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6 [2024 通辽]如图,小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为 15 m²,在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成),则 BC 的长为 (
A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
C
)A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
答案
6. C 【解析】设BC的长为x m,则AB的长为$\frac{1}{2}(10+1−x)$m.根据题意,得$\frac{1}{2}(10+1−x)x=15$,解得x₁=5,x₂=6＞5.5(不合题意,舍去).
∴ BC的长为5 m.
∴ BC的长为5 m.
解析
【分析】
这是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：首先明确核心等量关系为矩形面积=长×宽，第一步先设BC的长为x m，结合铁丝网总长度、门的宽度以及矩形对边相等的性质，表示出垂直于墙的AB边的长度；第二步根据面积公式列一元二次方程求解；第三步结合墙长的实际限制条件，对得到的两个解进行取舍，排除不符合实际的解即可得到正确结果。
【解析】
设BC的长为$x$ m，
由于侧面1 m宽的门无需铁丝网，且矩形中$AB=CD$，因此AB的长为$\frac{1}{2}(10+1-x)$ m。
根据矩形鸭舍面积为$15 \mathrm{ m}^2$，列方程得：
$x · \frac{1}{2}(11-x)=15$
整理方程得：$x^2-11x+30=0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
已知墙长为5.5 m，BC平行于墙，长度不能超过墙长，$6＞5.5$不符合实际，故舍去。
因此BC的长为5 m。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题的解的验证
【点评】
本题属于常见的实际面积类应用题，解题的关键点一是准确根据已知条件表示出各边的长度，二是不要忽略墙长等实际限制条件，对求出的方程解进行合理性筛选，避免漏看条件选错答案。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：首先明确核心等量关系为矩形面积=长×宽，第一步先设BC的长为x m，结合铁丝网总长度、门的宽度以及矩形对边相等的性质，表示出垂直于墙的AB边的长度；第二步根据面积公式列一元二次方程求解；第三步结合墙长的实际限制条件，对得到的两个解进行取舍，排除不符合实际的解即可得到正确结果。
【解析】
设BC的长为$x$ m，
由于侧面1 m宽的门无需铁丝网，且矩形中$AB=CD$，因此AB的长为$\frac{1}{2}(10+1-x)$ m。
根据矩形鸭舍面积为$15 \mathrm{ m}^2$，列方程得：
$x · \frac{1}{2}(11-x)=15$
整理方程得：$x^2-11x+30=0$
因式分解得：$(x-5)(x-6)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=6$
已知墙长为5.5 m，BC平行于墙，长度不能超过墙长，$6＞5.5$不符合实际，故舍去。
因此BC的长为5 m。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、实际问题的解的验证
【点评】
本题属于常见的实际面积类应用题，解题的关键点一是准确根据已知条件表示出各边的长度，二是不要忽略墙长等实际限制条件，对求出的方程解进行合理性筛选，避免漏看条件选错答案。
【难度系数】
0.7
7 [2025苏州工业园区段考]如图所示为某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米。停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米，则车道的宽为
6
米。答案
7. 6
解析
【分析】
本题是面积类一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，先明确车道宽度x和停车位区域长宽的关系：观察图形可知，左侧车道与中间车道宽度均为x，因此停车位整体可看作一个矩形，它的长等于停车场外围长减去左侧车道宽度x，宽等于停车场外围宽减去中间车道宽度x；第二步，根据矩形面积=长×宽，结合停车位总面积为288平方米列方程；第三步，求解方程后，结合实际场景舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设车道的宽为x米。
观察图形可得，停车位整体可看作长为$(30-x)$米、宽为$(18-x)$米的矩形，根据停车位总占地面积为288平方米，列方程：
$(30-x)(18-x)=288$
展开并整理方程：
$x^2-48x+540=288$
$x^2-48x+252=0$
因式分解得：
$(x-6)(x-42)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=42$。
∵ 停车场的宽仅为18米，$x=42$不符合实际意义，故舍去。
∴ $x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题的根检验
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是通过读图准确提取图形中的数量关系，用未知数表示出所求图形的长宽，求解后注意结合实际场景判断根的合理性即可。
【难度系数】
0.7
