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1 [2025 滨州]某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展. 截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个.设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（
A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
B
）A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题时首先要找准三个核心量：增长的初始量、年平均增长率、增长次数。首先明确时间跨度：从2023年初到2025年初间隔2年，即一共增长2次。平均增长率问题的通用等量关系为：最终量=初始量×(1+年平均增长率)^增长次数，将对应数据代入该公式即可列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
第一步，确定各对应量：初始量为2023年初的10万个，从2023年初到2025年初共增长2次，最终量为2025年初的16.9万个，年平均增长率设为x。
第二步，代入平均增长率计算公式：经过n次增长后的量=初始量×(1+增长率)^n，代入数据可得方程$10(1+x)^2=16.9$，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率问题
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题关键是准确计算增长次数，牢记平均增长率的等量关系，得分率较高。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题时首先要找准三个核心量：增长的初始量、年平均增长率、增长次数。首先明确时间跨度：从2023年初到2025年初间隔2年，即一共增长2次。平均增长率问题的通用等量关系为：最终量=初始量×(1+年平均增长率)^增长次数，将对应数据代入该公式即可列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
第一步，确定各对应量：初始量为2023年初的10万个，从2023年初到2025年初共增长2次，最终量为2025年初的16.9万个，年平均增长率设为x。
第二步，代入平均增长率计算公式：经过n次增长后的量=初始量×(1+增长率)^n，代入数据可得方程$10(1+x)^2=16.9$，对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用；平均增长率问题
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题关键是准确计算增长次数，牢记平均增长率的等量关系，得分率较高。
【难度系数】
0.8
2 如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,沿AB以2 cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发,沿BC以1 cm/s的速度向点C运动;当点P运动到点B处时,点Q停止运动.当△PQC的面积为16 cm²时,运动时间为 (
A.2 s
B.4 s
C.10 s
D.2 s或10 s
A
)A.2 s
B.4 s
C.10 s
D.2 s或10 s
答案
2. A
解析
【分析】
这是动态几何的面积计算问题，解题思路如下：首先设运动时间为t s，先确定t的取值范围：点P从A到B的总时长为12÷2=6s，因此0≤t≤6。其次用含t的代数式表示相关线段长度：AP=2t cm，可得PB=AB-AP=(12-2t)cm；BQ=t cm，可得QC=BC-BQ=(6-t)cm。再根据矩形内角为直角的性质，△PQC的面积可通过公式$\frac{1}{2}×底×高$计算，其中底为QC，高为PB，据此列方程求解，最后结合t的取值范围舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设运动时间为t s，由题意得$0≤t≤6$。
此时$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{cm}$，$QC=BC-BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB⊥BC$，
又
∵ $S_{△ PQC}=16\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $\frac{1}{2} · PB · QC = 16$，
代入得$\frac{1}{2}(12-2t)(6-t)=16$，
整理得$(6-t)^2=16$，
解得$t_1=2$，$t_2=10$。
∵ $t≤6$，
∴ $t=10$不符合题意，舍去，
∴ 运动时间为2 s。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的性质；动态几何计算
【点评】
本题是动态几何与一元二次方程结合的典型题，解题时需先根据动点的运动范围确定未知数的取值范围，求解后要检验根是否符合实际情况，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
这是动态几何的面积计算问题，解题思路如下：首先设运动时间为t s，先确定t的取值范围：点P从A到B的总时长为12÷2=6s，因此0≤t≤6。其次用含t的代数式表示相关线段长度：AP=2t cm，可得PB=AB-AP=(12-2t)cm；BQ=t cm，可得QC=BC-BQ=(6-t)cm。再根据矩形内角为直角的性质，△PQC的面积可通过公式$\frac{1}{2}×底×高$计算，其中底为QC，高为PB，据此列方程求解，最后结合t的取值范围舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设运动时间为t s，由题意得$0≤t≤6$。
此时$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB=AB-AP=(12-2t)\ \mathrm{cm}$，$QC=BC-BQ=(6-t)\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB⊥BC$，
