大于2的负无理数即可，符合条件的数有很多，任选其一作答即可。
【解析】
首先明确无理数是无限不循环小数，要满足比-2小的负无理数，只需其绝对值大于2即可。以-π为例：π≈3.14，因此-π≈-3.14，显然-3.14＜-2，同时π是无限不循环小数，属于无理数，因此-π也是无理数，完全符合题目的要求。除此之外，-√5、-√6等也都是符合要求的答案，因此本题答案不唯一。
【答案】
-π（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对无理数概念的理解和负数比较大小的规则，解题时只需同时满足“是无理数”“小于-2”两个条件即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.8
解这道题需要同时满足两个要求：第一，这个数是无理数，也就是无限不循环小数，常见的无理数有含π的数、开方开不尽的数的方根等；第二，这个数比-2小，根据负数比较大小的规则，绝对值越大的负数数值越小，所以只要找绝对值大于2的负无理数即可，符合条件的数有很多，任选其一作答即可。
【解析】
首先明确无理数是无限不循环小数，要满足比-2小的负无理数，只需其绝对值大于2即可。以-π为例：π≈3.14，因此-π≈-3.14，显然-3.14＜-2，同时π是无限不循环小数，属于无理数，因此-π也是无理数，完全符合题目的要求。除此之外，-√5、-√6等也都是符合要求的答案，因此本题答案不唯一。
【答案】
-π（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数大小比较
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对无理数概念的理解和负数比较大小的规则，解题时只需同时满足“是无理数”“小于-2”两个条件即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.8
5.(沭阳县期末改编)我们知道$\sqrt{2}$是无理数，因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为$\sqrt{2}$的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。又如$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{5}-2$。求$\sqrt{34}$的整数部分和小数部分。
答案
5.解:$\because \sqrt{25}＜\sqrt{34}＜\sqrt{36},\therefore 5＜\sqrt{34}＜6$,
$\therefore \sqrt{34}$的整数部分是5,小数部分是$\sqrt{34}-5$.
$\therefore \sqrt{34}$的整数部分是5,小数部分是$\sqrt{34}-5$.
解析
【分析】
要确定$\sqrt{34}$的整数部分和小数部分，首先需要明确解题逻辑：先找到与被开方数34相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{34}$介于哪两个连续正整数之间，其中较小的整数就是$\sqrt{34}$的整数部分，再用$\sqrt{34}$减去它的整数部分，得到的差就是小数部分。
【解析】
解：$\because \sqrt{25} ＜ \sqrt{34} ＜ \sqrt{36}$，
$\therefore 5 ＜ \sqrt{34} ＜ 6$，
$\therefore \sqrt{34}$的整数部分是5，小数部分为$\sqrt{34} - 5$。
【答案】
$\sqrt{34}$的整数部分是5，小数部分是$\sqrt{34}-5$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
【点评】
本题是无理数相关的基础题型，解题核心是通过相邻完全平方数确定无理数的取值范围，掌握估算无理数大小的方法即可快速求解，是实数运算的基础考点。
【难度系数】
0.8
要确定$\sqrt{34}$的整数部分和小数部分，首先需要明确解题逻辑：先找到与被开方数34相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{34}$介于哪两个连续正整数之间，其中较小的整数就是$\sqrt{34}$的整数部分，再用$\sqrt{34}$减去它的整数部分，得到的差就是小数部分。
【解析】
解：$\because \sqrt{25} ＜ \sqrt{34} ＜ \sqrt{36}$，
$\therefore 5 ＜ \sqrt{34} ＜ 6$，
$\therefore \sqrt{34}$的整数部分是5，小数部分为$\sqrt{34} - 5$。
【答案】
$\sqrt{34}$的整数部分是5，小数部分是$\sqrt{34}-5$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