本题是面积类一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，先明确车道宽度x和停车位区域长宽的关系：观察图形可知，左侧车道与中间车道宽度均为x，因此停车位整体可看作一个矩形，它的长等于停车场外围长减去左侧车道宽度x，宽等于停车场外围宽减去中间车道宽度x；第二步，根据矩形面积=长×宽，结合停车位总面积为288平方米列方程；第三步，求解方程后，结合实际场景舍去不符合题意的根，得到最终结果。
【解析】
解：设车道的宽为x米。
观察图形可得，停车位整体可看作长为$(30-x)$米、宽为$(18-x)$米的矩形，根据停车位总占地面积为288平方米，列方程：
$(30-x)(18-x)=288$
展开并整理方程：
$x^2-48x+540=288$
$x^2-48x+252=0$
因式分解得：
$(x-6)(x-42)=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=42$。
∵ 停车场的宽仅为18米，$x=42$不符合实际意义，故舍去。
∴ $x=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，实际问题的根检验
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，核心是通过读图准确提取图形中的数量关系，用未知数表示出所求图形的长宽，求解后注意结合实际场景判断根的合理性即可。
【难度系数】
0.7
8 [2025威海]如图，某校有一个长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
答案
8. 设小路的宽度为x m,则9个矩形地块可合成长为(20−4x)m、宽为(14−4x)m的矩形地块.根据题意,得(20−4x)(14−4x)=24×9.化简,得2x²−17x+8=0,解得x₁=0.5,x₂=8(不符合题意,舍去).答:小路的宽度为0.5 m
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决实际面积的问题，解题思路如下：首先通过平移小路的方法，将分散的9个矩形种植地块拼接成一个完整的大矩形，简化面积计算；接下来确定拼接后大矩形的长和宽：观察图形可知，水平方向共有4条宽度为x的竖直小路，因此拼接后大矩形的长为原种植园的长减去4倍小路宽度，即(20-4x)m；竖直方向共有4条宽度为x的水平小路，因此拼接后大矩形的宽为原种植园的宽减去4倍小路宽度，即(14-4x)m；然后根据9个小地块的总面积等于拼接后大矩形的面积，列出一元二次方程；最后解方程，并结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为x m，将9个矩形地块拼接后可得到一个长为(20−4x)m、宽为(14−4x)m的矩形。
根据9个矩形地块的总面积为24×9 m²，列方程得：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开并化简方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216$
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：$(2x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=0.5$，$x_2=8$
当$x=8$时，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽度为0.5 m。
【答案】
小路的宽度为0.5 m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，采用平移法将分散的种植区域整合为整体可大幅降低计算难度，解题时需注意结合实际场景对方程的根进行检验，避免出现不符合现实情况的解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决实际面积的问题，解题思路如下：首先通过平移小路的方法，将分散的9个矩形种植地块拼接成一个完整的大矩形，简化面积计算；接下来确定拼接后大矩形的长和宽：观察图形可知，水平方向共有4条宽度为x的竖直小路，因此拼接后大矩形的长为原种植园的长减去4倍小路宽度，即(20-4x)m；竖直方向共有4条宽度为x的水平小路，因此拼接后大矩形的宽为原种植园的宽减去4倍小路宽度，即(14-4x)m；然后根据9个小地块的总面积等于拼接后大矩形的面积，列出一元二次方程；最后解方程，并结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽度为x m，将9个矩形地块拼接后可得到一个长为(20−4x)m、宽为(14−4x)m的矩形。
根据9个矩形地块的总面积为24×9 m²，列方程得：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
展开并化简方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216$
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：$(2x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=0.5$，$x_2=8$
当$x=8$时，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际意义，舍去。
答：小路的宽度为0.5 m。
【答案】
小路的宽度为0.5 m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，采用平移法将分散的种植区域整合为整体可大幅降低计算难度，解题时需注意结合实际场景对方程的根进行检验，避免出现不符合现实情况的解。
【难度系数】
0.7
9 [2025常熟市段考]如图①,为美化校园环境,某校计划在一块长为100 m,宽为60 m的矩形空地上修建一个矩形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道.设通道宽为a m.
