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9.任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数$0.\dot{7}$为例进行说明：设$0.\dot{7}=x$. 由$0.\dot{7}=0.7777···$可知，$10x=7.7777···$，所以$10x-x=7$，解方程得$x=\frac{7}{9}$，于是$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$. 将$0.\dot{3}\dot{6}$写成分数的形式是
$\frac{4}{11}$
.答案
9.$\frac{4}{11}$
解析
【分析】
本题属于材料阅读类题目，可类比题目给出的无限循环小数化分数的方法求解：首先观察到$0.\dot{3}\dot{6}$的循环节是2位，因此设$0.\dot{3}\dot{6}=x$后，给等式两边同时乘100，得到的新数和原数的小数部分完全相同，两式相减即可消去无限循环的小数部分，转化为一元一次方程，解方程并约分就能得到对应的分数。
【解析】
设$0.\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{3}\dot{6}=0.363636···$可知，$100x=36.363636···$，
因此$100x - x = 36$，
合并同类项得：$99x=36$，
系数化为1得：$x=\frac{36}{99}$，约分后得$x=\frac{4}{11}$。
【答案】
$\frac{4}{11}$
【知识点】
一元一次方程的应用；无限循环小数化分数
【点评】
本题考查类比迁移的学习能力，解题核心是根据循环节的位数确定扩大的倍数，通过作差消去无限循环的小数部分，将新问题转化为已经掌握的一元一次方程求解问题，读懂材料给出的转化方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于材料阅读类题目，可类比题目给出的无限循环小数化分数的方法求解：首先观察到$0.\dot{3}\dot{6}$的循环节是2位，因此设$0.\dot{3}\dot{6}=x$后，给等式两边同时乘100，得到的新数和原数的小数部分完全相同，两式相减即可消去无限循环的小数部分，转化为一元一次方程，解方程并约分就能得到对应的分数。
【解析】
设$0.\dot{3}\dot{6}=x$，
由$0.\dot{3}\dot{6}=0.363636···$可知，$100x=36.363636···$，
因此$100x - x = 36$，
合并同类项得：$99x=36$，
系数化为1得：$x=\frac{36}{99}$，约分后得$x=\frac{4}{11}$。
【答案】
$\frac{4}{11}$
【知识点】
一元一次方程的应用；无限循环小数化分数
【点评】
本题考查类比迁移的学习能力，解题核心是根据循环节的位数确定扩大的倍数，通过作差消去无限循环的小数部分，将新问题转化为已经掌握的一元一次方程求解问题，读懂材料给出的转化方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.(2024·海门市月考)已知某正数的两个平方根是$3a-14$和$a+2$，$b+11$的立方根为$-3$，$c$是$\sqrt{7}$的整数部分.
(1)求$a+b+c$的值；
(2)求$3a-b+c$的平方根.
(1)求$a+b+c$的值；
(2)求$3a-b+c$的平方根.
答案
10.解:(1)由题意,得$3a-14+a+2=0,b+11=-27$,
解得$a=3,b=-38$.
$\because 4＜7＜9,\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$.
$\because c$是$\sqrt{7}$的整数部分,$\therefore c=2$,
$\therefore a+b+c=3+(-38)+2=-33$.
(2)当$a=3,b=-38,c=2$时,$3a-b+c=49$.
$\because 49$的平方根是$\pm7$,
$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm7$.
解得$a=3,b=-38$.
$\because 4＜7＜9,\therefore 2＜\sqrt{7}＜3$.
$\because c$是$\sqrt{7}$的整数部分,$\therefore c=2$,
$\therefore a+b+c=3+(-38)+2=-33$.
(2)当$a=3,b=-38,c=2$时,$3a-b+c=49$.
$\because 49$的平方根是$\pm7$,
$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm7$.