【点评】
本题是无理数相关的基础题型，解题核心是通过相邻完全平方数确定无理数的取值范围，掌握估算无理数大小的方法即可快速求解，是实数运算的基础考点。
【难度系数】
0.8
6.(2024·崇川区月考)在实数 $0,\sqrt{4},\sqrt{8},\sqrt[3]{8},\frac{22}{7},\frac{π}{3},3.14159265,0.121221222122221···$（相邻两个1之间依次多一个2）中，无理数的个数是 （
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
6.B
解析
【分析】
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数，常见的无理数包含三类：开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题时先将题目中能化简的带根号的数化简，再逐个判断每个数的类型，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
先化简可运算的数，再逐个判断：
1. $0$是整数，属于有理数；
2. $\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
3. $\sqrt[3]{8}=2$，是整数，属于有理数；
4. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
5. $3.14159265$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
6. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，属于开方开不尽的数，是无限不循环小数，为无理数；
7. $\frac{π}{3}$中$π$是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，为无理数；
8. $0.121221222122221···$（相邻两个1之间依次多一个2）是有规律但不循环的无限小数，为无理数。
综上，无理数共有3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；二次根式化简；立方根运算
【点评】
本题考查无理数的基本识别，易错点是容易误将带根号的数都判定为无理数，解题时务必先化简带根号的数再判断，同时要注意区分无限循环小数和无限不循环小数的差异。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数，常见的无理数包含三类：开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题时先将题目中能化简的带根号的数化简，再逐个判断每个数的类型，最后统计无理数的个数即可。
【解析】
先化简可运算的数，再逐个判断：
1. $0$是整数，属于有理数；
2. $\sqrt{4}=2$，是整数，属于有理数；
3. $\sqrt[3]{8}=2$，是整数，属于有理数；
4. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；
5. $3.14159265$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
6. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，属于开方开不尽的数，是无限不循环小数，为无理数；
7. $\frac{π}{3}$中$π$是无限不循环小数，因此$\frac{π}{3}$也是无限不循环小数，为无理数；
8. $0.121221222122221···$（相邻两个1之间依次多一个2）是有规律但不循环的无限小数，为无理数。
综上，无理数共有3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的识别；二次根式化简；立方根运算
【点评】
本题考查无理数的基本识别，易错点是容易误将带根号的数都判定为无理数，解题时务必先化简带根号的数再判断，同时要注意区分无限循环小数和无限不循环小数的差异。
【难度系数】
0.7
7.有一个数值转换器，原理如图所示.当输出的数是$\sqrt{3}$时，输入的$x$的值 （
A.只能是3
B.只能是9
C.是3或9
D.有无数个
D
）A.只能是3
B.只能是9
C.是3或9
D.有无数个
答案
7.D
解析
【分析】
解题可采用逆推的思路：已知输出结果为无理数$\sqrt{3}$，它是最后一次取算术平方根的结果。首先逆推第一步，得到$\sqrt{3}$的上一级输入是$(\sqrt{3})^2=3$；若3是上一级取算术平方根得到的有理数，那么再上一级输入是$3^2=9$；同理，9也可以是上一级取算术平方根得到的有理数，对应输入为$9^2=81$，以此类推，逆推过程可无限进行，因此符合要求的x有无数个。