(1) 用含a的式子表示花圃的面积.
(2) 如果通道所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{1}{4}$,求出此时通道的宽.
(3) 已知某园林公司修建通道的价格为每平方米50元,修建花圃的价格y(元)与花圃的修建面积S(m²)之间的函数关系如图②所示,并且通道宽a(m)的值能使关于x的方程$\frac{1}{4}x^2 - ax + 25a - 150 = 0$有两个相等的实数根,并要求修建的通道的宽度不少于5 m且不超过12 m.如果学校决定由该公司承建此项目,请求出修建通道和花圃的总价.
(1) 用含a的式子表示花圃的面积.
(2) 如果通道所占面积是整个矩形空地面积的$\frac{1}{4}$,求出此时通道的宽.
(3) 已知某园林公司修建通道的价格为每平方米50元,修建花圃的价格y(元)与花圃的修建面积S(m²)之间的函数关系如图②所示,并且通道宽a(m)的值能使关于x的方程$\frac{1}{4}x^2 - ax + 25a - 150 = 0$有两个相等的实数根,并要求修建的通道的宽度不少于5 m且不超过12 m.如果学校决定由该公司承建此项目,请求出修建通道和花圃的总价.
答案
9.（1）由题图①,可知花圃的面积为(100−2a)(60−2a)=(4a²−320a+6 000)m² （2）由题意,得$100×60−(4a²−320a+6 000)=\frac{1}{4}×100×60$,解得a₁=5,a₂=75(不合题意,舍去),
∴ 此时通道的宽为5 m （3）
∵ 关于x的方程$\frac{1}{4}x^2−ax+25a−150=0$有两个相等的实数根,
∴ Δ=a²−25a+150=0,解得a₁=10,a₂=15.
∵ 5≤a≤12,
∴ a=10.设y=kS,将(1 000,55 625)代入,得$k=\frac{55\ 625}{1\ 000}=55.625$.
∴ y=55.625S.当a=10时,S=(100−2×10)(60−2×10)=80×40=3 200,y=3 200×55.625=178 000,通道的面积为100×60−3 200=2 800(m²),修建通道的价格为2 800×50=140 000(元),
∴ 修建通道和花圃的总价为178 000+140 000=318 000(元)
∴ 此时通道的宽为5 m （3）
∵ 关于x的方程$\frac{1}{4}x^2−ax+25a−150=0$有两个相等的实数根,
∴ Δ=a²−25a+150=0,解得a₁=10,a₂=15.
∵ 5≤a≤12,
∴ a=10.设y=kS,将(1 000,55 625)代入,得$k=\frac{55\ 625}{1\ 000}=55.625$.
∴ y=55.625S.当a=10时,S=(100−2×10)(60−2×10)=80×40=3 200,y=3 200×55.625=178 000,通道的面积为100×60−3 200=2 800(m²),修建通道的价格为2 800×50=140 000(元),
∴ 修建通道和花圃的总价为178 000+140 000=318 000(元)
解析
【分析】
(1) 求花圃面积先确定花圃的长和宽：通道宽为a m，花圃的长比空地长少2a m，宽比空地宽少2a m，用长乘宽即可得到花圃面积的表达式。
(2) 通道面积是空地总面积的$\frac{1}{4}$，即“空地总面积 - 花圃面积 = $\frac{1}{4}$×空地总面积”，据此列一元二次方程求解，得到的解要符合实际意义，舍去不合题意的解。
(3) 首先根据一元二次方程有两个相等实数根，判别式Δ=0，列方程求出a的可能值，再结合a的取值范围5≤a≤12筛选出符合条件的a；观察图②可知y是S的正比例函数，用待定系数法求出函数解析式，代入a的值求出花圃面积S，分别计算修建花圃和通道的费用，求和即可得到总价。
【解析】
(1) 由题图①可知，花圃的长为$(100-2a)\ \mathrm{m}$，宽为$(60-2a)\ \mathrm{m}$，
因此花圃的面积为：$(100-2a)(60-2a)=4a^2-320a+6000\ (\mathrm{m}^2)$。
(2) 由题意得：
$100×60-(4a^2-320a+6000)=\frac{1}{4}×100×60$
整理得$a^2-80a+375=0$，解得$a_1=5$，$a_2=75$。
当$a=75$时，$2a=150＞60$，不符合实际，舍去，因此通道宽为5 m。
(3)
∵ 关于x的方程$\frac{1}{4}x^2-ax+25a-150=0$有两个相等的实数根，