又
∵ $S_{△ PQC}=16\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $\frac{1}{2} · PB · QC = 16$，
代入得$\frac{1}{2}(12-2t)(6-t)=16$，
整理得$(6-t)^2=16$，
解得$t_1=2$，$t_2=10$。
∵ $t≤6$，
∴ $t=10$不符合题意，舍去，
∴ 运动时间为2 s。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形的性质；动态几何计算
【点评】
本题是动态几何与一元二次方程结合的典型题，解题时需先根据动点的运动范围确定未知数的取值范围，求解后要检验根是否符合实际情况，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
3 [2024云南]两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元。设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，可列方程为
$80(1-x)^2=60$
。答案
3. $80(1-x)^2=60$
解析
【分析】
本题属于平均下降率类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确成本的变化过程：初始成本是两年前的80元，每年成本在上一年的基础上按相同的下降率x减少。先计算经过1年下降后的成本，再以此为基础计算经过2年下降后的成本，最后结合现在的成本为60元建立等量关系即可列出方程。
【解析】
已知两年前1千克甲种药品的成本为80元，年平均下降率为x：
1. 经过1年下降后，1千克甲种药品的成本为 $ 80(1-x) $ 元；
2. 再经过1年（即现在），成本在第一年下降后的基础上继续下降x，因此现在的成本为 $ 80(1-x) × (1-x) = 80(1-x)^2 $ 元；
结合现在1千克甲种药品的成本为60元，可列方程为 $ 80(1-x)^2 = 60 $。
【答案】
$ 80(1-x)^2=60 $
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率应用的基础题型，解题核心是熟练掌握平均变化量的计算公式：若初始量为a，平均变化率为x，经过n次变化后的量为b，则有$ a(1\pm x)^n = b $（下降用减，增长用加），解题时注意找准变化次数、区分增长和下降即可。
【难度系数】
0.8
本题属于平均下降率类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确成本的变化过程：初始成本是两年前的80元，每年成本在上一年的基础上按相同的下降率x减少。先计算经过1年下降后的成本，再以此为基础计算经过2年下降后的成本，最后结合现在的成本为60元建立等量关系即可列出方程。
【解析】
已知两年前1千克甲种药品的成本为80元，年平均下降率为x：
1. 经过1年下降后，1千克甲种药品的成本为 $ 80(1-x) $ 元；
2. 再经过1年（即现在），成本在第一年下降后的基础上继续下降x，因此现在的成本为 $ 80(1-x) × (1-x) = 80(1-x)^2 $ 元；
结合现在1千克甲种药品的成本为60元，可列方程为 $ 80(1-x)^2 = 60 $。
【答案】
$ 80(1-x)^2=60 $
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是百分率应用的基础题型，解题核心是熟练掌握平均变化量的计算公式：若初始量为a，平均变化率为x，经过n次变化后的量为b，则有$ a(1\pm x)^n = b $（下降用减，增长用加），解题时注意找准变化次数、区分增长和下降即可。
【难度系数】
0.8
4 某公司某年1月的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月的生产成本是361万元。假设该公司1~4月生产成本的月下降率都相同。
（1）求生产成本的月下降率；
（2）该公司4月的生产成本为
（1）求生产成本的月下降率；
（2）该公司4月的生产成本为
342.95
万元。答案
4.（1）设生产成本的月下降率为x.根据题意,得$400(1-x)^2=361$,
解得$x_1=0.05=5\%$,$x_2=1.95$(不合题意,舍去).答:生产成本的月下降率为5%
（2）342.95 【解析】$361×(1-5\%)=342.95$(万元).
解得$x_1=0.05=5\%$,$x_2=1.95$(不合题意,舍去).答:生产成本的月下降率为5%
（2）342.95 【解析】$361×(1-5\%)=342.95$(万元).
解析
【分析】
（1）本题属于平均变化率类应用题，解题核心是掌握变化率的等量关系：初始量×(1-变化率)^变化次数 = 最终量。本题中1月成本是初始量，3月成本是最终量，1月到3月间隔2个月，所以可设月下降率为x，代入已知数据列一元二次方程求解，注意下降率需满足0＜x＜1，不符合实际意义的根要舍去。
（2）4月成本是在3月成本基础上按照相同下降率减少得到的，直接用3月成本乘以(1-月下降率)即可计算得出结果。
【解析】
（1）设生产成本的月下降率为x，根据题意列方程：
$400(1-x)^2=361$
对方程开方得：$1-x=\pm0.95$
解得：$x_1=0.05=5\%$，$x_2=1.95$
由于下降率不能大于1，因此$x_2=1.95$不合题意，舍去。
故生产成本的月下降率为5%。
（2）4月生产成本为3月成本乘以下降后的占比：
$361×(1-5\%)=361×0.95=342.95$（万元）
【答案】
（1）5%；（2）342.95
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是百分率应用的基础题型，解题关键是找准变化前后的对应量，正确套用平均变化率公式列方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于平均变化率类应用题，解题核心是掌握变化率的等量关系：初始量×(1-变化率)^变化次数 = 最终量。本题中1月成本是初始量，3月成本是最终量，1月到3月间隔2个月，所以可设月下降率为x，代入已知数据列一元二次方程求解，注意下降率需满足0＜x＜1，不符合实际意义的根要舍去。
（2）4月成本是在3月成本基础上按照相同下降率减少得到的，直接用3月成本乘以(1-月下降率)即可计算得出结果。