【解析】
从输出结果$\sqrt{3}$反向推导：
1. 若某次取算术平方根后得到$\sqrt{3}$，则该次的输入值为$(\sqrt{3})^2=3$，此时输入x=3满足要求；
2. 若3是某次取算术平方根得到的有理数（需再次进入转换器运算），则该次的输入值为$3^2=9$，此时输入x=9满足要求；
3. 若9是某次取算术平方根得到的有理数（需再次进入转换器运算），则该次的输入值为$9^2=81$，此时输入x=81满足要求；
……
上述逆推过程可以无限进行，每一步得到的正实数都可以作为输入的x，因此输入的x的值有无数个。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根运算；无理数的概念；逆向推理
【点评】
本题以数值转换器为载体，考查对算术平方根和无理数概念的理解与运用，解题的关键是跳出“仅运算一次或两次”的思维定式，意识到可多次循环运算，避免漏判符合条件的x的个数。
【难度系数】
0.5
解题可采用逆推的思路：已知输出结果为无理数$\sqrt{3}$，它是最后一次取算术平方根的结果。首先逆推第一步，得到$\sqrt{3}$的上一级输入是$(\sqrt{3})^2=3$；若3是上一级取算术平方根得到的有理数，那么再上一级输入是$3^2=9$；同理，9也可以是上一级取算术平方根得到的有理数，对应输入为$9^2=81$，以此类推，逆推过程可无限进行，因此符合要求的x有无数个。
【解析】
从输出结果$\sqrt{3}$反向推导：
1. 若某次取算术平方根后得到$\sqrt{3}$，则该次的输入值为$(\sqrt{3})^2=3$，此时输入x=3满足要求；
2. 若3是某次取算术平方根得到的有理数（需再次进入转换器运算），则该次的输入值为$3^2=9$，此时输入x=9满足要求；
3. 若9是某次取算术平方根得到的有理数（需再次进入转换器运算），则该次的输入值为$9^2=81$，此时输入x=81满足要求；
……
上述逆推过程可以无限进行，每一步得到的正实数都可以作为输入的x，因此输入的x的值有无数个。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根运算；无理数的概念；逆向推理
【点评】
本题以数值转换器为载体，考查对算术平方根和无理数概念的理解与运用，解题的关键是跳出“仅运算一次或两次”的思维定式，意识到可多次循环运算，避免漏判符合条件的x的个数。
【难度系数】
0.5
8.若$\sqrt{a}$是大于2且小于3的无理数，则a的值可以是
5(答案不唯一)
.(填一个合适的即可)答案
8.5(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先根据$\sqrt{a}$的取值范围，利用正数范围内不等式两边同时平方、不等号方向不变的性质，求出a的取值范围，再结合$\sqrt{a}$是无理数的条件，排除a为完全平方数的情况，在得到的范围内任选一个符合要求的数即可。
【解析】
解：由题意得$2 ＜ \sqrt{a} ＜ 3$，
∵$2$、$\sqrt{a}$、$3$均为正数，不等式两边同时平方，不等号方向不变，
∴$2^2 ＜ (\sqrt{a})^2 ＜ 3^2$，即$4 ＜ a ＜ 9$。
又
∵$\sqrt{a}$是无理数，
∴a不能是开得尽方的数，
只需在$4 ＜ a ＜9$的范围内选取一个非完全平方数即可，例如8.5。
【答案】
8.5(答案不唯一)
【知识点】
无理数的概念，不等式的性质，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础开放题，结合无理数定义和不等式性质求解，解题关键是先确定a的取值范围，再排除能开得尽方的数即可。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据$\sqrt{a}$的取值范围，利用正数范围内不等式两边同时平方、不等号方向不变的性质，求出a的取值范围，再结合$\sqrt{a}$是无理数的条件，排除a为完全平方数的情况，在得到的范围内任选一个符合要求的数即可。
【解析】
解：由题意得$2 ＜ \sqrt{a} ＜ 3$，
∵$2$、$\sqrt{a}$、$3$均为正数，不等式两边同时平方，不等号方向不变，
∴$2^2 ＜ (\sqrt{a})^2 ＜ 3^2$，即$4 ＜ a ＜ 9$。
又
∵$\sqrt{a}$是无理数，
∴a不能是开得尽方的数，
只需在$4 ＜ a ＜9$的范围内选取一个非完全平方数即可，例如8.5。
【答案】
8.5(答案不唯一)
【知识点】
无理数的概念，不等式的性质，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础开放题，结合无理数定义和不等式性质求解，解题关键是先确定a的取值范围，再排除能开得尽方的数即可。
【难度系数】
0.85
