7 如图，在矩形ABCD中，AB=16 cm，BC=6 cm，点P从点A出发，以3 cm/s的速度向点B移动，当到达点B时停止移动；同时，点Q从点C出发，以2 cm/s的速度向点D移动。当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止，设移动时间为t s，连接PQ。
（1）当t=2时，PQ的长为cm；
（2）当PQ=10 cm时，t的值为。
（第7题）

7.（1）$6\sqrt{2}$ （2）1.6或4.8

【分析】
这是矩形中的动态几何问题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理建立等量关系求解。首先根据点的运动速度和时间，表示出相关线段的长度；再过点Q作AB的垂线，得到直角边分别为矩形宽BC、两动点水平距离的直角三角形；最后代入勾股定理列算式或方程求解，注意结果要符合运动时间的取值范围。
【解析】
过点Q作$QM ⊥ AB$于点M，易知四边形BCQM是矩形，因此$QM=BC=6\ \mathrm{cm}$，$BM=CQ=2t\ \mathrm{cm}$。
点P的运动距离$AP=3t\ \mathrm{cm}$，因此线段PM的长度为：$PM = |AB - AP - BM| = |16 - 3t - 2t| = |16 - 5t|\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ PQM$中，由勾股定理得：$PQ^2 = PM^2 + QM^2$。
（1）当$t=2$时，代入得$PM=|16 - 5×2|=6\ \mathrm{cm}$，
因此$PQ=\sqrt{6^2 + 6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
（2）当$PQ=10\ \mathrm{cm}$时，代入勾股定理得：
$(16 - 5t)^2 + 6^2 = 10^2$
整理得：$(16 - 5t)^2 = 64$
开方得：$16 - 5t = 8$ 或 $16 - 5t = -8$
解得：$t_1=1.6$，$t_2=4.8$。
又点P运动到B点的时间为$16÷3\approx5.33\ \mathrm{s}$，点Q运动到D点的时间为$16÷2=8\ \mathrm{s}$，因此运动时间t的取值范围是$0≤ t≤\frac{16}{3}$，1.6和4.8均符合要求。
【答案】
（1）$6\sqrt{2}$；（2）1.6或4.8
【知识点】
矩形的性质，勾股定理的应用，动点问题求解
【点评】
本题考查动态几何中线段长度的计算，关键是抓住运动过程中不变的量（矩形的宽），构造直角三角形利用勾股定理建立关系，求解后注意验证结果是否符合运动的实际范围。
【难度系数】
0.75

8 在全民阅读活动中，某中学读书社成员对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位:本)进行了调查,2023年全校有1 000名学生,2024年全校学生人数比2023年增加10%,2025年全校学生人数比2024年增加100.
(1) 求2025年全校学生人数.
(2) 2024年全校学生人均阅读量比2023年的人均阅读量多1本,2024年全校学生阅读总量比2023年的阅读总量增加1 700本(注:阅读总量=人均阅读量×人数).
① 求2023年全校学生人均阅读量.
② 2023年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍.如果2024年、2025年这两年读书社人均阅读量都比前一年增加a(a为百分数),2025年全校学生人均阅读量比2023年增加a,那么2025年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%,求a的值.

8.（1）由题意,得2024年全校学生人数为$1000×(1+10\%)=1100$,
∴2025年全校学生人数为$1100+100=1200$
（2）① 设2023年的人均阅读量为x本,则2024年的人均阅读量为$(x+1)$本.由题意,得$1100(x+1)=1000x+1700$,解得$x=6$.
∴2023年全校学生人均阅读量为6本
② 由题意,得2023年读书社的人均阅读量为$2.5×6=15$(本),2025年读书社的人均阅读量为$15(1+a)^2$本,2025年全校学生的人均阅读量为$6(1+a)$本.
∴$80×15(1+a)^2=1200×6(1+a)×25\%$,解得$a_1=-1$(不合题意,舍去),$a_2=0.5=50\%$.
∴a的值为50%

【分析】
（1）先根据2023年学生人数和2024年的人数增长率算出2024年全校人数，再结合2025年较2024年增加的人数，即可求出2025年全校总人数；
（2）① 设2023年人均阅读量为$x$本，可得2024年人均阅读量为$(x+1)$本，根据“2024年阅读总量=2023年阅读总量+1700”的等量关系列一元一次方程求解即可；
② 先求出2023年读书社人均阅读量，再结合增长率公式分别表示出2025年读书社人均阅读量、2025年全校学生人均阅读量，根据“2025年读书社80人阅读总量=全校2025年阅读总量×25%”列方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
（1）计算2024年全校学生人数：
$1000×(1+10\%)=1100$（人）
2025年全校学生人数为：
$1100+100=1200$（人）
（2）① 设2023年全校学生人均阅读量为$x$本，则2024年全校学生人均阅读量为$(x+1)$本，根据题意列方程：
$1100(x+1)=1000x+1700$
展开得：$1100x+1100=1000x+1700$
移项合并同类项得：$100x=600$
解得：$x=6$
② 2023年读书社人均阅读量为：$2.5×6=15$（本）
2025年读书社人均阅读量为$15(1+a)^2$本，2025年全校学生人均阅读量为$6(1+a)$本，根据题意列方程：
$80×15(1+a)^2=1200×6(1+a)×25\%$
化简得：$1200(1+a)^2=1800(1+a)$
由于$1+a≠0$，两边同时除以$600(1+a)$得：$2(1+a)=3$
解得：$a_1=-1$（不合题意，舍去），$a_2=0.5=50\%$
【答案】
（1）1200人；
（2）① 6本；
② 50%
【知识点】
一元一次方程的应用；增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题结合全民阅读的实际背景考查方程的实际应用，解题核心是找准各量之间的等量关系正确列方程，求解百分率相关问题时要注意结合实际意义验根，舍去不符合常理的解。
【难度系数】
0.6

9 如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=8 cm,点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度向终点B运动,同时点Q从点B出发沿BC以1 cm/s的速度向终点C运动,它们到达终点后停止运动,连接PQ,DQ,DP.
(1)几秒后,PD的长是PQ长的2倍?
(2)几秒后,△DPQ的面积是24 cm²?