解析
【分析】
解题时先利用正数的两个平方根互为相反数的性质，列等式求出a的值；再根据立方根的定义，由立方根的值求出被开方数，进而得到b的值；接着通过估算无理数$\sqrt{7}$的大小，确定它的整数部分得到c的值。第一问将a、b、c的值直接代入计算即可；第二问先算出$3a-b+c$的结果，再根据平方根的定义求出它的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 由题意可知，正数的两个平方根互为相反数，因此：
$3a-14+a+2=0$
解得$a=3$
又因为$b+11$的立方根为$-3$，根据立方根的定义可得：
$b+11=(-3)^3=-27$
解得$b=-38$
$\because 4＜7＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
$\because c$是$\sqrt{7}$的整数部分，$\therefore c=2$
因此$a+b+c=3+(-38)+2=-33$
(2) 把$a=3$，$b=-38$，$c=2$代入$3a-b+c$得：
$3×3 - (-38) + 2=9+38+2=49$
$\because (\pm7)^2=49$，即49的平方根是$\pm7$
$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm7$
【答案】
(1) $-33$；(2) $\pm7$
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，考查了平方根、立方根的性质以及无理数的估算，解题关键是熟练掌握相关概念，注意求正数的平方根时不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解题时先利用正数的两个平方根互为相反数的性质，列等式求出a的值；再根据立方根的定义，由立方根的值求出被开方数，进而得到b的值；接着通过估算无理数$\sqrt{7}$的大小，确定它的整数部分得到c的值。第一问将a、b、c的值直接代入计算即可；第二问先算出$3a-b+c$的结果，再根据平方根的定义求出它的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 由题意可知，正数的两个平方根互为相反数，因此：
$3a-14+a+2=0$
解得$a=3$
又因为$b+11$的立方根为$-3$，根据立方根的定义可得：
$b+11=(-3)^3=-27$
解得$b=-38$
$\because 4＜7＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
$\because c$是$\sqrt{7}$的整数部分，$\therefore c=2$
因此$a+b+c=3+(-38)+2=-33$
(2) 把$a=3$，$b=-38$，$c=2$代入$3a-b+c$得：
$3×3 - (-38) + 2=9+38+2=49$
$\because (\pm7)^2=49$，即49的平方根是$\pm7$
$\therefore 3a-b+c$的平方根是$\pm7$
【答案】
(1) $-33$；(2) $\pm7$
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于基础综合题，考查了平方根、立方根的性质以及无理数的估算，解题关键是熟练掌握相关概念，注意求正数的平方根时不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
11. 根据下表，回答问题：
(1)295.84的算术平方根是
(2)$\sqrt{299.3}\approx$
(3)$\sqrt{29241}=$
(4)若$\sqrt{n}$介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有
(5)若$\sqrt{325}$这个数的整数部分为m，求$\sqrt{3m-5}-(m-16)^3$的立方根。
(1)295.84的算术平方根是
17.2
，316.84的平方根是$\pm17.8$
；(2)$\sqrt{299.3}\approx$
17.3
；(保留一位小数)(3)$\sqrt{29241}=$
171
，$\sqrt{3.1329}=$1.77
；(4)若$\sqrt{n}$介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有
4
个；(5)若$\sqrt{325}$这个数的整数部分为m，求$\sqrt{3m-5}-(m-16)^3$的立方根。
答案
11.(1)17.2 $\pm17.8$ (2)17.3
(3)171 1.77 (4)4
(5)解:由表格知,$18＜\sqrt{325}$,
$\therefore \sqrt{325}$的整数部分$m=18$.
$\therefore \sqrt{3m-5}-(m-16)^3=\sqrt{49}-2^3=7-8=-1$,
$\therefore \sqrt{3m-5}-(m-16)^3$的立方根为$\sqrt[3]{-1}=-1$.
(3)171 1.77 (4)4
(5)解:由表格知,$18＜\sqrt{325}$,
$\therefore \sqrt{325}$的整数部分$m=18$.
$\therefore \sqrt{3m-5}-(m-16)^3=\sqrt{49}-2^3=7-8=-1$,
$\therefore \sqrt{3m-5}-(m-16)^3$的立方根为$\sqrt[3]{-1}=-1$.