∴ $\Delta = (-a)^2-4×\frac{1}{4}×(25a-150)=0$，
化简得$a^2-25a+150=0$，解得$a_1=10$，$a_2=15$。
∵ $5≤ a≤12$，
∴ $a=10$。
设$y=kS$，将$(1000,55625)$代入得$55625=1000k$，解得$k=55.625$，即$y=55.625S$。
当$a=10$时，花圃面积$S=(100-2×10)(60-2×10)=3200\ (\mathrm{m}^2)$，
修建花圃的费用为$55.625×3200=178000$（元），
通道面积为$100×60-3200=2800\ (\mathrm{m}^2)$，
修建通道的费用为$2800×50=140000$（元），
总费用为$178000+140000=318000$（元）。
【答案】
(1) $(4a^2-320a+6000)\ \mathrm{m}^2$
(2) $5\ \mathrm{m}$
(3) $318000$元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 根的判别式的应用
3. 正比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景综合考查了代数、几何相关知识，解题时需要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，很好地考查了综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求花圃面积先确定花圃的长和宽：通道宽为a m，花圃的长比空地长少2a m，宽比空地宽少2a m，用长乘宽即可得到花圃面积的表达式。
(2) 通道面积是空地总面积的$\frac{1}{4}$，即“空地总面积 - 花圃面积 = $\frac{1}{4}$×空地总面积”，据此列一元二次方程求解，得到的解要符合实际意义，舍去不合题意的解。
(3) 首先根据一元二次方程有两个相等实数根，判别式Δ=0，列方程求出a的可能值，再结合a的取值范围5≤a≤12筛选出符合条件的a；观察图②可知y是S的正比例函数，用待定系数法求出函数解析式，代入a的值求出花圃面积S，分别计算修建花圃和通道的费用，求和即可得到总价。
【解析】
(1) 由题图①可知，花圃的长为$(100-2a)\ \mathrm{m}$，宽为$(60-2a)\ \mathrm{m}$，
因此花圃的面积为：$(100-2a)(60-2a)=4a^2-320a+6000\ (\mathrm{m}^2)$。
(2) 由题意得：
$100×60-(4a^2-320a+6000)=\frac{1}{4}×100×60$
整理得$a^2-80a+375=0$，解得$a_1=5$，$a_2=75$。
当$a=75$时，$2a=150＞60$，不符合实际，舍去，因此通道宽为5 m。
(3)
∵ 关于x的方程$\frac{1}{4}x^2-ax+25a-150=0$有两个相等的实数根，
∴ $\Delta = (-a)^2-4×\frac{1}{4}×(25a-150)=0$，
化简得$a^2-25a+150=0$，解得$a_1=10$，$a_2=15$。
∵ $5≤ a≤12$，
∴ $a=10$。
设$y=kS$，将$(1000,55625)$代入得$55625=1000k$，解得$k=55.625$，即$y=55.625S$。
当$a=10$时，花圃面积$S=(100-2×10)(60-2×10)=3200\ (\mathrm{m}^2)$，
修建花圃的费用为$55.625×3200=178000$（元），
通道面积为$100×60-3200=2800\ (\mathrm{m}^2)$，
修建通道的费用为$2800×50=140000$（元），
总费用为$178000+140000=318000$（元）。
【答案】
(1) $(4a^2-320a+6000)\ \mathrm{m}^2$
(2) $5\ \mathrm{m}$
(3) $318000$元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 根的判别式的应用
3. 正比例函数的应用
【点评】
本题结合实际场景综合考查了代数、几何相关知识，解题时需要注意结合实际意义对方程的解进行取舍，很好地考查了综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