9.（1）设t s后,PD的长是PQ长的2倍.由题意,得$AP=2t$ cm,$BQ=t$ cm,
∴$BP=(10-2t)$cm.
∵四边形ABCD是矩形,
∴$∠A=∠B=90°$.
∴$PD^2=AP^2+AD^2$,$PQ^2=BP^2+BQ^2$.
∵$PD=2PQ$,
∴$PD^2=4PQ^2$.
∴当$0＜t≤5$时,$8^2+(2t)^2=4[(10-2t)^2+t^2]$,解得$t_1=3$,$t_2=7$(不合题意,舍去);当$5＜t≤8$时,点P与点B重合,$PD=\sqrt{AB^2+AD^2}=2\sqrt{41}$ cm.
∵$PD=2PQ$,
∴$PQ=BQ=\sqrt{41}$ cm,即$t=\sqrt{41}$.综上所述,3 s或$\sqrt{41}$ s后,PD的长是PQ长的2倍
（2）设x s后,$△DPQ$的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$.由题意,得$AP=2x$ cm,$BQ=x$ cm,则$CQ=(8-x)$cm,$BP=(10-2x)$cm.当$0＜x≤5$时,$S_{△ DPQ}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ PQB}-S_{△ DCQ}$,即$10×8-\frac{1}{2}×8×2x-\frac{1}{2}(10-2x)x-\frac{1}{2}×10×(8-x)=x^2-8x+40=24$,解得$x_1=x_2=4$.当$5＜x≤8$时,点P与点B重合,此时$S_{△ DPQ}=\frac{1}{2}BQ·DC$,
∴$\frac{1}{2}x·10=24$,解得$x=\frac{24}{5}$(不合题意,舍去).综上所述,4 s后,$△DPQ$的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
（1）解决第一问时，先设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，根据点P、Q的运动速度，用含$t$的代数式表示出$AP、BQ、BP$的长度；再结合矩形的直角性质，利用勾股定理分别写出$PD^2$和$PQ^2$的表达式，根据$PD=2PQ$可得$PD^2=4PQ^2$，据此列方程求解。注意点P运动到终点的时间为$10÷2=5\ \mathrm{s}$，点Q运动到终点的时间为$8÷1=8\ \mathrm{s}$，因此要分$0＜t≤5$（P在AB上运动）和$5＜t≤8$（P到达B点静止，Q仍在运动）两种情况讨论，解出结果后验证是否符合对应区间，舍去不合题意的解。
（2）解决第二问时，设运动时间为$x\ \mathrm{s}$，先用含$x$的代数式表示出各相关线段长度，采用割补法，用矩形ABCD的面积减去周围三个直角三角形的面积得到$△ DPQ$的面积表达式，令其等于24列方程求解，同样分两种情况讨论，舍去不符合取值范围的解即可。
【解析】
(1) 设$t\ \mathrm{s}$后，PD的长是PQ长的2倍。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，$\therefore BP=(10-2t)\ \mathrm{cm}$。
∵四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠ A=∠ B=90°$。
由勾股定理得：$PD^2=AP^2+AD^2$，$PQ^2=BP^2+BQ^2$。
∵$PD=2PQ$，$\therefore PD^2=4PQ^2$。
①当$0＜t≤5$时，代入得：
$8^2+(2t)^2=4[(10-2t)^2+t^2]$
化简整理得$t^2-10t+21=0$，解得$t_1=3$，$t_2=7$（$7＞5$，不合题意，舍去）。
②当$5＜t≤8$时，点P到达B点静止，此时$PD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{10^2+8^2}=2\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$。
∵$PD=2PQ$，$\therefore PQ=\sqrt{41}\ \mathrm{cm}$，此时P与B重合，$PQ=BQ=t\ \mathrm{cm}$，故$t=\sqrt{41}$，符合取值范围。
(2) 设$x\ \mathrm{s}$后，$△ DPQ$的面积是$24\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=x\ \mathrm{cm}$，$\therefore CQ=(8-x)\ \mathrm{cm}$，$BP=(10-2x)\ \mathrm{cm}$。
①当$0＜x≤5$时，$S_{△ DPQ}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ADP}-S_{△ PQB}-S_{△ DCQ}$，代入得：
$10×8-\frac{1}{2}×8×2x-\frac{1}{2}(10-2x)x-\frac{1}{2}×10×(8-x)=24$
化简整理得$x^2-8x+16=0$，解得$x_1=x_2=4$，符合取值范围。
②当$5＜x≤8$时，点P与B重合，此时$S_{△ DPQ}=\frac{1}{2}× BQ× DC=\frac{1}{2}x·10=5x$，令$5x=24$，解得$x=\frac{24}{5}=4.8$，$4.8＜5$，不合题意，舍去。
【答案】
（1）$3\ \mathrm{s}$或$\sqrt{41}\ \mathrm{s}$；（2）$4\ \mathrm{s}$
【知识点】
勾股定理的应用，动点问题求解，一元二次方程的应用
【点评】
本题是动态几何与方程结合的典型习题，解题关键是用含时间的代数式表示出对应线段长度，结合几何性质建立方程求解，同时要注意动点的运动范围，对求出的解进行合理性验证，避免出现不符合运动实际的结果。
【难度系数】
0.6