解析
【分析】
本题围绕平方根、算术平方根的定义及性质展开，解题思路如下：(1)根据算术平方根非负、平方根有正负两个的性质，直接对照表格中$x^2$的值对应找$x$即可；(2)观察299.3最接近表格中哪个$x^2$的值，即可得到近似值；(3)利用被开方数小数点每移动2位，算术平方根小数点向同方向移动1位的规律计算；(4)先算出17.6和17.7的平方，找出两个平方数之间的整数个数即可；(5)先确定$\sqrt{325}$的范围得到整数部分$m$，再代入代数式计算，最后求计算结果的立方根。
【解析】
(1) 由表格可知：$17.2^2=295.84$，所以295.84的算术平方根是17.2；$17.8^2=316.84$，所以316.84的平方根是$\pm17.8$；
(2) 表格中$17.3^2=299.29$，和299.3非常接近，因此$\sqrt{299.3}\approx17.3$；
(3) 根据被开方数小数点移动规律：$29241=292.41×100$，$\sqrt{292.41}=17.1$，故$\sqrt{29241}=17.1×10=171$；$3.1329=313.29÷100$，$\sqrt{313.29}=17.7$，故$\sqrt{3.1329}=17.7÷10=1.77$；
(4) 由表格得$17.6^2=309.76$，$17.7^2=313.29$，满足$309.76＜n＜313.29$的整数$n$为310、311、312、313，共4个；
(5) 由表格可知$18^2=324＜325$，$19^2=361＞325$，因此$\sqrt{325}$的整数部分$m=18$，代入代数式得：
$\sqrt{3m-5}-(m-16)^3=\sqrt{3×18-5}-(18-16)^3=\sqrt{49}-2^3=7-8=-1$，
所以$\sqrt{3m-5}-(m-16)^3$的立方根为$\sqrt[3]{-1}=-1$。
【答案】
(1)17.2，$\pm17.8$；(2)17.3；(3)171，1.77；(4)4；(5)-1
【知识点】
平方根与算术平方根，平方根估算，代数式求值
【点评】
本题结合表格考查平方根相关的核心知识点，既考查基础概念的识记，也考查规律应用和计算能力，需要学生熟练掌握平方根的性质，能灵活运用估算和小数点移动规律解决问题。
【难度系数】
0.7
本题围绕平方根、算术平方根的定义及性质展开，解题思路如下：(1)根据算术平方根非负、平方根有正负两个的性质，直接对照表格中$x^2$的值对应找$x$即可；(2)观察299.3最接近表格中哪个$x^2$的值，即可得到近似值；(3)利用被开方数小数点每移动2位，算术平方根小数点向同方向移动1位的规律计算；(4)先算出17.6和17.7的平方，找出两个平方数之间的整数个数即可；(5)先确定$\sqrt{325}$的范围得到整数部分$m$，再代入代数式计算，最后求计算结果的立方根。
【解析】
(1) 由表格可知：$17.2^2=295.84$，所以295.84的算术平方根是17.2；$17.8^2=316.84$，所以316.84的平方根是$\pm17.8$；
(2) 表格中$17.3^2=299.29$，和299.3非常接近，因此$\sqrt{299.3}\approx17.3$；
(3) 根据被开方数小数点移动规律：$29241=292.41×100$，$\sqrt{292.41}=17.1$，故$\sqrt{29241}=17.1×10=171$；$3.1329=313.29÷100$，$\sqrt{313.29}=17.7$，故$\sqrt{3.1329}=17.7÷10=1.77$；
(4) 由表格得$17.6^2=309.76$，$17.7^2=313.29$，满足$309.76＜n＜313.29$的整数$n$为310、311、312、313，共4个；
(5) 由表格可知$18^2=324＜325$，$19^2=361＞325$，因此$\sqrt{325}$的整数部分$m=18$，代入代数式得：
$\sqrt{3m-5}-(m-16)^3=\sqrt{3×18-5}-(18-16)^3=\sqrt{49}-2^3=7-8=-1$，
所以$\sqrt{3m-5}-(m-16)^3$的立方根为$\sqrt[3]{-1}=-1$。
【答案】
(1)17.2，$\pm17.8$；(2)17.3；(3)171，1.77；(4)4；(5)-1
【知识点】
平方根与算术平方根，平方根估算，代数式求值
【点评】
本题结合表格考查平方根相关的核心知识点，既考查基础概念的识记，也考查规律应用和计算能力，需要学生熟练掌握平方根的性质，能灵活运用估算和小数点移动规律解决问题。
【难度系数】
0.7
12.如果两个数相等，那么有理数部分与有理数部分相等，无理数部分与无理数部分相等.如$a,b$是有理数，且满足$a+\sqrt{2}b=3-5\sqrt{2}$，则$a=3,b=-5$.设$x,y$是有理数，且$x,y$满足$x^2+2y+\sqrt{3}y=17-4\sqrt{3}$，求$xy$的值.