【解析】
（1）设生产成本的月下降率为x，根据题意列方程：
$400(1-x)^2=361$
对方程开方得：$1-x=\pm0.95$
解得：$x_1=0.05=5\%$，$x_2=1.95$
由于下降率不能大于1，因此$x_2=1.95$不合题意，舍去。
故生产成本的月下降率为5%。
（2）4月生产成本为3月成本乘以下降后的占比：
$361×(1-5\%)=361×0.95=342.95$（万元）
【答案】
（1）5%；（2）342.95
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是百分率应用的基础题型，解题关键是找准变化前后的对应量，正确套用平均变化率公式列方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
5 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感。设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可列方程为 （
A.$ x+(1+x)=36 $
B.$ 2(1+x)=36 $
C.$ 1+x+x(1+x)=36 $
D.$ 1+x+x^2=36 $
C
）A.$ x+(1+x)=36 $
B.$ 2(1+x)=36 $
C.$ 1+x+x(1+x)=36 $
D.$ 1+x+x^2=36 $
答案
5. C
解析
【分析】
解决传染类列方程问题，要分两步梳理患病人数的变化：首先明确初始患病人数，计算第一轮传染后的总患病人数；再以第一轮结束的患病人数作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数，最终根据两轮后总患病人数为36列方程即可。
【解析】
解：已知初始患流感的人数为1人。
1. 第一轮传染：平均每人传染x人，第一轮新增患病人数为x人，第一轮结束后总患病人数为$\boldsymbol{1+x}$人；
2. 第二轮传染：此时共有$(1+x)$个传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为$\boldsymbol{x(1+x)}$人。
两轮传染后总患病人数为36人，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=36$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模
【点评】
本题是传播类实际应用的基础题，解题核心是准确梳理每一轮的传染源数量，理清总患病人数的推导逻辑，避免错误认为第二轮新增患病人数为$x^2$。
【难度系数】
0.7
解决传染类列方程问题，要分两步梳理患病人数的变化：首先明确初始患病人数，计算第一轮传染后的总患病人数；再以第一轮结束的患病人数作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数，最终根据两轮后总患病人数为36列方程即可。
【解析】
解：已知初始患流感的人数为1人。
1. 第一轮传染：平均每人传染x人，第一轮新增患病人数为x人，第一轮结束后总患病人数为$\boldsymbol{1+x}$人；
2. 第二轮传染：此时共有$(1+x)$个传染源，每人传染x人，因此第二轮新增患病人数为$\boldsymbol{x(1+x)}$人。
两轮传染后总患病人数为36人，因此可列方程：$1+x+x(1+x)=36$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模
【点评】
本题是传播类实际应用的基础题，解题核心是准确梳理每一轮的传染源数量，理清总患病人数的推导逻辑，避免错误认为第二轮新增患病人数为$x^2$。
【难度系数】
0.7
6 [2025 凉山]某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860吨。
设月平均增长率为$x$，那么可列出的方程是 （
A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
设月平均增长率为$x$，那么可列出的方程是 （
C
）A.$560(1+x)^2=1860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
D.$560+560(1+2x)^2=1860$
答案
6. C
解析
【分析】
本题属于平均增长率的实际应用问题，解题时先明确第一季度总产量为一月、二月、三月的产量之和。首先已知一月份产量，结合月平均增长率x，依次推导二月、三月的产量表达式，再将三个月产量相加等于第一季度总产量，即可列出对应方程。
【解析】
首先明确第一季度包含1月、2月、3月，总产量为三个月产量之和：
1. 一月份产量已知为560吨；
2. 月平均增长率为x，因此二月份产量 = 一月份产量×(1+x) = $560(1+x)$；
3. 三月份产量 = 二月份产量×(1+x) = $560(1+x)×(1+x) = 560(1+x)^2$；
4. 已知第一季度总产量为1860吨，因此将三个月产量相加可得方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题是增长率类的常规基础题，解题的易错点是容易忽略第一季度为三个月产量之和，误将三月份产量等同于总产量，准确表示出每个月的产量是列方程的关键。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率的实际应用问题，解题时先明确第一季度总产量为一月、二月、三月的产量之和。首先已知一月份产量，结合月平均增长率x，依次推导二月、三月的产量表达式，再将三个月产量相加等于第一季度总产量，即可列出对应方程。
【解析】
首先明确第一季度包含1月、2月、3月，总产量为三个月产量之和：
1. 一月份产量已知为560吨；
2. 月平均增长率为x，因此二月份产量 = 一月份产量×(1+x) = $560(1+x)$；
3. 三月份产量 = 二月份产量×(1+x) = $560(1+x)×(1+x) = 560(1+x)^2$；
4. 已知第一季度总产量为1860吨，因此将三个月产量相加可得方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题
【点评】
本题是增长率类的常规基础题，解题的易错点是容易忽略第一季度为三个月产量之和，误将三月份产量等同于总产量，准确表示出每个月的产量是列方程的关键。
【难度系数】
0.8