答案
12.解:$\because x,y$是有理数,且$x,y$满足$x^2+2y+\sqrt{3}y=17-4\sqrt{3}$,
$\therefore \begin{cases} x^2+2y=17,\\ y=-4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=5,\\ y=-4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-5,\\ y=-4. \end{cases}$
当$x=5,y=-4$时,$xy=-20$;
当$x=-5,y=-4$时,$xy=20$.
$\therefore \begin{cases} x^2+2y=17,\\ y=-4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=5,\\ y=-4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-5,\\ y=-4. \end{cases}$
当$x=5,y=-4$时,$xy=-20$;
当$x=-5,y=-4$时,$xy=20$.
解析
【分析】
根据题目给出的结论：若两个含无理数的式子相等，则它们的有理数部分对应相等，无理数部分的系数也对应相等。观察已知等式，x、y都是有理数，因此左边的$x^2+2y$是有理数部分，$\sqrt{3}y$是无理数部分；右边的17是有理数部分，$-4\sqrt{3}$是无理数部分。据此可列出关于x、y的方程组，先求出y的值，再代入求x的取值，最后计算xy的值即可，注意x是平方项，开方后有正负两个解。
【解析】
解：$\because x,y$是有理数，且$x,y$满足$x^2+2y+\sqrt{3}y=17-4\sqrt{3}$，
$\therefore$ 等式两边有理数部分和无理数部分分别对应相等，可得方程组：
$\begin{cases} x^2+2y=17\\ y=-4 \end{cases}$
把$y=-4$代入$x^2+2y=17$，得：
$x^2 + 2×(-4) = 17$
$x^2 - 8 = 17$
$x^2=25$
解得$x=5$或$x=-5$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases} x=5\\ y=-4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-5\\ y=-4 \end{cases}$
当$x=5,y=-4$时，$xy=5×(-4)=-20$；
当$x=-5,y=-4$时，$xy=(-5)×(-4)=20$。
【答案】$xy$的值为20或-20
【知识点】
有理数与无理数的性质、解方程组、平方根运算
【点评】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是读懂题干给出的相等规则，正确拆分等式中的有理数和无理数部分建立方程，求解时要注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
根据题目给出的结论：若两个含无理数的式子相等，则它们的有理数部分对应相等，无理数部分的系数也对应相等。观察已知等式，x、y都是有理数，因此左边的$x^2+2y$是有理数部分，$\sqrt{3}y$是无理数部分；右边的17是有理数部分，$-4\sqrt{3}$是无理数部分。据此可列出关于x、y的方程组，先求出y的值，再代入求x的取值，最后计算xy的值即可，注意x是平方项，开方后有正负两个解。
【解析】
解：$\because x,y$是有理数，且$x,y$满足$x^2+2y+\sqrt{3}y=17-4\sqrt{3}$，
$\therefore$ 等式两边有理数部分和无理数部分分别对应相等，可得方程组：
$\begin{cases} x^2+2y=17\\ y=-4 \end{cases}$
把$y=-4$代入$x^2+2y=17$，得：
$x^2 + 2×(-4) = 17$
$x^2 - 8 = 17$
$x^2=25$
解得$x=5$或$x=-5$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases} x=5\\ y=-4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-5\\ y=-4 \end{cases}$
当$x=5,y=-4$时，$xy=5×(-4)=-20$；
当$x=-5,y=-4$时，$xy=(-5)×(-4)=20$。
【答案】$xy$的值为20或-20
【知识点】
有理数与无理数的性质、解方程组、平方根运算
【点评】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是读懂题干给出的相等规则，正确拆分等式中的有理数和无理数部分建立方程，求解时要注意正数开平方有两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
